Gauss, Carl Friedrich

Carl Friedrich Gauss
Carl Friedrich Gauss
Namn vid födseln tysk  Johann Carl Friedrich Gauss
Födelsedatum 30 april 1777( 1777-04-30 ) [1] [2] [3] […]
Födelseort
Dödsdatum 23 februari 1855( 1855-02-23 ) [1] [2] [3] […] (77 år)
En plats för döden
Land
Vetenskaplig sfär matematik , mekanik , fysik , astronomi , geodesi
Arbetsplats
Alma mater Högskolan i Göttingen
Akademisk examen PhD [9] ( 1799 )
vetenskaplig rådgivare Pfaff, Johann Friedrich [10]
Studenter Farkas Bolyai , August Ferdinand Möbius , Peter Gustav Lejeune Dirichlet , Gustav Robert Kirchhoff , Heinrich Christian Schumacher [9] och Gustav Swanberg [d] [9]
Utmärkelser och priser Lalande-priset från Paris vetenskapsakademi (1810)
Copley-medalj (1838)
Autograf
Wikisources logotyp Jobbar på Wikisource
 Mediafiler på Wikimedia Commons

Johann Karl Friedrich Gauss ( tyska :  Johann Carl Friedrich Gauß ; 30 april 1777 , Braunschweig  - 23 februari 1855 , Göttingen ) var en tysk matematiker , mekaniker , fysiker , astronom och lantmätare [11] . Anses vara en av de största matematikerna genom tiderna, "kungen av matematiker" [12] .

Vinnare av Copley-medaljen (1838), medlem av Royal Society of London (1804) [13] , utländsk medlem av Paris (1820) [14] och svenska (1821) vetenskapsakademier, utländsk motsvarande medlem (1802) och utländsk hedersmedlem (1824) av St. Petersburgs vetenskapsakademi [15] .

Biografi

1777-1798

Född i det tyska hertigdömet Brunswick . Gauss farfar var en fattig bonde; far, Gebhard Dietrich Gauss, trädgårdsmästare, murare, kanalvårdare; mamma, Dorothea Benz, dotter till en murare. Eftersom mamman var analfabet skrev inte mamman ner sin sons födelsedatum, utan kom bara ihåg att han föddes på onsdagen, åtta dagar före Kristi Himmelsfärdsdagen , som firas 40 dagar efter påsk . År 1799 beräknade Gauss det exakta datumet för sin födelse genom att utveckla en metod för att bestämma datumet för påsk för vilket år som helst [16] .

Redan vid två års ålder visade sig pojken vara ett underbarn . Vid tre års ålder kunde han läsa och skriva, till och med rätta till sin fars räknefel. Det finns en berättelse där unge Gauss utförde en viss aritmetisk beräkning mycket snabbare än alla sina klasskamrater; vanligtvis när man presenterar denna episod nämns beräkningen av summan av siffror från 1 till 100 , men den ursprungliga källan till detta är okänd [17] . Fram till ålderdomen brukade han göra de flesta beräkningarna i tankarna.

Han hade tur med läraren: M. Bartels (senare Lobatsjovskijs lärare ) uppskattade den unge Gauss exceptionella talang och lyckades skaffa honom ett stipendium från hertigen av Brunswick . Detta hjälpte Gauss att ta examen från Collegium Carolinum i Braunschweig (1792-1795).

Gauss tvekade en tid mellan filologi och matematik, men föredrog det senare. Han var mycket förtjust i det latinska språket och skrev en betydande del av sina arbeten på latin; älskade engelsk och fransk litteratur, som han läste i original. Vid 62 års ålder började Gauss studera ryska för att bekanta sig med Lobachevskys verk och lyckades ganska bra i denna fråga.

På college studerade Gauss verk av Newton , Euler , Lagrange . Redan där gjorde han flera upptäckter inom talteorin, inklusive bevis på lagen om ömsesidighet för kvadratiska rester . Legendre upptäckte visserligen denna viktigaste lag tidigare, men lyckades inte bevisa den strikt; Euler misslyckades också. Dessutom skapade Gauss " metoden för minsta kvadrater " (också självständigt upptäckt av Legendre ) och började forskning inom området " normalfördelning av fel ".

Från 1795 till 1798 studerade Gauss vid universitetet i Göttingen , där A. G. Kestner [18] var hans lärare . Detta är den mest fruktbara perioden i Gauss liv.

1796 : Gauss bevisade möjligheten att konstruera en vanlig sjuttonhörning med hjälp av en kompass och rätsida . Dessutom löste han problemet med att konstruera regelbundna polygoner till slutet och hittade ett kriterium för möjligheten att konstruera en vanlig n -gon med hjälp av en kompass och rätlina:

Gauss omhuldade denna upptäckt mycket och testamenterade att avbilda en vanlig sjuttonsidig inskriven i en cirkel på hans grav.

Från 1796 förde Gauss en kort dagbok över sina upptäckter. Han, liksom Newton , publicerade inte mycket, även om dessa var resultat av exceptionell betydelse ( elliptiska funktioner , icke-euklidisk geometri , etc.). Han förklarade för sina vänner att han endast publicerar de resultat som han är nöjd med och anser vara fullständiga. Många idéer som tappats eller övergivits av honom återuppstod senare i verk av Abel , Jacobi , Cauchy , Lobachevsky och andra. Han upptäckte också quaternions 30 år före Hamilton (kallar dem "mutationer").

Alla de många publicerade verken av Gauss innehåller betydande resultat, det fanns inte ett enda rått och förbigående verk.

1798: Mästerverket " Arithmetical Investigations " ( lat.  Disquisitiones Arithmeticae ) färdigt, tryckt först 1801.

I detta arbete är teorin om kongruenser detaljerad i modern (introducerad av honom) notation, jämförelser av en godtycklig ordning löses, kvadratiska former studeras djupt , komplexa enhetsrötter används för att konstruera regelbundna n-goner, egenskaper hos kvadratiska rester anges, ett bevis på den kvadratiska ömsesidighetslagen , etc. e. Gauss tyckte om att säga att matematiken är vetenskapernas drottning, och talteorin  är matematikens drottning.

1798-1816

1798 återvände Gauss till Braunschweig och bodde där till 1807.

Hertigen fortsatte att spela förmyndare av det unga geniet. Han bekostade tryckningen av sin doktorsavhandling ( 1799 ) och beviljade honom ett gott stipendium. I sin doktorsavhandling bevisade Gauss den grundläggande satsen för algebra för första gången . Innan Gauss gjordes det många försök att göra detta, d'Alembert kom närmast målet . Gauss återvände upprepade gånger till denna sats och gav 4 olika bevis för den.

Från 1799 var Gauss privatdozent vid universitetet i Braunschweig.

1801: vald till motsvarande ledamot av St. Petersburgs vetenskapsakademi .

Efter 1801, utan att bryta med talteorin, utökade Gauss sin intressekrets till att omfatta naturvetenskap, främst astronomi. Anledningen var upptäckten av den mindre planeten Ceres ( 1801 ), förlorad kort efter upptäckten. Den 24-årige Gauss gjorde (på några timmar) de mest komplexa beräkningarna, med hjälp av en ny beräkningsmetod som utvecklats av honom [11] , och angav med stor noggrannhet var han skulle leta efter "flyktingen"; där var hon, till allmän förtjusning, och upptäcktes snart.

Gauss ära blir alleuropeisk. Många vetenskapliga sällskap i Europa väljer Gauss som sin medlem, hertigen höjer ersättningen och Gauss intresse för astronomi växer ännu mer.

1805: Gauss gifte sig med Johanna Osthof. De fick tre barn, två överlevde - sonen Josef och dottern Minna.

1806: Hans generösa beskyddare, hertigen, dör av ett sår som han fick i kriget med Napoleon . Flera länder tävlade med varandra för att bjuda in Gauss att tjäna (inklusive i St. Petersburg ). På rekommendation av Alexander von Humboldt utnämndes Gauss till professor vid Göttingen och chef för Göttingens observatorium. Han innehade denna position till sin död.

1807: Napoleonska trupper ockuperar Göttingen . Alla medborgare är föremål för en gottgörelse, inklusive ett enormt belopp - 2000 franc - som krävs för att betala Gauss. Olbers och Laplace kommer genast till hans hjälp, men Gauss avvisar deras pengar; sedan skickar en okänd från Frankfurt honom 1000 gulden , och denna gåva måste accepteras. Först långt senare fick de veta att det okända var kurfursten av Mainz, en vän till Goethe (enligt andra källor, biskopen av Frankfurt ).

1809: nytt mästerverk, Theory of the Motion of Celestial Bodies. Den kanoniska teorin om att ta hänsyn till störningar av banor presenteras.

Precis på den fjärde bröllopsdagen dog Johanna, kort efter födelsen av sitt tredje barn. Det här året var det svåraste för Gauss. Året därpå, 1810, gifte han sig igen - med Wilhelmina (" Minna ") Waldeck, en vän till Johanna. Antalet Gauss barn ökade snart till fem.

1810: nya utmärkelser. Gauss får ett pris från Paris Academy of Sciences och en guldmedalj från Royal Society of London .

1811: En ny komet dyker upp . Gauss beräknade snabbt och mycket exakt sin bana. Började arbetet med komplex analys , upptäcker (men publicerar inte) en teorem som senare återupptäckts av Cauchy och Weierstrass : integralen av en analytisk funktion över en sluten kontur är noll.

1812: studie av den hypergeometriska serien, generaliserande expansionen av nästan alla funktioner som var kända vid den tiden.

Den berömda kometen "Fire of Moscow" (1812) observeras överallt, med hjälp av Gauss beräkningar.

1815: Publicerar det första rigorösa beviset för Algebras grundläggande sats .

1816-1855

1820: Gauss får i uppdrag att undersöka Hannover . För att göra detta utvecklade han lämpliga beräkningsmetoder (inklusive metoden för praktisk tillämpning av hans metod för minsta kvadrater ), vilket ledde till skapandet av en ny vetenskaplig riktning - högre geodesi , och organiserade undersökningen av terrängen och sammanställningen av kartor [11] .

1821: I samband med arbetet med geodesi påbörjar Gauss en historisk cykel av arbete med teorin om ytor . Begreppet " Gaussisk krökning " kommer in i vetenskapen . Början av differentialgeometri läggs . Det var Gauss resultat som inspirerade Riemann att skriva sin klassiska avhandling om " Riemannsk geometri ".

Resultatet av Gauss forskning blev verket "Undersökningar på krökta ytor" ( 1822 ). Den använde fritt vanliga kurvlinjära koordinater på ytan. Gauss utvecklade metoden för konform kartläggning far , som i kartografi bevarar vinklar (men förvränger avstånd); det används också inom aerodynamik, hydrodynamik och elektrostatik.

1824: vald till utländsk hedersmedlem i St. Petersburgs vetenskapsakademi .

1825: Upptäcker de Gaussiska komplexa heltal , bygger en teori om delbarhet och kongruenser för dem. Använd dem framgångsrikt för att lösa jämförelser av höga grader.

1829: I det anmärkningsvärda verket "On a New General Law of Mechanics" , som består av endast fyra sidor, underbygger Gauss [19] en ny variationsprincip för mekaniken  - principen om minsta tvång . Principen är tillämplig på mekaniska system med idealiska anslutningar och formulerad av Gauss på följande sätt: "rörelsen av ett system av materiella punkter, sammankopplade på ett godtyckligt sätt och föremål för alla influenser, sker i varje ögonblick på det mest perfekta sättet som möjligt, i i enlighet med rörelsen att dessa punkter, om de alla blev fria, det vill säga det sker med minsta möjliga tvång, om vi, som ett mått på tvång som tillämpas under ett oändligt litet ögonblick, tar summan av produkterna av massan av varje punkt och kvadraten på dess avvikelse från den position som den skulle inta om den var fri" [20] .

1831: Andra frun dör, Gauss lider av svår sömnlöshet. Den 27-årige begåvade fysikern Wilhelm Weber , som Gauss träffade 1828 när han besökte Humboldt, kom till Göttingen, inbjuden på initiativ av Gauss . Båda vetenskapsentusiasterna blev vänner, trots skillnaden i ålder, och påbörjar en cykel av forskning om elektromagnetism.

1832: "Teorin om biquadratiska rester" . Med samma komplexa heltal Gaussiska tal bevisas viktiga aritmetiska satser inte bara för komplexa tal, utan också för reella tal. Här ger Gauss en geometrisk tolkning av komplexa tal, som från det ögonblicket blir allmänt accepterad.

1833: Gauss uppfinner den elektriska telegrafen och (med Weber ) bygger en fungerande modell av den.

1837: Weber får sparken för att ha vägrat att avlägga trohetsed till den nye kungen av Hannover. Gauss lämnas ensam igen.

1839: 62-årige Gauss behärskar det ryska språket och ber i brev till St. Petersburg Academy att få skicka honom ryska tidskrifter och böcker, i synnerhet Pushkins Kaptenens dotter. Man tror att detta beror på Gauss intresse för Lobachevskys verk , som 1842, på rekommendation av Gauss, valdes till en utländsk motsvarande medlem av Göttingen Royal Society.

Samma 1839 skisserade Gauss i sin uppsats "The General Theory of Attractive and Repulsive Forces Acting inversely as the Square of Distance," grunderna för potentiell teori , inklusive ett antal grundläggande bestämmelser och satser - till exempel grundsatsen av elektrostatik ( Gauss sats ) [21] .

1840: I sina Dioptric Investigations utvecklade Gauss teorin om bildbehandling i komplexa optiska system [21] .

Gauss dog den 23 februari 1855 i Göttingen. Kung George V av Hannover beordrade att en medalj skulle präglas för att hedra Gauss, på vilken ett porträtt av Gauss och hederstiteln " Mathematicorum Princeps " - "Mathematicians kung" graverades.

Vetenskaplig verksamhet

Grundläggande forskning är förknippad med namnet Gauss inom nästan alla större områden av matematiken: i algebra , talteori , differentiell och icke-euklidisk geometri , matematisk analys , teorin om funktioner för en komplex variabel , sannolikhetsteori , såväl som i analytisk och himmelsmekanik , astronomi , fysik och geodesi [11] . "På alla områden var djupet av penetrationen i materialet, tankens djärvhet och betydelsen av resultatet fantastiskt. Gauss kallades "kungen av matematiker" [22] ( lat.  Princeps mathematicorum ).

Gauss var extremt strikt om sina publicerade verk och publicerade aldrig ens enastående resultat om han ansåg att hans arbete med detta ämne var ofullständigt. Hans personliga sigill visade ett träd med flera frukter, under mottot: "Pauca sed matura" ( lite, men mogen ) [23] . En studie av Gauss arkiv visade att han var långsam med att publicera ett antal av sina upptäckter, och som ett resultat var andra matematiker före honom. Här är en ofullständig lista över prioriteringar han missat.

Flera elever, elever till Gauss, blev framstående matematiker, till exempel: Riemann , Dedekind , Bessel , Möbius .

Algebra

Gauss gav de första rigorösa, även av moderna kriterier, bevis för Algebras grundläggande teorem .

Han upptäckte ringen av komplexa Gaussiska heltal , skapade teorin om delbarhet för dem , och med deras hjälp löste han många algebraiska problem. Han påpekade den nu bekanta geometriska modellen av komplexa tal och operationer med dem.

Gauss gav den klassiska teorin om kongruenser , upptäckte det finita fältet av rester modulo prime, trängde djupt in i egenskaperna hos rester.

Geometri

Gauss började först studera ytornas inneboende geometri . Han upptäckte en egenskap hos en yta ( Gaussisk krökning ) som inte förändras under böjningar, vilket lägger grunden för Riemannsk geometri . År 1827 publicerade han en fullständig teori om ytor. Bevisad Theorema Egregium  , ytteorins grundläggande teorem. Gauss verk om differentialgeometri gav en kraftfull drivkraft till utvecklingen av denna vetenskap under hela 1800-talet. Längs vägen skapade han en ny vetenskap - högre geodesi .

Gauss var den förste (enligt vissa källor [11] , ungefär 1818) att bygga grunden för icke-euklidisk geometri och att tro på dess möjliga verklighet [25] . Men under hela sitt liv publicerade han ingenting om detta ämne, förmodligen av rädsla för att bli missförstådd eftersom de idéer han utvecklade gick emot dogmen om det euklidiska rummet i den då dominerande kantianska filosofin) [26] . Men ett brev från Gauss till Lobatsjovskij lever kvar , som tydligt uttrycker hans känsla av solidaritet, och i personliga brev publicerade efter hans död beundrar Gauss Lobatsjovskijs arbete. 1817 skrev han till astronomen W. Olbers [27] :

Jag blir mer och mer övertygad om att nödvändigheten av vår geometri inte kan bevisas, åtminstone inte av mänskligt förnuft och av mänskligt förnuft. Kanske kommer vi i ett annat liv att komma till synpunkter på rymdens natur som nu är otillgängliga för oss. Hittills har geometrin behövt placeras inte på samma nivå med aritmetik, som existerar rent a priori, utan snarare med mekanik.

I hans papper hittades betydande anteckningar om ämnet som senare kallades topologi . Dessutom förutspådde han den grundläggande betydelsen av detta ämne.

Det uråldriga problemet med att konstruera regelbundna polygoner med kompass och rätsida löstes slutligen av Gauss (se Gauss-Wanzels sats ).

Matematisk analys

Gauss avancerade teorin om speciella funktioner , serier, numeriska metoder, problemlösning i matematisk fysik. Skapade den matematiska teorin om potential .

Han sysslade mycket och framgångsrikt med elliptiska funktioner , även om han av någon anledning inte publicerade något om detta ämne.

Analytisk mekanik

Gauss huvudsakliga bidrag till analytisk mekanik var hans princip om minsta tvång . För den analytiska formuleringen av denna princip var arbetet av G. Scheffler (1820-1903) "On the Gaussian fundamental law of mechanics" [29] , publicerad 1858, av stor betydelse [28] . I det omdefinierade Scheffler [ 30] tvång ( tyska: Zwang ) som följande (i modern notation [31] ) uttryck:  

,

där  är antalet punkter som ingår i systemet,  är massan av den e punkten,  är resultanten av de aktiva krafterna som appliceras på den,  är den tillåtna accelerationen för en given punkt (i själva verket använde Scheffler en skalär notation, och han inte hade en faktor framför summatecknet). Med "tillåtna accelerationer" menar vi här [32] sådana accelerationer av systempunkter som kan realiseras i ett givet tillstånd av systemet utan att bryta anslutningar; verkliga accelerationer (som uppstår under inverkan av krafter som faktiskt appliceras på systemets punkter) är ett specialfall av tillåtna accelerationer.

Efter det fick Gauss-principen den form som används i dess presentation och i moderna kurser i teoretisk mekanik: "I den faktiska rörelsen av ett mekaniskt system med idealiska begränsningar antar begränsningen det värde som är det minsta av alla möjliga värden för rörelser som är kompatibla med överlagrade begränsningar” [33] . Denna princip hänvisar [34] till antalet differentiella variationsprinciper för mekanik . Den har en mycket stor generalitet, eftersom den är tillämpbar på en mängd olika mekaniska system: konservativa och icke-konservativa, holonomiska och icke-holonomiska. Därför, i synnerhet, används det ofta [35] som en utgångspunkt för att härleda rörelseekvationerna för icke- holonomiska system .

Astronomi

Inom astronomi var Gauss främst intresserad av himmelsk mekanik , studerande av mindre planeters banor och deras störningar. Han föreslog en teori om störningsredovisning och bevisade upprepade gånger dess effektivitet i praktiken.

År 1809 hittade Gauss ett sätt att bestämma elementen i en bana från tre fullständiga observationer (om tid, hög uppstigning och deklination är kända för de tre dimensionerna ).

Andra prestationer

För att minimera påverkan av mätfel använde Gauss sin minsta kvadratmetod , som nu används flitigt i statistik . Även om Gauss inte var den första att upptäcka normalfördelningslagen som är vanlig i naturen , studerade han den så noggrant att distributionsgrafen sedan ofta har kallats Gaussisk .

Inom fysiken utvecklade Gauss teorin om kapilläritet , teorin om ett system av linser. Han lade grunden till den matematiska teorin om elektromagnetism och var samtidigt den första som introducerade begreppet elektrisk fältpotential , och 1845 kom han till idén om en ändlig utbredningshastighet för elektromagnetiska interaktioner. År 1832 skapade han ett absolut måttsystem, och introducerade tre grundläggande enheter: en längdenhet - 1 mm, en tidsenhet - 1 s, en massaenhet - 1 mg; detta system fungerade som en prototyp av CGS- systemet av enheter . Tillsammans med Weber byggde Gauss Tysklands första elektromagnetiska telegraf . Medan han studerade jordmagnetism, uppfann Gauss en unipolär magnetometer 1837 och en bifilär magnetometer 1838 [21] .

Åminnelse

Uppkallad efter Gauss:

Många satser och vetenskapliga termer inom matematik, astronomi och fysik är förknippade med Gauss namn, se Lista över objekt uppkallade efter Gauss . Några av dem:

I litteratur och film

Gauss och Alexander von Humboldts liv är tillägnat filmen " Measuring the World " (" Die Vermessung der Welt ", 2012, Tyskland). Filmen är baserad på romanen med samma namn av författaren Daniel Kelman [37] .

Översättningar av verk till ryska

Anteckningar

  1. ↑ 1 2 3 4 verschiedene Autoren Allgemeine Deutsche Biographie  (tyska) / Hrsg.: Historische Commission bei der königl. Akademie der Wissenschaften - L : Duncker & Humblot , 1875.
  2. ↑ 1 2 MacTutor History of Mathematics Archive
  3. ↑ 1 2 Carl Friedrich Gauss // RKDartists  (nederländska)
  4. ↑ 1 2 Gauss Karl Friedrich // Great Soviet Encyclopedia : [i 30 volymer] / ed. A. M. Prokhorov - 3:e uppl. - M .: Soviet Encyclopedia , 1971. - T. 6: Gaslift - Gogolevo. - S. 144-145.
  5. ↑ www.accademiadellescienze.it  (italienska)
  6. ↑ http://www.tandfonline.com/doi/full/10.1080/00207160.2012.689826
  7. ↑ http://www.maa.org/publications/maa-reviews/50th-imo-50-years-of-international-mathematical-olympiads
  8. ↑ http://link.springer.com/content/pdf/10.1007%2F978-3-642-14565-0_3.pdf
  9. ↑ 1 2 3 Matematisk genealogi  (engelska) - 1997.
  10. ↑ Mathematical Genealogy  (engelska) - 1997.
  11. ↑ 1 2 3 4 5 Bogolyubov, 1983 , sid. 121-123.
  12. ↑ Gindikin S. G. Berättelser om fysiker och matematiker. Arkiverad kopia av 11 juli 2020 på Wayback Machine  - M . : MTsNMO, 2001. Kapitel "The King of Mathematicians".
  13. ↑ Gauss; Karl Friedrich (1777 - 1855) // Webbplats för Royal Society of London  (engelska)
  14. ↑ Les membres du passé dont le nom commence par G Arkiverad 5 augusti 2020 på Wayback Machine  (FR)
  15. ↑ Gauss, Carl Friedrich på Ryska vetenskapsakademins officiella webbplats
  16. ↑ Mind Over Mathematics: Hur Gauss bestämde sitt födelsedatum . Hämtad 11 november 2019. Arkiverad från originalet 6 februari 2022.
  17. ↑ Brian Hayes. Gauss räkningsdag . American Scientist (2006). doi : 10.1511/2006.59.200 . Hämtad 15 oktober 2019. Arkiverad från originalet 12 januari 2012.
  18. ↑ Bogolyubov, 1983 , sid. 219.
  19. ↑ Tyulina, 1979 , sid. 178.
  20. ↑ Gauss K. Om en ny allmän princip för mekanik ( Über ein neues allgemeines Grundgesetz der Mechanik ) / Journal für Reine und Angewandte Mathematik. 1829. Bd. IV. - S. 232-235.) // Mekanikens variationsprinciper: lör. artiklar / Ed. L. S. Polak. - M. : Fizmatgiz, 1959. - 932 sid. - S. 170-172.
  21. ↑ 1 2 3 Khramov, 1983 , sid. 76.
  22. ↑ Kolmogorov A. N., Yushkevich A. P. (red.) Mathematics of the 19th century. T. 1. - M . : Nauka, 1978. - S. 52.
  23. ↑ Derbyshire J. En enkel besatthet. Bernhard Riemann och det största olösta problemet i matematik. - M .: Astrel, 2010. - ISBN 978-5-271-25422-2 . - S. 76-77.
  24. ↑ Om geometrins grunder. En samling klassiska verk om Lobatsjovskijs geometri och utvecklingen av dess idéer. Moskva: Gostekhizdat, 1956, s. 119-120.
  25. ↑ Gauss C.F. Brev och utkast till utdrag relaterade till icke-euklidisk geometri Arkiverad 5 mars 2014 på Wayback Machine // Foundations of Geometry. — M. : GITTL, 1956.
  26. ↑ Man brukar säga att han var rädd för att bli missförstådd. Ja, i ett brev, som berör frågan om det femte postulatet och den icke-euklidiska geometrin, skriver Gauss: "var rädd för boeotianernas rop " <...> Men kanske en annan förklaring till Gauss tystnad: han var en av få som förstod att, oavsett hur många intressanta satser av icke-euklidisk geometri som inte har härletts, så bevisar detta ändå ingenting - det finns alltid en teoretisk möjlighet att ett motsägelsefullt uttalande kommer att erhållas som ytterligare konsekvenser. Eller kanske Gauss förstod (eller kände) att det vid den tiden (första hälften av 1800-talet) ännu inte hade hittats matematiska begrepp som skulle göra det möjligt att korrekt posera och lösa detta problem. // Shafarevich I. R. , Remizov A. O. Linjär algebra och geometri, kap. XII, par. 2, - Fizmatlit, Moskva, 2009.
  27. ↑ Om geometrins grunder. En samling klassiska verk om Lobatsjovskijs geometri och utvecklingen av dess idéer. - M . : Gostekhizdat, 1956. - S. 103.
  28. ↑ Moiseev, 1961 , sid. 334.
  29. ↑ Göttinger Digitalisierungszentrum: Seitenansicht
  30. ↑ Tyulina, 1979 , sid. 179-180.
  31. ↑ Markeev, 1990 , sid. 90.
  32. ↑ Golubev, 2000 , sid. 417.
  33. ↑ Drong V.I., Dubinin V.V., Ilyin M.M. et al. Kurs i teoretisk mekanik / Ed. K. S. Kolesnikova. - M . : Förlag av MSTU im. N. E. Bauman, 2011. - 758 sid. — ISBN 978-5-7038-3490-9 . - S. 526.
  34. ↑ Markeev, 1990 , sid. 89.
  35. ↑ Golubev, 2000 , sid. 427.
  36. ↑ Gaussisk heliotrop . Tillträdesdatum: 17 januari 2017. Arkiverad från originalet 27 december 2016.
  37. ↑ Mäta världen (otillgänglig länk) . Hämtad 27 juni 2013. Arkiverad från originalet 8 januari 2014. 

Litteratur

Länkar

  Gå till Wikidata-objektet  Foto, video och ljud
Tematiska platser
Ordböcker och uppslagsverk
Släktforskning och nekropol
 Vinnare av Lalande-priset från Paris Academy of Sciences for Astronomy