Gaussiska heltal

Gaussiska heltal ( Gaussiska tal , komplexa heltal ) är komplexa tal , där både de reella och imaginära delarna är heltal [1] .

Exempel: . $1+2i;\quad -4+11i;\quad 4i;\quad 5;\quad 1-i$

Först introducerad av Gauss i monografin "The Theory of Biquadratic Residues" (1828-1832) [2] [3] . Uppsättningen av Gaussiska heltal betecknas vanligtvis , vilket återspeglar det faktum att den erhålls från uppsättningen heltal genom att lägga till en imaginär enhet till den och kombinera den med heltal. Egenskaperna för gaussiska tal liknar egenskaperna hos vanliga heltal, men det finns betydande skillnader. ${\mathbb {Z}}[i],$ $\mathbb {Z}$ $i$

Allmänna egenskaper

Definition och klassificering

Formell definition:

{\mathbb {Z}}[i]=\{a+bi\mid a,b\in {\mathbb {Z}}\}

Mängden innehåller mängden vanliga heltal och är dess förlängning [4] . Summan, skillnaden och produkten av gaussiska tal är gaussiska tal; för dem, såväl som för heltal, är egenskaperna för associativitet , kommutativitet och distributivitet bevarade - en sådan algebraisk struktur kallas en kommutativ ring i allmän algebra [5] . Det är omöjligt att införa en ordning som överensstämmer med ordningen av reella tal i denna komplexa ring . ${\mathbb {Z}}[i]$ $\mathbb {Z}$

Konjugatet av ett Gaussiskt tal är också ett Gaussiskt tal . $a+bi$ $a-bi$

Varje gaussiskt tal uppfyller andragradsekvationen: $z=a+bi$

(za)^{2}+b^{2}=0

Därför är ett Gaussiskt tal ett algebraiskt heltal .

Norma

Normen för ett Gaussiskt tal definieras som kvadraten på dess modul [6] : $a+bi$

N\left(a+bi\right)=a^{2}+b^{2}=(a+bi)\overline {(a+bi)}

Normegenskaper [7] :

Normen är noll endast för noll. Annars är normen ett positivt heltal.
Normerna för konjugerade tal är desamma.
Normen för ett vanligt heltal är lika med dess kvadrat.
Om normen är udda har den formen , det vill säga när den divideras med 4 är resten 1. Inget gaussiskt tal kan ha en norm av formen . $4n+1$ $4n+3$

Normen, liksom modulen, har en viktig multiplikativ egenskap [7] :

N(u\cdot v)=N(u)\cdot N(v)

Av detta följer [8] att de inverterbara elementen i ringen ( enhetsdelare ) är de element vars norm är lika med 1, det vill säga . $\{1;-1;i;-i\}$

Två gaussiska tal kallas associerade om det ena erhålls från det andra genom att multiplicera med en enhetsdelare. Det är lätt att se att association är en ekvivalensrelation [8] . Exempel: Gaussiska tal och är associerade eftersom: $1+i$ $1-i$

1+i=i(1-i)

Varje Gaussiskt tal som inte är noll har tre associerade med sig. Normerna för alla fyra tillhörande nummer är desamma.

Delbarhetsteori

Integral division

Heltalsdivisionen av gaussiska tal definieras på vanligt sätt [7] :

Ett Gaussiskt tal sägs vara delbart (heltal) med ett Gaussiskt tal om det finns ett tredje Gaussiskt tal så att . Beteckning: . $u$ $v$ $q$ $u=vq$ $v\mid u$

Uttal: ett av tre likvärdiga alternativ.

$u$ delas med ; $v$
$v$ delar ; $u$
$v$ - avdelare . $u$

Traditionella termer används: delbar eller multipel ( ), divisor ( ) och kvot ( ). Antalet Gaussiska taldelare är alltid ändligt, antalet multipler är oändligt. $u$ $v$ $q$

Exempel: talet 2 är jämnt delbart med , eftersom . $1+i$ $2=(1+i)(1-i)$

Alla gaussiska tal är delbara med enhetsdelare, så alla gaussiska tal förutom enhetsdelare har minst 8 divisorer: 4 enhetsdelare och 4 av deras produkter med själva talet. Dessa divisorer kallas triviala [9] .

Integral division i dess egenskaper liknar den analoga divisionen av heltal. Några funktioner som är specifika för Gaussiska tal [8] [7] : ${\mathbb {Z}}[i]$

Om ett Gaussiskt tal är jämnt delbart med ett vanligt heltal, så är både de reella och imaginära delarna delbara med det heltal . $z$ $z$
Om och , är dessa nummer associerade. $u\mid v$ $v\mid u$
Om , då är något av de 3 siffrorna som är associerade med delbart med något av de 3 talen som är associerade med . $u\mid v$ $v$ $u$
Om det är delbart med , är konjugatet till utdelningen delbart med konjugatet till divisorn . $u$ $v\;(u=vq)$ $\överlinje u$ ${\overline {v}}\;({\overline {u}}={\overline {v}}{\overline {q}})$
Alla divisorer av ett gaussiskt tal är också divisorer av dess norm . $z$ $N(z)=z\cdot {\överlinje {z))$
Normen för ett Gaussiskt tal är även om och endast om detta tal är delbart med . $1+i$
Om , då normen för utdelningen, i kraft av multiplikativitet, är delbar med normen för divisor. Vart i: $v\mid u$

N\left({\frac {u}{v}}\right)={\frac {N(u)}{N(v))))

Geometrisk representation av delbarhet

Varje Gaussiskt tal har 4 multiplar med samma norm (och följaktligen samma modul) - detta är sig själv och de 3 numren som är associerade med den, som erhålls genom successiv multiplikation med : $z$ $z$ $z$ $i$

z;\iz;\-z;\-iz

Men multiplikation med hjälp av det komplexa planet rotationen av radievektorn för talet med 90 ° moturs, och modulen för resultatet kommer att vara densamma. Alltså bildar alla 4 siffror ett liksidigt kors (markerat med rött i figuren), vars centrum och hörn är multiplar av . Genom att sekventiellt flytta detta kors i alla riktningar med ett av de 4 värdena som är associerade med , får vi ett kvadratiskt gitter på hela planet, vars alla noder (kvadrarnas hörn) är multiplar av . Omvänt sammanfaller vilken multipel som helst med en av gitternoderna. Bredden på varje rutnätsruta är . Vidare, för korthetens skull, kommer detta gitter att kallas "multiplars gitter" (eller, om förtydligande krävs, " -gitter av multipler "). $i$ $z$ $z$ $z$ $z$ $|z|$ $z$

Exempel: i figuren är en av gitternoderna ett tal som är en multipel av : $4-2i$ $1+2i$

4-2i=-2i(1+2i)

Enkla gaussiska tal

Ett Gauss primtal är ett tal som inte är noll som inte har några andra divisorer än triviala. Ett tal som inte är primtal kallas sammansatt . Samtidigt betraktas enhetens divisorer, liksom den naturliga enheten, inte som vare sig primtal eller sammansatta tal [10] .

Några egenskaper hos enkla gaussiska tal:

Om är ett gaussiskt primtal, så är dess motsatta och konjugerade gaussiska tal också primtal. $a+bi$ $-a-bi$ $a-bi$
Om ett gaussiskt primtal är en divisor av en produkt av gaussiska tal, så är det en divisor av minst en av faktorerna.
Normen för alla enkla gaussiska tal, förutom de som är associerade med , är alltid udda och har därför formen . $1+i$ $4n+1$

Ett naturligt primtal kanske inte är ett Gaussiskt primtal. Till exempel är talen 2 och 5 i inte längre primtal: ${\mathbb {Z}}[i]$

2=(1+i)(1-i);\quad 5=(2+i)(2-i)

För en faktorisering av gaussiska tal med en norm mellan 2 och 100 till enkla gaussiska faktorer, se tabellen Faktorisering av gaussiska tal .

Samprimtal

Om ett gaussiskt tal är en divisor av två gaussiska tal och , kallas det deras gemensamma divisor. Uppsättningen gemensamma divisorer av två tal innehåller alltid 4 divisorer av en; om det inte finns några andra gemensamma divisorer kallas dessa tal coprime [11] . $w$ $u$ $v$

Observera att om normerna för gaussiska tal är coprime som heltal, så är talen i sig coprima som gaussiska tal. Det omvända är inte sant: normerna för coprime gaussiska tal kan ha gemensamma divisorer - till exempel och är coprima, men deras normer är desamma och därför inte coprime. $u,v$ $u,v$ $5+2i$ $5-2i$

Låt oss ange två egenskaper som är analoga med egenskaperna hos heltal.

Om vart och ett av två Gaussiska tal är coprime med ett Gaussiskt tal , då är deras produkt också coprime [11] med . $u,v$ $w,$ $UV$ $w$
Om och samtidigt coprime med , då [12] . $z|uv$ $z$ $u$ $z|v$

Gaussiskt kriterium

Gauss påpekade de definierande egenskaperna hos ett primtal i [13] . ${\mathbb {Z}}[i]$

Ett gaussiskt tal är primtal om och endast om: $a+bi$

antingen ett av talen är noll och det andra är ett primtal av formen ; $a,b$ $\pm (4n+3)$
eller båda är inte noll och normen är ett enkelt naturligt tal. $a,b$ $a^{2}+b^{2}$

Exempel på enkla gaussiska tal:

till den första delen av kriteriet: ; $\pm 3;\ \pm 7;\ \pm 3i$
till den andra delen av kriteriet: . $1\pm i;\ 1\pm 2i;\ 1\pm 4i;\ 4+5i;\ 2-3i;\ 15+22i$

För större tydlighet delar vissa källor den andra delen av kriteriet i två [14] :

Nummer associerade med . Deras norm är 2. $1+i$
Tal vars norm är ett enkelt naturligt tal av formen . $4n+1$

Gauss själv gjorde inte en sådan uppdelning [15] .

Konsekvenser:

Inget naturligt primtal av formen kan vara ett Gaussiskt primtal. Enkla naturliga tal av formen är också enkla gaussiska tal. $4n+1$ $4n+3$
Normen för ett enkelt Gaussiskt tal är antingen ett enkelt naturligt tal eller kvadraten på ett enkelt naturligt tal [16] .
Ett enkelt naturligt tal av formen kan representeras som en produkt av konjugerade enkla Gaussiska tal eller, vilket är samma, som en summa av kvadrater . Detta faktum är känt som Fermat-Eulers sats . Det var i studiet av detta ämne, såväl som teorin om biquadratiska rester, som Gauss framgångsrikt tillämpade komplexa heltal. Omvänt, om ett naturligt primtal kan representeras som summan av naturliga kvadrater, så är det sammansatt och bryts ner i två konjugerade Gaussiska primtal [17] . $4n+1$ $(a+bi)(a-bi)$ $a^{2}+b^{2}$ ${\mathbb {Z}}[i]$
Varje Gaussiskt primtal är en divisor av ett och endast ett naturligt primtal [17] . Detta innebär att genom att sönderdela naturliga primtal till Gaussfaktorer erhålls alla Gaussiska primtal.

Primfaktorisering

I det finns en analog till aritmetikens huvudsats : varje Gaussiskt tal som inte är noll eller en enhetsdelare bryts upp i primtalsfaktorer, och denna nedbrytning är unik upp till ordningen och associationen av faktorer [1] [18] . ${\mathbb {Z}}[i]$

Exempel: . Faktorerna för dessa två, uppenbarligen olika, expansioner är parvis associerade: så att unikheten inte kränks. $5=(1+2i)(1-2i)=(2-i)(2+i)$ $1+2i=i(2-i);\ 1-2i=(-i)(2+i),$

För att praktiskt faktorisera ett gaussiskt tal till primtalsfaktorer kan du använda ovanstående egenskap: alla divisorer av ett gaussiskt tal är också divisorer av dess norm. Dessutom innehåller normen också "extra" primtalsfaktorer som motsvarar talets konjugat . $z$ $z$

Således bör man börja med nedbrytningen av normen för ett tal till enkla naturliga faktorer [19] . $z$

Faktorn 2, om den finns i nedbrytningen av normen, sönderdelas som . Det är nödvändigt att inkludera i den resulterande sönderdelningen de av dessa faktorer (i lämplig grad) med vilka den är helt uppdelad. $(1+i)(1-i)$ $z$
Förutom 2 är resten av normfaktorerna udda. Visningsfaktorn är ett enkelt Gaussiskt tal, så det delar inte bara normen utan också sig själv . Men då delar denna faktor också det konjugerade talet . Av detta följer att formens faktor alltid träder in i normens expansion i jämn grad, och i expansionen av sig själv - till hälften så stor grad. $4n+3$ $N(z)=~z\överlinje {z}$ $z$ $\overline{z}$ $4n+3$ $z$
Formens multiplikator kan sönderdelas till produkten av konjugerade gaussiska primtal (eller, vilket är detsamma, till summan av kvadrater av naturliga tal). Och här är det nödvändigt att ta reda på genom division vilken av faktorerna som hänvisar till det ursprungliga numret och vilka till konjugatet. $4n+1$

Till exempel, för nedbrytning till primfaktorer (normen är 225), särskiljs enkla naturliga faktorer: . Enligt den föregående . Det är bara delbart med och inte delbart med . Kvoten av lika är därför det slutliga resultatet: $9+12i$ $225=3^{2}\cdot 5^{2}$ $5=(2-i)(2+i)$ $9+12i$ $2+i$ $2-i$ $9+12i$ $3(2+i)$ $2+i,$

9+12i=3\cdot (2+i)^{2}

Jämförelseteori

Gaussiska jämförelser

Begreppet modulo-jämförelse definieras på samma sätt som det görs för heltal [20] : ${\mathbb {Z}}[i]$

Låt oss vara något gaussiskt tal. Två Gaussiska tal sägs vara jämförbara modulo om skillnaden är delbar (heltal) med . Inspelning: . $w$ $u,v$ $w$ $UV$ $w$ $u\equiv v{\pmod {w}}$

Egenskaperna för jämförelser i är i princip desamma som för heltal. Jämförbarhetsrelationen är en ekvivalensrelation , därför är den uppdelad i icke-korsande restklasser - varje sådan klass innehåller alla Gaussiska tal som är jämförbara med varandra (med en given modulo). För klasser, som i fallet med heltal, kan addition och multiplikation definieras, så att man får en restring modulo Gaussian. ${\mathbb {Z}}[i]$ ${\mathbb {Z}}[i]$

Exempel. Låt oss ta som en jämförelsemodul . Sedan delas den in i två klasser av rester: tal med samma paritet kommer att falla in i en klass (innehåller multipler för modulen), och tal med olika paritet kommer att falla in i en annan. $1+i$ ${\mathbb {Z}}[i]$ $a+bi$ $a,b$ $a,b$

Den Gaussiska jämförelsen har vissa egenheter. Till exempel, om det för heltal modulo 3 finns 3 klasser av rester med representanter, så är antalet klasser mycket större för Gaussiska tal modulo 3. Deras representanter: $0;\ 1;\ 2,$

0;\ 1;\ 2;\ i;\ 1+i;\ 2+i;\ 2i;\ 1+2i;\ 2+2i

Som Gauss upptäckte innehåller modulo-restringen element [20] . Detta faktum tvingar oss att modifiera några klassiska satser. Till exempel säger Fermats lilla sats för heltal som är delbart med för alla primtal och naturliga tal . För Gaussiska tal är detta inte sant, även om det är begränsat till naturvärden ; till exempel, för heltal är det alltid delbart med 3, men för Gaussiska tal är detta värde inte heller delbart med 3. En modifierad analog till Fermats lilla teorem är formulerad enligt följande [20] : $a+bi$ ${\displaystyle N(a+bi)=a^{2}+b^{2))$ $(a^{p}-a)$ $sid$ $sid$ $a$ $sid$ $a^{3}-a$ $i^{3}-i=-2i$

För ett Gaussiskt primtal och alla Gaussiska tal är delbart med . $w=a+bi$ $u$
$(u^{{N(w)}}-u)=(u^{{a^{2}+b^{2}}}-u)$ $w$

I samma exempel med resultatet: - är delbart med 3. $w=3;u=i$ $(i^{9}-i)=0$

Låt oss kalla klassen av modulo-rester som innehåller ett tal reversibel om jämförelsen har en lösning med avseende på . Klassen är inverterbar om och endast om de Gaussiska talen och är relativt primtal [20] . I synnerhet, om kongruensmodulen är ett Gaussiskt primtal, så har varje restklass som inte är noll ett inverst element, vilket betyder att restklasserna modulo ett primtal i såväl som i form av ett fält . $w,$ $u,$ $ux\equiv 1{\pmod {w}}$ $x$ $u$ $w$ $w$ ${\mathbb {Z}}[i]$ ${\mathbb {Z}),$

Eulerfunktion för Gaussiska tal

Låt oss introducera en analog till Euler-funktionen för gaussiska tal. Definitionen för heltal är inte lämplig, om så bara för att uttrycket "från till " som finns i det inte är meningsfullt för komplexa tal. Ny definition [20] : $ett$ $n$

Eulerfunktionen för ett Gaussiskt tal definieras som antalet reversibla restklasser modulo . $\varphi (z)$ $z$ $z$

Funktionen definierad på detta sätt, som dess prototyp för heltal, är multiplikativ , så det räcker att känna till dess värden för primtal och deras naturliga krafter. Om är ett Gaussiskt primtal, då [20] : $z$

\varphi (z)=N(z)-1;\quad \varphi (z^{k})=N(z)^{{k-1}}(N(z)-1)

Exempel: . $\varphi (3+4i)=\varphi ((2+i)^{2})=N(2+i)(N(2+i)-1)=5\cdot 4=20$

Nu kan vi generalisera Fermats lilla teorem som gavs i föregående avsnitt till fallet med en godtycklig (inte nödvändigtvis enkel) komparatormodul, det vill säga vi kan ge en analog till Eulers teorem [20] :

Om ett gaussiskt tal är coprime med modulo , då: $z$ $w,$

z^{{\varphi (w)}}\equiv 1{\pmod w}

Geometrisk representation av modulo jämförelse

Låt oss betrakta modulo-jämförelse som ett exempel . Som anges i avsnittet om den geometriska representationen av delbarhet är det möjligt att dela upp det komplexa planet i kvadrater så att noderna i detta gitter (kvadraternas hörn) representerar alla möjliga komplexa multiplar av . Sedan, per definition, är tal jämförbara modulo om deras skillnad sammanfaller med en av noderna i multiplars gitter. $w=1+2i$ $1+2i$ $w$

Varje kvadrat av gittret erhålls från vilken annan kvadrat som helst genom en förskjutning (överföring) med en multipel, därför är skillnaden mellan valfri punkt på kvadraten och resultatet av dess förskjutning också en multipel av . Av detta följer den slutliga slutsatsen [20] : $w,$ $w$

Gaussiska tal är modulo-jämförbara om och endast om de upptar samma relativa position i sina kvadrater av multiplars gitter. $w$

Till exempel är alla centra i rutor jämförbara, eller alla mittpunkter på deras respektive sidor, etc.

Division med resten

Definition

I en ring kan man definiera division med en rest (med valfritt Gaussiskt tal som inte är noll) genom att kräva att normen för resten är mindre än normen för divisorn [21] : ${\mathbb {Z}}[i]$

Alla gaussiska tal kan delas med en rest med valfritt Gaussiskt tal som inte är noll , dvs representeras som: $u$ $v$

u=vq+r

där kvoten och resten är gaussiska tal, och . $q$ $r$ $N(r)<N(v)$

Det är lätt att visa att man som divisionskvot med en rest kan ta ett gaussiskt tal närmast kvoten för vanlig division av komplexa tal [22] .

Det bör noteras att villkoret "normen för återstoden är mindre än normen för divisorn" inte är tillräckligt för att garantera återstodens unika karaktär från division, därför är resten tvetydig. Kan till exempel delas in i tre sätt: ${\mathbb {Z}}[i]$ $7+2i$ $3-i$

7+2i=(3-i)(2+i)+i=(3-i)(1+i)+3=(3-i)(2+2i)+(-1-2i)

Det kan bara garanteras att alla rester faller i samma klass av rester modulo divisor. Men en liknande situation uppstår även för vanliga heltal - till exempel finns det två sätt att dividera med en återstod av 8 med 3: eller (båda resterna är modulo mindre än divisorn), därför introduceras ett ytterligare villkor i heltalsaritmetik för att säkerställa operationens unika karaktär: resten måste vara icke-negativ . $8=3\cdot 2+2$ $8=3\cdot 3-1$

Exempel . För division med en återstod av vid , hittas kvoten för den vanliga komplexa divisionen först: $11+10i$ $4+i$

{\frac {11+10i}{4+i}}={\frac {(11+10i)(4-i)}{(4+i)(4-i)))={\frac {54+ 29i}{17}}\approx 3{,}17+1{,}7i

Gausstalet närmast resultatet är då resten . Så småningom: $3+2i,$ $11+10i-(4+i)(3+2i)=1-i$

11+10i=(4+i)(3+2i)+1-i

För Gaussiska tal gäller en analog av den kinesiska restsatsen , eftersom det bevisas med Euklids algoritm .

Geometrisk representation

Av definitionen av division med en rest av det följer att , det vill säga modulen för resten är avståndet mellan de komplexa talen och . Det finns med andra ord ett avstånd från utdelningen till en av noderna - multiplars gitter . Kravet "normen för återstoden är mindre än divisorns norm" är likvärdig med villkoret . Av detta följer: $u$ $v$ $|r|=|u-vq|$ $u$ $vq$ $|r|$ $v$ $|r|<|v|$

Division med en återstod av har lika många lösningar som antalet noder av multiplar gitter är mindre än från utdelningen . $u$ $v$ $v$ $|v|$

I divisionen med exemplet ovan är multiplerna av divisorn närmast utdelningen hörn på gitterkvadraten som innehåller utdelningen: $7+2i$ $3-i$

7+i=(3-i)(2+i)

4+2i=(3-i)(1+i)

8+4i=(3-i)(2+2i)

Alla av dem är från utdelningen på ett avstånd mindre än . Den fjärde spetsen på kvadraten är mer än . Därför har detta problem med division med en rest tre lösningar. $|v|={\sqrt {10}}$ $5+5i$ ${\sqrt {10}}$

I det allmänna fallet, genom att rita från hörnen på ett kvadratiskt gitter med flera bågar med en radie , får vi figuren som visas i figuren. Om utdelningen är i den centrala regionen (röd zon) är den mindre än 100 % från alla hörn, och division med en rest kan göras på fyra sätt. Om utdelningen är i ett av "kronbladen" (blå zon), försvinner en av hörnen, och antalet lösningar är tre. För den vita zonen får vi två lösningar. Slutligen, om utdelningen sammanfaller med en av hörnen, så är resten noll, och lösningen är unik. $v$ $|v|,$ $|v|,$

Största gemensamma divisor

Ringen av gaussiska tal är euklidisk , och det är alltid möjligt att bestämma den största gemensamma divisorn i den , som är unikt bestämd upp till enhetsdelare [23] .

Den största gemensamma divisorn av gcd för Gaussiska tal och , varav åtminstone en är icke-noll, är deras gemensamma divisor, som är delbar med någon annan gemensam divisor och . $(u,v)$ $u$ $v$ $u$ $v$

Motsvarande definition: GCD är den gemensamma divisorn för vilken normen är maximal [24] . $(u,v)$ $u,v$

GCD-egenskaper

Om någon gcd är känd kommer vilket som helst av de tre numren som är associerade med det också att vara en gcd. Särskilt. om en av GCD:erna är en enhetsdelare, så kommer de andra tre GCD:erna också att göra det.
Gaussiska tal är coprima om och endast om deras gcd är en enhetsdelare.
Det finns en analog till Bezout-relationen [25] :

Låt vara gaussiska tal, och åtminstone ett av dem är inte noll. Sedan finns det gaussiska tal så att följande relation gäller: $u,v$ $x,y$

GCD

(u,v)=xu+yv

Med andra ord kan den största gemensamma delaren av två Gaussiska tal alltid representeras som en linjär kombination av dessa tal med Gaussiska koefficienter.

Konsekvens av Bezout-relationen [25] : om de Gaussiska talen är coprime, då har ekvationen med avseende på en lösning i . Istället för 1 i ovanstående ekvation kan vilken annan enhetsdelare som helst stå, medan satsen kommer att förbli sann. $u,v$ $xu+yv=1$ $x,y$ ${\mathbb {Z}}[i]$

Euklids algoritm och den praktiska beräkningen av gcd

För att bestämma gcd i det är bekvämt att använda Euclid-algoritmen , som är ganska lik den som används för heltal. GCD erhålls i detta schema som den sista icke-noll återstoden [26] . Euklids algoritm kan också användas för att hitta koefficienterna i Bézout-relationen [20] . ${\mathbb {Z}}[i]$ $x,y$

Exempel 1. Hitta GCD för och . $32+9i$ $4+11i$

Steg 1: (delat med resten av det första talet med det andra)

32+9i=(4+lli)(2-2i)+2-5i

Steg 2: (delat med resten av föregående divisor med resten av föregående steg)

4+lli=(2-5i)(-2+i)+3-i

Steg 3: (samma åtgärd)

2-5i=(3-i)(l-i)-i

Steg 4: (samma åtgärd, uppdelningen slutförd helt)

3-i=(-i)(1+3i)

Observera att normen för resten minskar monotont vid varje steg. Den sista resten som inte är noll är , vilket är en divisor av enhet, så vi drar slutsatsen att siffrorna som studeras är coprime. $-jag$

Exempel 2. Hitta GCD för och . $11+3i$ $1+8i$

Steg 1:

11+3i=(1+8i)(1-i)+2-4i

Steg 2:

1+8i=(2-4i)(-1+i)+(-1+2i)

Steg 3: (division klar)

2-4i=(-1+2i)(-2)

Den sista återstoden som inte är noll är , och detta är den obligatoriska GCD. Genom att sekventiellt ersätta de högra delarna av likheterna istället för de vänstra delarna (med början från den näst sista jämlikheten, från botten till toppen), får vi Bezout-relationen för GCD: $-1+2i$

-1+2i=(11+3i)(1-i)+(1+8i)(1+2i)

Vissa applikationer

Gauss använde den algebraiska strukturen han hade upptäckt för att studera biquadratiska rester på djupet. Det är möjligt att indikera andra områden för framgångsrik tillämpning av Gaussiska tal [27] . Det är anmärkningsvärt att en betydande del av dem hänvisar till teorin om inte komplexa, utan naturliga tal.

Nedbrytning av naturliga tal till summor av två kvadrater

Av följer att ett naturligt primtal av formen kan representeras som summan av kvadraterna av två naturliga tal, och på ett unikt sätt. Exempel: . $4n+1$ $29=(2+5i)(2-5i)=2^{2}+5^{2}$

Nedbrytning av naturliga tal av annat slag är inte alltid möjlig - till exempel kan andra tal av slaget inte representeras som summan av kvadraterna av två naturliga tal. Sammansatta tal kan också ha mer än en expansion, till exempel [27] : . Allmän teorem: ett naturligt tal kan representeras som summan av två kvadrater om och endast om i dess kanoniska expansion alla primtalsfaktorer i formen är i jämna potenser [17] . $15;19;27;103$ $4n+3$ $65=4^{2}+7^{2}=1^{2}+8^{2}$ $4n+3$

Exempel: kan inte representeras som en summa av kvadrater, eftersom talet 3 (som 7) ingår i det med en udda grad. Men du kan föreställa dig : $21=3\cdot 7$ ${\displaystyle 245=5\cdot 7^{2))$ $245=7^{2}+14^{2}$

Räknar antalet representationer som summan av två kvadrater

Antalet representationer av ett naturligt tal som summan av kvadrater (eller, vilket är detsamma, antalet gaussiska tal med normen ) kan bestämmas enligt följande [28] . Vi delar upp i enkla naturliga faktorer: $\rho (m)$ $m$ $m$ $m$

m=2^{\lambda }p_{1}^{{\lambda _{1))}p_{2}^({\lambda _{2))}\dots p_{r}^{{\lambda _ {r}}}q_{1}^{{\mu _{1}}}q_{2}^{{\mu _{2}}}\dots q_{s}^{{\mu _{s} }}

Här är faktorer av formen a är faktorer av formen . Då är 3 fall möjliga. $pi}$ $4n+1,$ $q_{j}$ $4n+3$

Om minst en exponent är udda kan talet inte representeras som en summa av kvadrater. $\mu _{j}$ $m$
Låt allt vara jämnt. Den slutliga formeln beror på pariteten . Om alla också är jämna, har formeln formen: $\mu _{j}$ $\lambda _{i}$

\rho (m)={\frac {1}{2}}[(\lambda _{1}+1)(\lambda _{2}+1)\cdots (\lambda _{r}+1)+ ett]

Om inte alla är jämna, är formeln något annorlunda: $\lambda _{i}$

\rho (m)={\frac {1}{2}}(\lambda _{1}+1)(\lambda _{2}+1)\cdots (\lambda _{r}+1)

Teorin om Pythagoras trippel

Pythagoras trippel är en av heltalslösningarna i ekvationen:

x^{2}+y^{2}=z^{2}

Den allmänna lösningen av ekvationen beror på två heltalsparametrar : $m,n$

x=m^{2}-n^{2};\;y=2mn;\;z=m^{2}+n^{2}

För att generera Pythagoras trippel kan du använda den här tekniken. Låta vara ett godtyckligt Gaussiskt tal för vilket båda komponenterna inte är noll. Genom att kvadrera detta tal erhålls ett annat Gaussiskt tal . Då blir trippeln Pythagoras [27] . $z=a+bi$ $a,b$ $c+di$ ${\displaystyle \{|c|;|d|;N(z)\))$

Exempel: för det ursprungliga numret erhålls en pytagoreisk trippel . $z=17+12i$ $(145;408;433)$

Lösning av diofantiska ekvationer

Lösningen av många diofantiska ekvationer kan hittas om vi använder apparaten för gaussiska tal. Till exempel, för en ekvation, ger enkla transformationer två typer av coprime heltalslösningar [29] , beroende på heltalsparametrar : ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=2z^{2))$ $a,b$

$x=a^{2}-2ab-b^{2};\;y=a^{2}+2ab-b^{2}$
$x=-a^{2}-2ab+b^{2};\;y=a^{2}-2ab-b^{2}$

År 1850 undersökte Victor Lebesgue, med hjälp av gaussiska tal, ekvationen och bevisade dess olöslighet i naturliga tal. Med andra ord, bland naturliga tal i formen finns det inte en enda komplett kub eller någon annan grad högre än den andra [27] . ${\displaystyle x^{2}+1=y^{n))$ $n^{2}+1$

Olösta problem

Hitta antalet gaussiska tal vars norm är mindre än en given naturlig konstant . I en likvärdig formulering är detta ämne känt som det " gaussiska cirkelproblemet " i siffrors geometri [30] [31] . $R$
Hitta linjer i det komplexa planet som innehåller oändligt många Gaussiska primtal. Två sådana linjer är uppenbara - dessa är koordinataxlarna; det är okänt om det finns andra [32] .
Frågan känd som " Gaussiska diket ": är det möjligt att gå till oändligheten genom att gå från ett enkelt Gaussiskt tal till ett annat i hopp av en förutbestämd längd? Problemet uppstod 1962 och har ännu inte lösts [33] .

Variationer och generaliseringar

En annan historiskt viktig euklidisk ring, som i egenskaper liknar heltal, var " Eisenstein-heltalen ".

Gaussiska rationella tal betecknade med är komplexa tal av formen , där är rationella tal . Denna uppsättning är stängd under alla 4 aritmetiska operationer, inklusive division, och är därför ett fält som förlänger ringen av Gaussiska tal. ${\mathbb Q}(i)$ $a+bi$ $a,b$

Historik

På 1820 -talet undersökte Carl Friedrich Gauss lagen om biquadratic reciprocity , vilket resulterade i monografin The Theory of Biquadratic Residues (1828–1832). Det var i detta arbete som komplexa heltal visade sin användbarhet för att lösa problem i talteorin , även om formuleringen av dessa problem inte har något att göra med komplexa tal. Gauss skrev att "den naturliga källan till en allmän teori finns i förlängningen av aritmetikens område" [3] .

I Gauss bok visades att de nya talens egenskaper i många avseenden påminner om vanliga heltal. Författaren beskrev de fyra enhetsdelaren , definierade associationsrelationen, begreppet ett primtal, gav ett kriterium för enkelhet och bevisade analoger till aritmetikens grundläggande sats , Fermats lilla sats . Gauss fortsatte med att diskutera komplexa modulo-rester, index och primitiva rötter i detalj . Den konstruerade teorins huvudsakliga prestation var den biquadratiska lagen om ömsesidighet, som Gauss lovade att bevisa i nästa volym; denna volym publicerades aldrig, men en detaljerad beskrivning av ett rigoröst bevis hittades i Gauss manuskript [3] .

Gauss använde de siffror som han introducerade även i sina andra verk, till exempel på algebraiska ekvationer [34] . Gauss idéer utvecklades i skrifter av Carl Gustav Jacob Jacobi och Ferdinand Gotthold Eisenstein . I mitten av 1800-talet introducerade och studerade Eisenstein, Dirichlet och Hermite det generaliserade begreppet ett algebraiskt heltal .

Ringen av Gaussiska heltal var ett av de första exemplen på en algebraisk struktur med ovanliga egenskaper. Med tiden upptäcktes ett stort antal strukturer av denna typ, och i slutet av 1800-talet uppträdde abstrakt algebra , som studerar algebraiska egenskaper separat från objekten som bär dessa egenskaper.

Anteckningar

↑ 1 2 Encyclopedia of Mathematics, 1977 .
↑ K.F. Gauss, 1959 , sid. 655-754.
↑ 1 2 3 1800-talets matematik. Volym I: Matematisk logik, algebra, talteori, sannolikhetsteori, 1978 , sid. 88-92.
↑ Kuzmin R. O., Faddeev D. K., 1939 , sid. 146.
↑ Irland K., Rosen M., 1987 , sid. 23.
↑ Okunev L. Ya., 1941 , sid. 27-28.
↑ 1 2 3 4 Kuzmin R. O., Faddeev D. K., 1939 , sid. 147-149.
↑ 1 2 3 Okunev L. Ya., 1941 , sid. 29.
↑ Okunev L. Ya., 1941 , sid. 32.
↑ Kuzmin R. O., Faddeev D. K., 1939 , sid. 150.
↑ 1 2 Kuzmin R. O., Faddeev D. K., 1939 , sid. 155.
↑ Kuzmin R. O., Faddeev D. K., 1939 , sid. 156.
↑ Okunev L. Ya., 1941 , sid. 41, 44.
↑ En klassificering av Gaussiska primtal , sid. tio.
↑ K.F. Gauss, 1959 , sid. 698.
↑ Kuzmin R. O., Faddeev D. K., 1939 , sid. 158.
↑ 1 2 3 Conrad, Keith , kapitel 9.
↑ Okunev L. Ya., 1941 , sid. 33-34.
↑ Conrad, Keith , kapitel 6.
↑ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Conrad, Keith , Kapitel 7.
↑ Conrad, Keith , kapitel 3.
↑ Okunev L. Ya., 1941 , sid. 30-31.
↑ Okunev L. Ya., 1941 , sid. 35-36.
↑ Conrad, Keith , kapitel 4.
↑ 1 2 Conrad, Keith , kapitel 5.
↑ Kuzmin R. O., Faddeev D. K., 1939 , sid. 153-155.
↑ 1 2 3 4 Conrad, Keith , kapitel 8.
↑ Kuzmin R. O., Faddeev D. K., 1939 , sid. 164-166.
↑ Kuzmin R. O., Faddeev D. K., 1939 , sid. 162-163.
↑ Conway JH, Sloane NJA Sphere Packings, Lattices and Groups. — Springer-Verlag. — S. 106.
↑ OEIS - sekvens A000328 _
↑ Ribenboim, Paulo. The New Book of Prime Number Records, Ch.III.4.D Ch. 6.II, kap. 6.IV. — 3:e uppl. - New York: Springer, 1996. - ISBN 0-387-94457-5 .
↑ Guy Richard K. Olösta problem i talteorin. — 3:e uppl. - New York: Springer, 2004. - S. 55-57. - ISBN 978-0-387-20860-2 .
↑ Hardy GH, Wright EM, 1968 , sid. 189.

Litteratur

Ireland K., Rosen M. En klassisk introduktion till modern talteori. — M .: Mir, 1987. — 416 sid.
Alfutova N. B., Ustinov A. V. Algebra och talteori. Samling av uppgifter för matematiska skolor. - 3:e uppl., Rev. och ytterligare - M. : MTSNMO, 2009. - 336 sid. - ISBN 978-5-94057-550-4 .
Gauss KF Arbetar med talteori. - M . : Publishing House of the Academy of Sciences of the USSR, 1959. - S. 695-754.
Gaussiskt nummer // Mathematical Encyclopedia (i 5 volymer). - M . : Soviet Encyclopedia , 1977. - T. 1.
Kaluzhnin L. A. Huvudsatsen för aritmetiken. — M .: Nauka, 1969. — 32 sid. - ( Populära föreläsningar om matematik ).
Kolmogorov A. N., Yushkevich A. P. (red.). 1800-talets matematik. Matematisk logik, algebra, talteori, sannolikhetsteori. - M . : Nauka, 1978. - T.I.
Kuzmin R. O., Faddeev D. K. Algebra och aritmetik av komplexa tal. En guide för lärare. - M . : Uchpedgiz, 1939. - 187 sid.
Okunev L. Ya. Komplexa heltal. - M . : Stat. uch.-ped. Publishing House of the People's Commissariat of Education of the RSFSR, 1941. - 56 sid.
Senderov V., Spivak A. Summor av kvadrater och Gaussiska heltal // Kvant . - 1999. - Nr 3 . - S. 14-22 .
Hardy GH, Wright EM En introduktion till talteorin . — 4:e upplagan. - Oxford.: Oxford University Press, 1968. - 421 s.

Länkar

Komplexa Gaussiska heltal för 'Gaussian Graphics' (engelska) (länk ej tillgänglig) . Hämtad 11 september 2013. Arkiverad från originalet 14 juni 2006.
Butler, Lee A. En klassificering av gaussiska primtal . Tillträdesdatum: 16 januari 2017.
Conrad, Keith. De gaussiska heltal (engelska) . Hämtad: 11 september 2013.

Ordböcker och uppslagsverk	Larussa Britannica (online)

Algebraiska tal
Olika sorter	Algebraiska heltal Chebyshev noder Konstruktiva siffror Eisensteins helhet Gaussiska heltal Kummer ring Perron nummer Piso-Vijayaraghavan nummer Kvadratisk irrationalitet ℚ Rötter från enhet Salem nummer
Specifik	Conway konstant 3 √ 2 φ δS _ √2 _ √ 3 √5 _ 12 √ 2