Kvadratisk irrationalitet

Kvadratisk irrationalitet är ett irrationellt tal som är den reella roten av någon andragradsekvation med rationella koefficienter (eller, vilket är detsamma, den reella roten av ett 2:a gradens polynom med rationella koefficienter [1] ). När det gäller källor, förstås kvadratiska irrationaliteter i det allmänna fallet som de komplexa rötterna till de angivna ekvationerna. $ax^{2}+bx+c=0$ $a,b,c$ $ax^{2}+bx+c$

Ett tals irrationalitet innebär att det inte kan representeras som ett rationellt tal (ett bråktal). Av detta följer att polynomet är irreducerbart inom fältet rationella tal, det vill säga att det inte sönderdelas i detta fält till faktorer av första graden [1] . $x$ $ax^{2}+bx+c=0$ $\mathbb {Q} ,$

Algebraiska egenskaper

Lösningen av andragradsekvationen ger formeln: $ax^{2}+bx+c=0$

x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {D}}}{2a)),

där ( ekvationens diskriminant ). Rotens verklighet betyder att därför har varje kvadratisk irrationalitet formen: $D=b^{2}-4ac$ $D\geqslant 0.$

x=u+v{\sqrt {D)),

där är rationella tal, och , och det radikala uttrycket är icke-negativt och är inte en perfekt kvadrat av ett rationellt tal [2] . $u,v,D$ $v\neq 0$ $D$

Exempel: . $11-{\sqrt {2));\quad {\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$

Det följer av definitionen att kvadratiska irrationaliteter är algebraiska tal av andra graden. Observera att det inversa elementet för också är en kvadratisk irrationalitet: $x=u+v{\sqrt {D))$

{1 \over u+v{\sqrt {D}}}={uv{\sqrt {D}} \over u^{2}-v^{2}D}.

Talet kallas konjugerat för Det finns formler: $x'=uv{\sqrt {D}}$ $x=u+v{\sqrt {D}).$

(x+y)'=x'+y';\quad (xy)'=x'y';\quad \left({\frac {1}{x}}\right)'={\ frac {1}{x'}}.

Kanoniskt format

Utan förlust av generalitet kan ekvationen förenklas enligt följande. $ax^{2}+bx+c=0$

Koefficienterna för den 2:a gradensekvationen som övervägs kan göras till heltal , eftersom det är lätt att bli av med nämnare av bråk genom att multiplicera båda sidor av ekvationen med den minsta gemensamma multipeln av alla nämnare. Diskriminanten blir då också ett heltal. $D$
Om den ledande koefficienten multiplicera sedan ekvationen med . $a<0,$ $-ett$
Slutligen delar vi den resulterande ekvationen med den största gemensamma divisorn gcd . $ax^{2}+bx+c=0$ $(a,b,c)$

Som ett resultat får vi en ekvation med heltalskoefficienter för coprime , och den ledande koefficienten är positiv [3] . Denna ekvation är unikt relaterad till ett par av dess rötter, och uppsättningen av sådana ekvationer kan räknas . Därför är uppsättningen av kvadratiska irrationaliteter också räknebar. $ax^{2}+bx+c=0$

Det är ofta bekvämt att göra ytterligare en modifiering i rotuttrycket : om några kvadrater ingår i den kanoniska nedbrytningen tar vi bort dem från det radikala tecknet, så att det återstående värdet blir fritt från kvadrater . $x=u+v{\sqrt {D)),$ $D$ $D$

Kvadratiska fält

Summan, skillnaden och produkten av kvadratiska irrationer med samma diskriminant har antingen samma format eller är rationella tal, så tillsammans bildar de ett fält , som är en normal förlängning av andra potensen av det rationella talfältet ℚ . Detta fält betecknas och kallas det kvadratiska fältet . Varje sådan förlängning kan erhållas på det sätt som beskrivs. Galois-gruppen i förlängningen, förutom den identiska automorfismen , innehåller en kartläggning av ett irrationellt tal i dess konjugat (i ovanstående betydelse) [4] . $D$ $\mathbb {Q} ({\sqrt {D)))$ $\mathbb {Q}$

Antag att, som beskrivits ovan, är ett kvadratfritt heltal. Sedan för olika värden erhålls olika kvadratiska fält [5] . $D$ $D$

För ett kvadratiskt fält kan du konstruera dess ring av heltal , det vill säga uppsättningen rötter av reducerade polynom med heltalskoefficienter vars ledande koefficient är 1. Ett kvadratfritt fält kan inte vara delbart med 4, så det finns två fall [ 4] beroende på vilken rest som delas med 4. $D$ $D$

Om den har formen är heltalselementen tal i formen , där är naturliga tal. $D$ $4k+1,$ $m+n\cdot {\tfrac {1+{\sqrt {D}}}{2}}$ $m,n$
If har formen eller sedan heltalselement är tal av formen , där är naturliga tal. $D$ $4k+2$ $4k+3,$ $m+n{\sqrt {D))$ $m,n$

Koppling med fortsatta bråk

Verkliga kvadratiska irrationaliteter är relaterade till fortsatta bråk av Lagrangesatsen (ibland kallad Euler–Lagrangesatsen ) [6] :

Ett reellt tal är en kvadratisk irrationalitet om och endast om det sönderfaller till en oändlig periodisk fortsatt bråkdel.

Exempel:

{\sqrt {3}}=1,732\ldots =[1;1,2,1,2,1,2,\ldots ]

En fortsatt bråkdel vars period börjar från den första länken kallas rent periodisk . Evarist Galois bevisade 1828 att den fortsatta fraktionen för kvadratisk irrationalitet är rent periodisk om och endast om , och den konjugerade irrationaliteten ligger i intervallet . Han bevisade också att i fallet med en rent periodisk nedbrytning har den konjugata kvadratiska irrationaliteten samma länkar, men ordnade i omvänd ordning [7] . $x$ $x>1$ $x'$ $(-1;0)$

Generalisering

Kvadratisk irrationalitet är ett specialfall av "irrationalitet av den e graden", som är roten till ett polynom av den e graden, irreducibel i fältet , med heltalskoefficienter. Rationella tal erhålls när och kvadratiska irrationaliteter motsvarar fallet $n$ $\mathbb {Q}$ $n$ $n=1,$ $n=2.$

Vissa källor inkluderar bland de kvadratiska irrationaliteterna också de komplexa rötterna till andragradsekvationer (till exempel Gaussiska heltal eller Eisensteintal ).

G. F. Voronoi utvidgade i sitt arbete "Om algebraiska heltal beroende på roten av en ekvation av 3:e graden" (1894) teorin (inklusive fortsatta bråk) till fallet med kubiska irrationaliteter.

Historik

Theodore av Cyrene och hans elev Theaetetus från Aten (300-talet f.Kr.) var de första som bevisade att om ett tal inte är en perfekt kvadrat , så är det inte ett rationellt tal, det vill säga det kan inte uttryckas exakt som ett bråktal. Detta bevis förlitade sig på " Euklids lemma ". Euklid ägnade den tionde boken i sin Principia åt dessa frågor ; han, liksom samtida källor, använde aritmetikens grundläggande sats . $N$ ${\sqrt {N}}$

Anteckningar

↑ 1 2 Kvadratisk irrationalitet // Mathematical Encyclopedia (i 5 volymer). - M .: Soviet Encyclopedia , 1979. - T. 2. - S. 776.
↑ Galochkin A. I. Kvadratisk irrationalitet // Mathematical Encyclopedia (i 5 volymer). - M .: Soviet Encyclopedia , 1979. - T. 2. - S. 776.
↑ Nesterenko Yu. V., 2008 , sid. 207.
↑ 1 2 Irland K., Rosen M. En klassisk introduktion till modern talteori. - M .: Mir, 1987. - S. 230-232. — 428 sid.
↑ Bukhshtab A.A., 2015 , sid. 149-150.
↑ Nesterenko Yu. V., 2008 , sid. 208-209.
↑ Davenport G. Högre aritmetik . - M . : Nauka, 1965. - S. 100 .

Litteratur

Bukhshtab A. A. Kvadratiska irrationaliteter och periodiska fortsatta bråk // Talteori. - 4:e uppl. - M. : Lan, 2015. - 384 sid. - ISBN 978-5-8114-0847-4 .
Nesterenko Yu. V. Talteori: en lärobok för studenter. högre lärobok anläggningar. - M . : Publishing Center "Academy", 2008. - 272 sid. - ISBN 978-5-7695-4646-4 .
Khinchin A. Ya. Fortsättning fraktioner . — M .: GIFML, 1960.

Länkar

Weisstein, Eric W. Quadratic Surd (engelska) på Wolfram MathWorld- webbplatsen .
Fortsatt bråkräknare för kvadratiska irrationer Arkiverad 18 februari 2020 på Wayback Machine
Bevis på att e inte är en kvadratisk irrationell

Algebraiska tal
Olika sorter	Algebraiska heltal Chebyshev noder Konstruktiva siffror Eisensteins helhet Gaussiska heltal Kummer ring Perron nummer Piso-Vijayaraghavan nummer Kvadratisk irrationalitet ℚ Rötter från enhet Salem nummer
Specifik	Conway konstant 3 √ 2 φ δS _ √2 _ √ 3 √5 _ 12 √ 2