Heltals algebraiskt tal

Heltals algebraiska tal kallas komplexa (och i synnerhet reella ) rötter av polynom med heltalskoefficienter och med en inledande koefficient lika med ett.

När det gäller addition och multiplikation av komplexa tal bildar algebraiska heltal en ring . Uppenbarligen är en subring av fältet av algebraiska tal och innehåller alla vanliga heltal. $\Omega$ $\Omega$

Låt vara ett komplext tal. Betrakta en ring som genereras genom att lägga till vanliga heltal till ringen . Det bildas av alla möjliga värden , där är ett polynom med heltalskoefficienter. Då gäller följande kriterium: ett tal är ett algebraiskt heltal om och endast om är en ändligt genererad Abelisk grupp . $u$ ${\mathbb {Z}}[u]$ $u$ $\mathbb {Z}$ $f(u)$ $F Z)$ $u$ ${\mathbb {Z}}[u]$

Exempel på algebraiska heltal

Gaussiska heltal .
Enhetens rötter är rötterna till ett polynom över fältet av komplexa tal. $x^n-1$

Egenskaper

Alla rationella tal som förekommer i är heltal . Med andra ord, ingen irreducerbar bråkdel med en nämnare större än en kan vara ett algebraiskt heltal. $\Omega$ $m/n$
För varje algebraiskt tal finns det ett naturligt tal som är ett algebraiskt heltal. $u$ $n$ $nu$
Roten till vilken grad som helst av ett heltalsalgebraiskt tal är också ett heltalsalgebraiskt tal.

Historik

Teorin om algebraiska heltal skapades på 1800-talet av Gauss , Jacobi , Dedekind , Kummer och andra. Intresset för det berodde i synnerhet på att denna struktur historiskt sett var den första inom matematiken, där man upptäckte en tvetydig faktorisering till primtalsfaktorer. Klassiska exempel byggdes av Kummer; säg, i en subring av algebraiska heltal av formen sker 2 expansioner: $a+b{\sqrt {-5}}$

6=2\cdot 3=(1+{\sqrt {-5)))\cdot (1-{\sqrt {-5)))

dessutom, i båda fallen, är alla faktorer enkla , det vill säga de är oupplösliga i denna subring.

Studiet av detta problem ledde till upptäckten av de viktiga begreppen ideal och främsta ideal , i vars struktur det blev möjligt att entydigt fastställa nedbrytningen till primära faktorer.

Litteratur

C. Irland, M. Rosen. En klassisk introduktion till modern talteori. Översättning från engelska av S. P. Demushkin, redigerad av A. N. Parshin. M.: Mir, 1987, kapitel 6.
Borevich Z. I., Shafarevich I. P. Talteori. Moskva: Nauka, 3:e uppl., 1985.— 504 sid.
Van der Waerden B. L. Algebra. Moskva: Mir, 1975, kapitel 17: Heltals algebraiska element.
Gekke E. Föreläsningar om teorin om algebraiska tal, övers. från tyska, M. - L., 1940.
Gelfond A. O. Transcendentala och algebraiska tal, M., 1952.
Postnikov M. M. Introduktion till teorin om algebraiska tal

Algebraiska tal
Olika sorter	Algebraiska heltal Chebyshev noder Konstruktiva siffror Eisensteins helhet Gaussiska heltal Kummer ring Perron nummer Piso-Vijayaraghavan nummer Kvadratisk irrationalitet ℚ Rötter från enhet Salem nummer
Specifik	Conway konstant 3 √ 2 φ δS _ √2 _ √ 3 √5 _ 12 √ 2