Algebraiskt tal

Ett algebraiskt tal över ett fält är en del av den algebraiska stängningen av fältet , det vill säga roten till ett polynom (inte identiskt lika med noll ) med koefficienter från . $\mathbb {F}$ $\mathbb {F}$ $\mathbb {F}$

Om fältet inte anges, antas fältet för rationella tal , det vill säga i det här fallet betecknas fältet för algebraiska tal vanligtvis med . Denna uppsättning är ett underfält till fältet komplexa tal . $\mathbb {F} =\mathbb {Q}$ $\mathbb {A}$

Relaterade definitioner

Ett reellt eller komplext tal som inte är algebraiskt kallas transcendentalt .

Heltals algebraiska tal är rötterna till polynom med heltalskoefficienter och med en inledande koefficient lika med ett.

Om är ett algebraiskt tal, så finns det bland alla polynom med koefficienter från fältet som har som sin rot ett enda polynom av den minsta graden och med den högsta koefficienten lika med en. Ett sådant polynom kallas minimalt , eller kanoniskt , polynom för ett algebraiskt tal över (ibland kallas ett polynom kanoniskt om det erhålls från det minimala genom att multiplicera dess koefficienter med den minsta gemensamma multipeln av nämnarna av dess koefficienter, det vill säga en polynom med heltalskoefficienter). Graden av ett kanoniskt över polynom för kallas graden av ett algebraiskt tal . $\alfa$ $\mathbb {F}$ $\alfa$ $\alfa$ $\mathbb {F}$ $\mathbb {F}$ $\alfa$ $\alfa$

Andra rötter av ett kanoniskt över polynom kallas konjugat (enligt Galois ) med över . $\mathbb {F}$ $\alfa$ $\alfa$ $\mathbb {F}$

Ett minimalt överpolynom är per definition irreducerbart över . $\mathbb {F}$ $\mathbb {F}$

Höjden på ett algebraiskt tal är den största av de absoluta värdena för koefficienterna i ett irreducerbart och primitivt polynom med heltalskoefficienter som har sin rot. Denna kvantitet kallas också höjden på det irreducerbara polynomet i sig. $\alfa$ $\alfa$

Exempel

Rationella tal , och bara de, är algebraiska tal av första graden.
Den imaginära enheten och är algebraiska tal av andra graden. Deras konjugat är respektive och . $i$ ${\sqrt 2}$ $-jag$ $-{\sqrt 2}$
Gaussiska heltal , deras grad är också den andra.
Det gyllene snittet som roten till ett polynom $x^{2}-x-1.$
${\sqrt[{3}]{1+{\sqrt {2))))+{\sqrt[{3}]{1-{\sqrt {2))))$ - algebraiskt tal av 3:e graden, roten av polynomet . Konjugerade tal är lika . $x^{3}+3x-2$ ${\tfrac {-1\pm {\sqrt {3}}i}{2}}{\sqrt[{3}]{1+{\sqrt {2}}}}+{\tfrac {- 1\mp {\sqrt {3}}i}{2}}{\sqrt[{3}]{1-{\sqrt {2}}}}$
För alla naturliga tal är talet ett algebraiskt antal grader . $n$ ${\sqrt[{n}]{3))$ $n$

Egenskaper

Summan, skillnaden, produkten och kvoten [1] av två algebraiska tal är algebraiska tal, det vill säga mängden av alla algebraiska tal bildar ett fält .
- Följd: Ett komplext tal är algebraiskt om och endast om båda dess komponenter är algebraiska tal. $a+bi$ $a,b$
Mängden algebraiska tal kan räknas och därför är dess mått lika med noll.
Mängden algebraiska tal är tät på det komplexa planet .
Roten till ett polynom med algebraiska koefficienter är ett algebraiskt tal, det vill säga fältet för algebraiska tal är algebraiskt stängt .
För alla algebraiska tal finns det ett naturligt tal som är ett algebraiskt heltal . $\alfa$ $N$ $N\alfa$
Ett algebraiskt gradtal har olika konjugerade tal (inklusive sig själv). $\alfa$ $n$ $n$
$\alfa$ och är konjugerade om och endast om det finns en fältautomorfism som mappar till . $\beta$ $\mathbb {A}$ $\alfa$ $\beta$
Alla algebraiska tal är beräkningsbara och därför aritmetiska .

Tal som kan uttryckas i radikaler

Alla tal som kan erhållas från heltal med fyra aritmetiska operationer (addition, subtraktion, multiplikation, division), såväl som att extrahera roten till en heltalsgrad, är algebraisk. Så till exempel kommer talet att vara algebraiskt , liksom siffror i formen , där är rationella tal . ${\displaystyle {\sqrt {\frac {1998}{{\sqrt[{19}]{98}}-{\sqrt[{199}]{8)))))))$ $Q_{1}^{Q_{2}}+Q_{3}^{Q_{4}}+\ldots +Q_{n}^{Q_{n+1}}$ ${\displaystyle Q_{1},Q_{2},Q_{3},Q_{4}\dots Q_{n+1))$

Men alla algebraiska tal kan inte skrivas med hjälp av radikaler. Så, till exempel, enligt Abel-Ruffini-satsen kan polynom av grad fem och högre med heltalskoefficienter vara olösliga i radikaler. Rötterna till sådana polynom är algebraiska tal, som inte kan konstrueras från så många som fyra aritmetiska operationer och extraktion av rötter [2] .

Historik

Namnet algebraiska och transcendentala tal föreslogs av Euler 1775. Vid den tiden var transcendensen av något känt nummer ännu inte känt [2] . Algebraiska fält andra än rationella började övervägas av Gauss . När underbygga teorin om biquadratic rester , utvecklade han aritmetiken av heltal Gaussian tal , det vill säga siffror i formen , där och är heltal . $a+bi$ $a$ $b$

Fortsättningen av Gauss forskning ledde under andra hälften av 1800-talet till konstruktionen av en allmän teori om algebraiska tal [3] . Vidare, genom att studera teorin om kubiska rester, skapade Jacobi och Eisenstein aritmetiken av tal i formen , där är kubroten av enhet och och är heltal. År 1844 bevisade Liouville ett teorem om omöjligheten av en för bra approximation av polynomens rötter med rationella koefficienter genom rationella bråk, och som ett resultat introducerades de formella begreppen algebraiska och transcendentala (det vill säga alla andra reella) tal. $a+b\rho$ $\rho =(-1+i{\sqrt 3})/2$ $a$ $b$

Försök att bevisa Fermats sista sats ledde till att Kummer studerade cirkeldelningsfält , introducerade begreppet ideal och skapade element av algebraisk talteori. I verk av Dirichlet , Kronecker , Hilbert och andra utvecklades teorin om algebraiska tal vidare. Ett stort bidrag till det gjordes av de ryska matematikerna Zolotarev ( ideal teori ), Voronoi (kubisk irrationalitet, enheter av kubiska fält), Markov (kubiskt fält), Sokhotsky (ideal teori) och andra.

Anteckningar

↑ förutom kvoten för division med noll
↑ 1 2 A. Zjukov. Algebraiska och transcendentala tal // Kvant. - 1998. - Nr 4 . Arkiverad från originalet den 13 juli 2018.
↑ Vinogradov I. M. Carl Friedrich Gauss // Arbetar med talteori. — M .: AN SSSR, 1959.

Länkar

Feldman, N. Algebraiska och transcendentala siffror Arkiverad 19 september 2004 på Wayback Machine // Kvant , nr 7, 1983.
Nesterenko Yu. V. Föreläsningar om algebraiska siffror Arkivkopia daterad 12 juni 2017 på Wayback Machine // Sammanfattning av kursen för föreläsningar som ges vid Mechanics and Mathematics of Moscow State University .
Mazur B. : Algebraiska siffror arkiverade 7 maj 2016 på Wayback Machine (PDF; 272 kB ) .

Algebraiska tal
Olika sorter	Algebraiska heltal Chebyshev noder Konstruktiva siffror Eisensteins helhet Gaussiska heltal Kummer ring Perron nummer Piso-Vijayaraghavan nummer Kvadratisk irrationalitet ℚ Rötter från enhet Salem nummer
Specifik	Conway konstant 3 √ 2 φ δS _ √2 _ √ 3 √5 _ 12 √ 2

Numeriska system
Räknebara set	Naturliga tal ( ) $\scriptstyle \mathbb {N}$ Heltal ( ) $\scriptstyle \mathbb {Z}$ Rationell ( ) $\scriptstyle \mathbb {Q}$ Algebraisk ( ) $\scriptstyle {\overline {\mathbb {Q} }}$ Perioder Beräknarbar Aritmetisk
Reella tal och deras anknytningar	Riktig ( ) $\scriptstyle \mathbb {R}$ Komplex ( ) $\scriptstyle \mathbb {C}$ Kvaternioner ( ) $\scriptstyle \mathbb {H}$ Cayley-tal (oktaver, oktonjoner) ( ) $\scriptstyle \mathbb {O}$ Sedenioner ( ) $\scriptstyle \mathbb {S}$ Ändringar Dubbel Hyperkomplex Superrealistiskt Hypermaterial surrealistiskt
Numeriska förlängningsverktyg	Cayley-Dixon procedur Frobenius teorem Hurwitz teorem
Andra nummersystem	grundtal Ordningstal (transfinita, ordningstal) p-adic Övernaturliga siffror intervallnummer
se även	dubbla siffror Irrationella siffror transcendentala tal nummerstråle Biquaternion