Polynomhöjd

Höjden och längden av ett polynom P med komplexa koefficienter är kvantiteter som anger "storleken" på polynomet.

Dessa termer används också i förhållande till själva de algebraiska talen : höjden och längden av ett algebraiskt tal är höjden och längden på dess minimala polynom .

Definition

För ett polynom P av grad n givet av formeln

P=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\cdots +a_{n}x^{n},

höjden H ( P ) är det maximala (modulo) värdet av dess koefficienter:

H(P)={\underset {i}{\max }}\,|a_{i}|,

och längden L ( P ) är summan av koefficienternas absoluta värden:

L(P)=\sum _{i=0}^{n}|a_{i}|.\,

Förbindelse med Mahler-måttet

Mahlermåttet M ( P ) för ett polynom P är också ett mått på storleken på ett polynom P. De tre funktionerna H ( P ), L ( P ) och M ( P ) är relaterade av ojämlikheterna

{\binom {n}{\lfloor n/2\rfloor ))^{-1}H(P)\leq M(P)\leq H(P){\sqrt {n+1));

L(p)\leq 2^{n}M(p)\leq 2^{n}L(p);

H(p)\leq L(p)\leq nH(p)

var är binomialkoefficienten . $\scriptstyle {\binom {n}{\lfloor n/2\rfloor ))$

Anteckningar

Litteratur

Peter Borwein. . - Springer-Verlag , 2002. - S. 2,3,142,148. - (CMS-böcker i matematik). — ISBN 0-387-95444-9 .
K. Mahler. Om två extrema egenskaper hos polynom // Illinois J. Math .. - 1963. - T. 7 . — S. 681–701 .
Andrzej Schinzel . Polynom med särskild hänsyn till reducerbarhet. - Cambridge: Cambridge University Press , 2000. - V. 77. - S. 212. - (Encyclopedia of Mathematics and Its Applications). — ISBN 0-521-66225-7 .

Länkar

Polynomhöjd vid Mathworld