Mahler mått

Mahlermåttet för ett polynom med komplexa koefficienter definieras som $M(p)$ $p(z)$

M(p)=|a|\prod _{|\alpha _{i}|\geq 1}|\alpha _{i}|=|a|\prod _{i=1}^{n }\max\{1,|\alpha _{i}|\},

där faktoriserar inom komplexa tal $p(z)$ $\mathbb {C}$

p(z)=a(z-\alpha _{1})(z-\alpha _{2})\cdots (z-\alpha _{n}).

Mahlermåttet kan ses som en slags funktion av höjden . Med Jensens formel kan man visa att detta mått är ekvivalent med det geometriska medelvärdet av talen för på enhetscirkeln (dvs. ): $|p(z)|$ $z$ $|z|=1$

M(p)={\color {Grön}\exp }\left({\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }{\color {Grön} \ln }(|p(e^{i\theta })|)\,d\theta \right).

Mer allmänt definieras Mahlermåttet för ett algebraiskt tal som Mahlermåttet för det minimala polynomet i över . I synnerhet, om är ett Pisot-nummer eller ett Salem-nummer , så är Mahler-måttet helt enkelt . $\alfa$ $\alfa$ $\mathbb {Q}$ $\alfa$ $\alfa$

Mahlermåttet är uppkallat efter matematikern Kurt Mahler .

Egenskaper

Mahlermåttet är multiplikativt: var är den universella kvantifieraren . $\forall p,q,\,\,M(p\cdot q)=M(p)\cdot M(q),$ $\för alla$
${\displaystyle M(p)=\lim _{\tau \rightarrow 0}\|p\|_{\tau ))$ , där potensmedelvärdet är normen för polynomet [1] . $\|p\|_{\tau }=\left({\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi}|p(e^{i\theta })|^{\tau }\,d\theta \right)^{1/\tau }$ ${\displaystyle L_{\tau ))$ $sid$
( Kroneckers sats ) Om är ett irreducibelt normaliserat (högsta koefficient - 1) heltalspolynom med , då antingen , eller är ett cirkulärt polynom . $sid$ $M(p)=1$ $p(z)=z$ $sid$
( Lemaires gissning ) Om det finns en konstant sådan att if är ett irreducerbart heltalspolynom, då antingen , eller . $\mu >1$ $sid$ $M(p)=1$ $M(p)>\mu$
Mahlermåttet på ett normaliserat heltalspolynom är Perrontalet .

Mahler mått i flera variabler

Mahlermåttet för ett polynom med flera variabler definieras av en liknande formel [2] . $M(p)$ $p(x_{1},\ldots ,x_{n})\in \mathbb {C} [x_{1},\ldots ,x_{n}]$

M(p)=\exp \left({\frac {1}{(2\pi )^{n))}\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^ {2\pi }\cdots \int _{0}^{2\pi }\log {\Bigl (}{\bigl |}p(e^{i\theta _{1)),e^{i\ theta _{2)),\ldots ,e^{i\theta _{n))){\bigr |}{\Bigr )}\,d\theta _{1}\,d\theta _{2} \cdots d\theta _{n}\right).

Detta mått bevarar alla tre egenskaperna hos Mahlermåttet för ett polynom i en variabel.

Det har visat sig att i vissa fall är Mahler-måttet med flera variabler relaterat till speciella värden för zeta-funktionerna och -funktionerna . Till exempel, 1981 bevisade Smith formlerna [3] $L$

m(1+x+y)={\frac {3{\sqrt {3}}}{4\pi }}L(\chi _{-3},2),

var är Dirichlet L-funktionen , och $L(\chi _{-3},s)$

m(1+x+y+z)={\frac {7}{2\pi ^{2))}\zeta (3)

var är Riemanns zeta-funktion . Här kallat logaritmiskt Mahlermått . $\zeta$ ${\displaystyle m(P)=\log {M(P)))$

Lawtons teorem

Per definition betraktas Mahlermåttet som en integral av ett polynom över en torus (se Lehmers gissning ). Om försvinner på torus , då är konvergensen av integraldefinitionen inte uppenbar, men det är känt att det konvergerar och är lika med gränsen för Mahlermåttet i en variabel [4] , vilket uttrycktes som en gissning av Boyd [5] [6] . $sid$ ${\displaystyle (S^{1})^{n))$ $M(p)$ $M(p)$

Låt beteckna heltal, definiera . Om är ett polynom i variabler och , låt sedan ett polynom i en variabel definieras som $\mathbb {Z}$ $\mathbb {Z} _{+}^{N}=\{r=(r_{1},\dots ,r_{N})\in \mathbb {Z} ^{N}:r_{j }\geq 0\ {\text{för}}\ 1\leq j\leq N\}$ $Q(z_{1},\dots,z_{N})$ $N$ ${\displaystyle r=(r_{1},\dots ,r_{N})\in \mathbb {Z} _{+}^{N))$ $Q_{r}(z)$

Q_{r}(z):=Q(z^{r_{1)),\dots ,z^{r_{N))),

a - hur $q(r)$

q(r):={\text{min}}\{H(s):s=(s_{1},\dots ,s_{N})\in \mathbb {Z} ^{N} ,s\neq (0,\dots ,0)\ {\text{och}}\ \summa _{j=1}^{N}s_{j}r_{j}=0\}

var . $H(s)={\text{max}}\{|s_{j}|:1\leq j\leq N\}$

Sats (Lawton) : låt vara ett polynom i N variabler med komplexa koefficienter - då är följande gräns sann (även om villkoret överträds ): $Q(z_{1},\dots,z_{N})$ $r_{i}\geq 0$

\lim _{q(r)\rightarrow \infty }M(Q_{r})=M(Q)

Boyds förslag

Boyd föreslog ett uttalande som var mer allmänt än ovanstående teorem. Han påpekade att den klassiska Kronecker-satsen, som karakteriserar normaliserade polynom med heltalskoefficienter vars rötter ligger inuti enhetscirkeln, kan betraktas som en beskrivning av polynom i en variabel för vilken Mahlermåttet är exakt 1, och att detta resultat kan vara utvidga till polynom med flera variabler [6] .

Låt det utökade cirkelpolynomet definieras som ett polynom av formen

\Psi (z)=z_{1}^{b_{1}}\dots z_{n}^{b_{n}}\Phi _{m}(z_{1}^{v_{1} }\dots z_{n}^{v_{n}}),

där är ett cirkulärt polynom av grad m , är heltal, och är valt att vara minimalt, så det är ett polynom i . Låta vara mängden polynom som är produkten av monomer och ett utökat cirkulärt polynom. Då erhålls följande teorem. $\Phi _{m}(z)$ $v_{i}$ $b_{i}=\max(0,-v_{i}\deg \Phi _{m})$ $\Psi (z)$ $z_{i}$ $K_n$ $\pm z_{1}^{c_{1}}\dots z_{n}^{c_{n}}$

Sats (Boyd) : låt vara ett polynom med heltalskoefficienter - då bara när är ett element av . $F(z_{1},\dots ,z_{n})\in \mathbb {Z} [z_{1},\ldots ,z_{n}]$ $M(F)=1,$ $F$ $K_n$

Detta fick Boyd att överväga följande uppsättningar:

L_{n}:={\bigl \{}m(P(z_{1},\dots,z_{n})):P\in \mathbb {Z} [z_{1},\dots ,z_{n}]{\bigr \)),

och förening . Han lade fram en mer "avancerad" hypotes [5] att mängden är en sluten delmängd . Giltigheten av denna gissning antyder omedelbart giltigheten av Lehmers gissning, dock utan en explicit nedre gräns. Sedan från Smiths resultat ${\displaystyle {L}_{\infty }=\bigcup _{n=1}^{\infty }L_{n))$ ${\displaystyle {L}_{\infty ))$ $\mathbb {R}$ [ förtydliga ] det följer att Boyd senare antog det ${\displaystyle L_{1}\subsetneqq L_{2))$

L_{1}\subsetneqq L_{2}\subsetneqq L_{3}\subsetneqq \ \cdots \,.

Se även

Norma Bombieri
Polynomhöjd

Anteckningar

↑ Även om detta inte är den sanna normen för . $\tau <1$
↑ Schinzel, 2000 , sid. 224.
↑ Smyth, 2008 .
↑ Lawton, 1983 .
↑ 12 Boyd, 1981a .
↑ 12 Boyd, 1981b .

Litteratur

Peter Borwein. Beräkningsexkursioner i analys och talteori. - Springer , 2002. - T. 10. - S. 3, 15. - (CMS Books in Mathematics). — ISBN 0-387-95444-9 .
David Boyd. Spekulationer om räckvidden för Mahlers mått // Kanada. Matematik. Bull.. - 1981a. - T. 24 , nej. 4 . — S. 453–469 . - doi : 10.4153/cmb-1981-069-5 .
David Boyd. Kroneckers sats och Lehmers problem för polynom i flera variabler // Journal of Number Theory . — 1981b. - T. 13 . — S. 116–121 . - doi : 10.1016/0022-314x(81)90033-0 .
David Boyd. Talteori för millenniet / MA Bennett. — A.K. Peters, 2002a. — s. 127–143.
David Boyd. Mahlers mått, hyperboliska grenrör och dilogaritmen // Canadian Mathematical Society Notes. — 2002b. - T. 34 , nej. 2 . — S. 3–4, 26–28 .
David Boyd, F. Rodriguez Villegas. Mahlers mått och dilogaritmen, del 1 // Canadian J. Math .. - 2002. - T. 54 . — S. 468–492 . - doi : 10.4153/cjm-2002-016-9 .
Hazewinkel, Michiel, red. (2001), Mahler measure , Encyclopedia of Mathematics , Springer , ISBN 978-1-55608-010-4 .
JL Jensen. Sur un nouvel et important théorème de la théorie des fonctions // Acta Mathematica . - 1899. - T. 22 . — S. 359–364 . - doi : 10.1007/BF02417878 .
Donald E. Knuth. 4.6.2 Faktorisering av polynom // Seminumeriska algoritmer. — 3:a. - Addison-Wesley, 1997. - V. 2. - S. 439-461, 678-691. - ( Konsten att programmera ). — ISBN 0-201-89684-2 .
Wayne M. Lawton. Ett problem med Boyd om geometriska medel för polynom // Journal of Number Theory . - 1983. - T. 16 . — S. 356–362 . - doi : 10.1016/0022-314X(83)90063-X .
MJ Mossinghoff. Polynom med litet Mahlermått // Mathematics of Computation . - 1998. - T. 67 , nr. 224 . - S. 1697-1706 . - doi : 10.1090/S0025-5718-98-01006-0 .
Andrzej Schinzel. Polynom med särskild hänsyn till reducerbarhet. - Cambridge University Press , 2000. - V. 77. - (Encyclopedia of Mathematics and Its Applications). — ISBN 0-521-66225-7 .
Chris Smith. Talteori och polynom / James McKee, Chris Smyth. - Cambridge University Press , 2008. - T. 352. - S. 322-349. — (London Mathematical Society Lecture Note Series). — ISBN 978-0-521-71467-9 .