L-funktion

En L - funktion är en meromorf funktion på det komplexa planet som är associerat med en av flera typer av matematiska objekt . En L-serie är en Dirichlet-serie som vanligtvis konvergerar på halvplanet, och som analytiskt kan utökas till en L-funktion på hela det komplexa planet.

L-funktionsteorin har blivit en mycket viktig, men fortfarande till stor del hypotetisk, del av modern analytisk talteori . I den konstrueras breda generaliseringar av Riemann zeta-funktionen och L-serien för Dirichlet-karaktärer , och deras allmänna egenskaper, i de allra flesta fall, är ännu inte tillgängliga för bevis i en systematisk presentation

Byggnad

Vi kommer att skilja mellan L-serier , det vill säga representationer via serier (till exempel Dirichlet-serien för Riemanns zetafunktion), och L -funktioner, det vill säga analytiska fortsättningar av en funktion på hela det komplexa planet. Den allmänna konstruktionen börjar med L -serien, först definierad som en Dirichlet rad, och deras nedbrytning till en Euler-produkt med index som löper genom primtal. Övervägandet kräver bevis på seriens konvergens i något högra halvplan av fältet för komplexa tal. Sedan frågas det om funktionen som definieras analytiskt kan utökas till hela det komplexa planet (kanske med uppkomsten av flera poler ).

En hypotetisk meromorf förlängning av det komplexa planet kallas en L - funktion . Det är redan känt i klassiska fall att användbar information finns i värdena och beteendet för L -funktionen vid dess nollor och poler. Den allmänna termen " L - funktion" inkluderar här också många typer av zeta-funktioner . Selbergklassen är ett försök att beskriva alla huvudegenskaper hos L - funktioner med hjälp av en uppsättning axiom för att studera klassens egenskaper tillsammans, och inte separat.

Hypotetisk information

Nedan är en lista över egenskaper hos kända L - funktioner som är önskvärda att se i allmänna termer:

• placering av nollor och poler;
• Funktionell ekvation, med hänsyn till några vertikala linjer ;
• intressanta värden i heltal relaterade till parametrarna för algebraisk K-teori

Det detaljerade arbetet har genererats av en stor mängd plausibla hypoteser, till exempel om den exakta typen av funktionella ekvationer som måste gälla för L - funktioner. Eftersom Riemann zeta-funktionen relaterar sina värden i positiva jämna heltal (och negativa udda heltal) till Bernoulli-tal , pågår en sökning efter en lämplig generalisering av detta fenomen. I detta fall erhölls resultat för p-adiska L-funktioner som beskriver en viss Galois-modul.

Statistiken över fördelningen av nollor är av intresse på grund av deras koppling till problem som den generaliserade Riemann-hypotesen , fördelningen av primtal etc. Kopplingarna till slumpmatristeori och kvantkaos är också av intresse. Den fraktala strukturen av distributioner är också av intresse [2] . Självlikheten i fördelningen av nollor är ganska anmärkningsvärd och kännetecknas av en stor fraktal dimension på 1,9. Denna ganska stora fraktala dimension ligger över nollorna och täcker minst femton storleksordningar för Riemann zeta-funktionen, såväl som för nollorna för andra L-funktioner av olika ordningsföljder och ledare.

Birch och Swinnerton-Dyers hypotes

Ett viktigt exempel, både för historien om mer allmänna L -funktioner och som ett fortfarande öppet forskningsproblem, är förmodan från Birch och Swinnerton-Dyer . Gissningarna berättar hur man kan beräkna rangen av en elliptisk kurva över fältet av rationella tal (eller ett annat globalt fält ), det vill säga antalet fria rationella punktgrupper som bildar den. Mycket tidigare arbete inom detta område började smälta samman kring en bättre kunskap om L - funktioner. Det var som ett exempel på ett paradigm i den framväxande teorin om L - funktioner.

Uppkomsten av den allmänna teorin

Denna utveckling föregick Langlands program med flera år och kan ses som ett komplement till det: Langlands arbete handlar huvudsakligen om Artins L-funktioner och med L - funktioner kopplade till den allmänna automorfa representationen .

Efter hand blev det tydligare i vilken mening konstruktionen av Hasse-Weil zeta-funktionen kan göra tillhandahållandet av tillåtna L - funktioner fungerande - i analytisk mening: det måste finnas något bidrag från analysen, vilket innebar "automorf" analys. Det allmänna fallet samlar nu på konceptuell nivå ett antal olika forskningsprogram.

Se även

• Generaliserade Riemann-hypoteser
• Automorf L-funktion
• Modularitetsteorem
• Artins hypotes

Länkar

1. ↑ Jorn Steuding, An Introduction to the Theory of L-functions, Preprint, 2005/06
2. ↑ O. Shanker. Slumpmässiga matriser, generaliserade zetafunktioner och självlikhet hos nollfördelningar  // J. Phys  . A: Matematik. Gen. : journal. - 2006. - Vol. 39 , nr. 45 . - P. 13983-13997 . - doi : 10.1088/0305-4470/39/45/008 . - .