Meromorf funktion

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 13 juni 2018; kontroller kräver 5 redigeringar .

En meromorf funktion (från grekiskan μέρος - "del" och μορφή - "form") av en komplex variabel i en region (eller på en Riemann-yta ) är en holomorf funktion i en region som har en pol vid varje singulär punkt (dvs. , en isolerad punkt i uppsättningen , utan gränspunkter vid , och ). $P\subset \mathbb {C}$ $P$ $f$ ${\displaystyle P\backslash \{a_{1},\;a_{2},\;\ldots \))$ $a_{i}$ $a_{i}$ $\{a_{1},\;a_{2},\;\ldots \}$ $P$ $\lim _{{z\to a_{i}}}|f(z)|=\infty$

Definition

En verklig meromorf funktion ges av en trippel där är en kompakt Riemann-yta , är en antiholomorf involution (komplex konjugationsinvolution) och är en karta över Riemann-sfären ( ). Dessutom måste den uppfylla villkoret för alla . Varje reell funktion är konstruerad från någon reell algebraisk funktion: vilket polynom som helst med reella koefficienter är en reell meromorf funktion. Uppsättningen av fasta punkter för involutionen består av enkla parvisa icke-korsande slutna konturer (ovaler). Om den är ansluten (bortkopplad), så kallas kurvan icke-separerande (separerande). En reell meromorf funktion omvandlar ovalen av en reell kurva till en kontur där Graden av mappning definieras som indexet för funktionen på ovalen - det absoluta värdet av graden $(P,\tau ,f),$ $P$ $\tau :P\to P$ $f:P\to {\hat {\mathbb {C} }}$ ${\hat {\mathbb {C} }}=\mathbb {C} \cup \{\infty \}$ $\tau \circ f={\overline {f(z)))$ $z\in P.$ $p(z)=a_{0}+a_{1}z+...+a_{n}z^{n},$ $a_{i}(z)\in \mathbb {R} ,$ $P^{\tau }\subset P$ $\tau$ ${\displaystyle P\setminus P^{\tau ))$ $f$ $a$ $(P,\tau )$ ${\hat {\mathbb {R} }}\subset S,$ ${\hat {\mathbb {R} }}=\mathbb {R} \cup \infty .$ $f(a)\subset {\mathbb {R} }$ $f|_{a}:a\to \mathbb {\hat {R)) .$ $(P,\tau ,f)$ $a\in P^{\tau }$ $f|_{a}.$

Utrymmet för verkliga meromorfa funktioner består av ett räknebart antal sammankopplade komponenter, där varje komponent är en icke-sluten finitdimensionell reell mångfald och särskiljs genom att specificera heltalstopologiska invarianter . Till exempel är kartläggningsgraden och kurvans släkt invarianter Funktionens topologiska typ är en uppsättning siffror ( ), där är antalet ark av täckningen , uppsättningen är uppsättningen funktionsindex på ovaler , och är ett tal lika med 1 för separerande kurvor och 0 för icke-separerande. [ett] $n$ $f$ $g$ $P.$ $(P,\tau ,f)$ $g,n,\varepsilon \,|\,I$ $n$ $f,$ $I=(i_{1},...,i_{k})$ $(P,\tau ,f)$ $\varepsilon$

Uppsättningen av alla meromorfa funktioner på en domän är ett fält med avseende på de vanliga punktvisa operationerna med efterföljande förlängning i borttagbara singulariteter. $M(P)$ $P$

Egenskaper

Förhållandet mellan någon holomorphic i funktioner, och , är en meromorphic funktion i . $\varphi /\psi$ $P$ $\varphi$ $\psi$ $P$
Omvänt kan vilken meromorf funktion som helst i en domän (och på en icke-kompakt Riemann-yta ) representeras som , där och är holomorfa och har inte gemensamma nollor i . $P\subset \mathbb {C}$ $P$ $\varphi /\psi$ $\varphi$ $\psi$ $P$

Således, på en icke-kompakt Riemann-yta, sammanfaller fältet med fältet av kvotienter för ringen av holomorfa funktioner i . $M(P)$ $P$

Varje meromorf funktion definierar en kontinuerlig mappning från domänen till Riemann-sfären , vilket är en holomorf mappning med avseende på standardkomplexstrukturen . $f\in M(P)$ $f$ $P$ ${\mathbb C}\cup \{\infty \}$ ${\mathbb C}\cup \{\infty \}={\mathbb C}P^{1}$
Omvänt definierar all holomorf mappning en meromorf funktion på . I detta fall sammanfaller uppsättningen av poler med den diskreta uppsättningen . ${\displaystyle f:P\to \mathbb {C} \cup \{\infty \))$ $f$ $P$ $f$ $f^{{-1}}(\infty )$

Således kan meromorfa funktioner för en komplex variabel identifieras med holomorfa avbildningar på Riemann-sfären.

På vilken som helst icke-kompakt Riemann-yta finns det en meromorf funktion med givna poler och i var och en av dem ges huvuddelen av Laurent-nedbrytningen ( Mittag-Lefflers teorem om nedbrytning av en meromorf funktion ). $\{a_{1},\;a_{2},\;\ldots \}$
På en kompakt Riemann-yta (till exempel på en torus ) är detta problem i allmänhet olösligt - ytterligare villkor för att matcha huvuddelarna behövs.

Se även

Avdrag

Anteckningar

↑ S. M. Natanzon, Real meromorphic functions on real algebraic curves, Dokl. AN SSSR, 1987, volym 297, nummer 1, 40–43.

Länkar

Shabat BV Introduktion till komplex analys. — M .: Nauka . - 1969, 577 sidor.