Analytisk talteori

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 7 september 2021; kontroller kräver 3 redigeringar .

Analytisk talteori - en gren av talteorin , där egenskaperna hos heltal studeras med metoder för matematisk analys . De mest kända resultaten är relaterade till undersökningen av fördelningen av primtal och tillsatsproblemen hos Goldbach och Waring .

Eulers metod att generera funktioner blev det första steget i denna riktning . För att bestämma antalet heltals icke-negativa lösningar av en linjär formekvation

a_1 x_1+...+a_n x_n=N,

där är naturliga tal , konstruerade Euler en genererande funktion, som definieras som produkten av konvergenta serier (för ) $a_{1},...,a_{n}$ $|z|<1$

F_{i}(z)=\sum _{k=0}^{\infty }{(z^{a_{i)))^{k))

och är summan av termerna för en geometrisk progression , medan

F(z)=\summa^\infty_{N=0}l(N) z^N,

var är antalet lösningar av ekvationen som studeras. [ett] $l(N)$

I sitt arbete på den kvadratiska ömsesidighetslagen ansåg Gauss ändliga summor av formen

S(a)=\summa^{p}_{n=1} e^{2\pi i an^2/p},

som initierade användningen av trigonometriska summor [1] . Grundläggande metoder för att tillämpa trigonometriska summor för analys av ekvationer i heltal och primtal utvecklades av Hardy , Littlewood och Vinogradov .

Medan han arbetade på beviset för Euklids teorem om primtals oändlighet, betraktade Euler produkten över alla primtal och formulerade identiteten:

\Pi _{p}\left(1-{\frac {1}{p^{s}}}\right)^{{-1}}=\summa _{{n=1}}^{\infty }{\frac {1}{n^{s))}

som blev grunden för teorierna om zetafunktioner [1] . Det mest kända och fortfarande olösta problemet inom analytisk talteori är beviset för Riemann-hypotesen om zetafunktionens nollor , som säger att alla icke-triviala rötter till ekvationen ligger på den så kallade kritiska linjen , där är Riemann. zeta funktion . $\zeta (s)=0$ ${\mathrm {Re}}\,s={\frac {1}{2}}$ $\zeta$

För att bevisa satsen om oändligheten av primtal i en allmän form använde Dirichlet produkter över alla primtal, liknande Euler-produkten, och visade att

\Pi _{p}\left(1-{\frac {\chi (p)}{p^{s}}}\right)^{{-1}}=\summa _{{n=1}} ^{\infty }{\frac {\chi (n)}{n^{s))}

dessutom är funktionen , som kallas Dirichlet-tecknet , definierad på ett sådant sätt att den uppfyller följande villkor: den är periodisk, fullständigt multiplikativ och är inte identiskt lika med noll. Tecken och Dirichlet-serier har också funnit tillämpning inom andra grenar av matematiken, särskilt inom algebra , topologi och funktionsteori [1] . $\chip)$

Chebyshev visade att antalet primtal som inte överstiger , betecknat som , tenderar till oändlighet enligt följande lag [1] : $X$ $\pi (X)$

a{\frac {X}{\ln(X)))<\pi (X)<b{\frac {X}{\ln(X))))

, var och .

a>1/2\ln 2

b<2\ln 2

En annan gren av analytisk talteori är tillämpningen av komplex analys i beviset för satsen om fördelningen av primtal .

Se även

talteori

Anteckningar

↑ 1 2 3 4 5 Talteori // Stora sovjetiska encyklopedin : [i 30 volymer] / kap. ed. A. M. Prokhorov . - 3:e uppl. - M . : Soviet Encyclopedia, 1969-1978. // Stora sovjetiska encyklopedin

Litteratur

Davenport, Harold (2000), Multiplicative number theory , vol. 74 (3:e reviderade upplagan), Graduate Texts in Mathematics, New York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-95097-6
Tenenbaum, Gérald (1995), Introduction to Analytic and Probabilistic Number Theory , vol. 46, Cambridge studier i avancerad matematik, Cambridge University Press , ISBN 0-521-41261-7
B.M. Shirokov, Petrozavodsk State University. O. V. Kuusinena. Analytisk talteori. - Staten Petrozavodsk. universitet. O.V. Kuusinen, 1986. - 93 sid.
A.B. Venkov, Leon Armenovich Takhtadzhyan. Analytisk talteori och funktionsteori. - Nauka, 1979. - T. 2. - 224 sid.

Ordböcker och uppslagsverk	Stor ryss Britannica (online) Universalis
I bibliografiska kataloger	NKC : ph612534