Warings problem

Warings problem är ett talteoretiskt påstående , enligt vilket det för varje heltal finns ett sådant tal att vilket naturligt tal som helst kan representeras som: $n>1$ $k=k(n)$ $N$

x_1^n+x_2^n+\ldots+x_k^n=N\quad

med icke-negativa heltal . $x_1,\;x_2,\;\ldots,\;x_k$

Som en gissning föreslagen 1770 av Edward Waring [1] , bevisad av Hilbert 1909 . Redan efter bevisningen genomfördes ett betydande antal studier kring frågeställningar, både relaterade till bevisningen av huvudproblemet, och med olika alternativ och generaliseringar, där anmärkningsvärda resultat erhölls och viktiga metoder utvecklades; i den matematiska ämnesklassificeringen ägnas ett separat avsnitt av den tredje nivån åt Warings problem och relaterade studier [2] .

Huvudresultat

Fram till 1900-talet kunde problemet lösas endast i speciella fall, till exempel fastställdes Lagrangesatsen om summan av fyra kvadrater för problemet i fallet . $k=4$ $n=2$

Det första beviset på hypotesens giltighet gavs 1909 av Hilbert [3] , den var mycket omfattande och baserades på komplexa analytiska konstruktioner, inklusive femfaldiga integraler.

År 1920 gavs ett nytt bevis för samma teorem av Hardy och Littlewood , som utvecklade en speciell cirkulär metod för detta [4] . De introducerade två funktioner - och ; är den minsta så att Warings problem är lösbart för ; är den minsta så att Warings problem är lösbart för . (Det är tydligt att .) Hardy och Littlewood gav en nedre gräns för , som i ordning och reda i allmänhet inte har förbättrats från och med 2010-talet, och en övre gräns, som sedan har förbättrats radikalt. Denna funktion har sedan dess kallats Hardy-funktionen. De fick också en asymptotisk formel för antalet lösningar på Warings problem. $g(n)$ $G(n)$ $g(n)$ $k$ $N\geqslant 1$ $G(n)$ $k$ $N\geqslant N_0(n)$ $G(n)\leqslant g(n)$ $G(n)$ $n<G(n)$

Som ett resultat av studiet av Warings problem har alltså kraftfulla analysmetoder utvecklats. Men 1942 hittade Linnik ett bevis för huvudsatsen baserat på elementära metoder [5] .

Funktionen är känd. För en mer fundamental funktion har ett antal övre och nedre gränser erhållits, men dess specifika värden är okända även för små . $g(n)$ $G(n)$ $n$

Funktion g ( n )

Johann Euler , son till Leonhard Euler , föreslog omkring 1772 [6] att:

g(n)=2^n+[(3/2)^n]-2

På 1940 -talet bevisade Leonard Dixon , Pillai ( eng. Subbayya Sivasankaranarayana Pillai ), Rubugundai ( eng. RK Rubugunday ) och Niven [7] , med hänsyn till resultatet av Mahler ( ger . Kurt Mahler ) [8] , att detta är sant förutom det slutliga antalet värden större än 471 600 000 . Det finns en gissning att denna formel är sann för alla naturliga tal. $n$

Flera första värden : $g(n)$

1, 4, 9, 19, 37, 73, 143, 279, 548, 1079, 2132, 4223, 8384, 16673, 33203, 66190, 132055, … [9]

Det är anmärkningsvärt att till exempel för endast talen 23 och 239 inte kan representeras av summan av åtta kuber. $n=3$

Funktion G ( n )

År 1924 tillämpade Vinogradov sin metod för trigonometriska summor på Warings problem [10] , vilket inte bara avsevärt förenklade beviset, utan också öppnade vägen för en grundläggande förbättring av skattningen för . Efter ett antal förbättringar bevisade han 1959 att: $G(n)$

G(n)<2n\log n+4n\log\log n+2n\log\log\log n+13n

Genom att tillämpa den -adic-formen av Hardy-Littlewood-Ramanujan-Vinogradovs cirkulära metod som konstruerats av honom på uppskattningar av trigonometriska summor där summering utförs över tal med små primtalsdelare, förbättrade Karatsuba denna uppskattning 1985 [11] . Vid : $sid$ $n\geqslant 400$

G(n)<2n\log n+2n\log\log n+12n

Uppskattningen förbättrades senare av Wooley , först 1992 [12] , sedan 1995 [13] :

G(n)\leqslant n\log n+n\log \log n+2+O(n\log \log n/\log n)

Vaughan och Wooley skrev en lång recensionsartikel om Warings problem [14] , där Karatsubas resultat, publicerat 1985, är relaterat till Vaughans publikation från 1989 [15] .

Gränser [14]
4 ≤ G (2) ≤ 4
4 ≤ G (3) ≤ 7
16 ≤ G (4) ≤ 16
6 ≤ G (5) ≤ 17
9 ≤ G (6) ≤ 24
8 ≤ G (7) ≤ 33
32 ≤ G (8) ≤ 42
13 ≤ G (9) ≤ 50
12 ≤ G (10) ≤ 59
12 ≤ G (11) ≤ 67
16 ≤ G (12) ≤ 76
14 ≤ G (13) ≤ 84
15 ≤ G (14) ≤ 92
16 ≤ G (15) ≤ 100
64 ≤ G (16) ≤ 109
18 ≤ G (17) ≤ 117
27 ≤ G (18) ≤ 125
20 ≤ G (19) ≤ 134
25 ≤ G (20) ≤ 142

Faktum är att värdet bara är känt för 2 värden i argumentet, nämligen och . $G(n)$ $G(2)=4$ $G(4)=16$

Summan av kvadrater: G(2)

Enligt Lagranges teorem kan vilket naturligt tal som helst representeras som summan av fyra kvadrater av heltal. Det är också lätt att visa att siffror som ger en rest av 7 när de divideras med 8 inte kan representeras som en summa av mindre än 4 kvadrater. Alltså . $G(2)=4$

Summan av kuber: G(3)

Det är lätt att bevisa det . Detta följer av det faktum att kuber alltid är kongruenta med 0, 1 eller −1 modulo 9. $G(3)\geqslant 4$

Linnik bevisade det 1943 [5] . Datorexperiment tyder på att denna uppskattning kan förbättras till 4 (dvs. ), på grund av talen mindre än 1,3⋅10 9 , det sista talet som kräver sex kuber är 1 290 740 , och antalet tal mellan N och 2N som kräver fem kuber, faller med en ökning av N med tillräckligt hög hastighet [16] . Det största kända talet som kanske inte representeras som summan av fyra kuber är 7373170279850 , och det finns anledning att tro att detta är det största sådana talet [17] . Alla icke-negativa tal kan representeras som 9 kuber, och det antas att de största talen som kräver minst 9, 8, 7, 6 och 5 kuber är 239, 454, 8042, 1,290,740 respektive 7,373,185,07 [ 1,29 ] , och deras antal är 2, 17, 138, 4060, 113 936 676 [18] respektive. $G(3)\leqslant 7$ $G(3)=4$

Summan av fjärde potenser: G(4)

Det kända värdet för är 16. Davenport [19] bevisade detta resultat på 1930-talet . $G(4)$

Tal som 31 16 n kräver minst sexton fjärde potenser.
Talet 79 kräver 19 fjärde potenser.
Talet 13 792 kräver 17 fjärdepotenser.

Alla tal som är större än 13 792 kan representeras som summan av högst sexton fjärde potenser. Detta bevisades för siffror mindre än 10245 år 2000 [20] och för andra nummer 2005 [21] genom att förbättra Davenports resultat.

Summan av femtedelar: G(5)

617 597 724 är det sista talet mindre än 1,3⋅10 9 som skulle kräva 10 femtedelar, och 51 033 617 är det sista talet mindre än 1,3⋅10 9 som skulle kräva 11. Baserat på datorexperiment finns det anledning att tro att . $G(5)<G(4)$

Förutom exakta värden förblir frågan om antalet lösningar på Warings problem för givna parametrar och begränsningar öppen. I verk som ägnas åt denna fråga är formuleringar av formen möjliga: "Warings problem för 9 kuber med nästan lika termer" [22] . $G(n)$

Generaliseringar

Waring-Goldbach problem

Waring-Goldbach-problemet väcker frågan om representabiliteten av ett heltal som summan av potenser av primtal, i analogi med Warings problem och Goldbachs problem .

Hua Lo-ken, med hjälp av de förbättrade metoderna från Hardy-Littlewood och Vinogradov, fick en övre gräns för antalet primtalster [23] . $O(n^2\log n)$

På den officiella webbplatsen för fakulteten för mekanik och matematik vid Moscow State University , från och med 2014, anges det att Chubarikov [24] fann en fullständig lösning på Waring-Goldbach-problemet 2009 , dock i den enda artikeln från 2009 [ 25] ges lösningen på problemet, som bara i någon mening liknar problemet Waring-Goldbach [26] .

Precisionen för att representera ett heltal som en summa av potenser

En generalisering av Warings problem kan betraktas som frågan om noggrannheten av att representera ett heltal som summan av potenser av heltal, som inte har lösts ens för en grad lika med . $2$

Alla naturliga tal, med undantag för tal i formen , kan representeras som . Frågan uppstår naturligtvis: hur nära kan man komma ett givet tal genom summan av två kvadrater av heltal? Eftersom den högra sidan av denna likhet också har ordningen av kvadratroten av , kan en kvadrat närma sig ett avstånd i storleksordningen . Därför kan summan av två kvadrater närmas till ett avstånd av storleksordningen . Kan du komma närmare? Sedan Eulers tid har detta problem stått "utan rörelse", även om det finns en hypotes om att $4^m(8n+7),\;m,\;n=0,\;1,\;2,\;\ldots,$ $x^2+y^2+z^2$ $N$ $(n+1)^2-n^2=2n+1$ $n^{2}$ $N$ $N^{1/2}$ $N$ $N^{1/4}$

\min_{x,\;y\in Z}|Nx^2-y^2|\leqslant N^\varepsilon,

var finns någon, . Det är inte möjligt att ersätta i det tidigare argumentet med med en godtyckligt liten fast , och denna, vid första anblicken, har en enkel uppgift inte gått framåt sedan mitten av 1700-talet [27] . $\varepsilon>0,\;\varepsilon$ $N\geqslant N_1(\varepsilon)$ $1/4$ $1/4-c$ $c>0$

En flerdimensionell analog av Warings problem

I sina fortsatta studier om Waring-problemet fick Karatsuba [28] [29] en tvådimensionell generalisering av detta problem. Följande ekvationssystem beaktas:

x_1^{ni}y_1^i+\ldots+x_k^{ni}y_k^i=N_i,\quad i=0,\;1,\;\ldots,\;n

där ges positiva heltal som har samma tillväxtordning, , och är okända, men också positiva heltal. Enligt den tvådimensionella generaliseringen är detta system lösbart om , och om , då det finns sådana att systemet inte har några lösningar. $N_{i}$ $N_0\till+\infty$ $x_{\varkappa},\;y_{\varkappa}$ $k>cn^2\log n$ $k<c_1n^2$ $N_{i}$

Relaterade uppgifter

I teorin om diofantiska ekvationer, nära Warings problem är problemen med att representera ett naturligt tal som summan av värden av ett polynom i en variabel och ett homogent polynom i flera variabler. Det är känt att vilket naturligt tal som helst kan representeras av summan av tre triangulära tal , och alla tillräckligt stora udda heltal kan representeras av Ramanujans tretermiska kvadratiska form . Enligt Lagranges fyrkvadratsats och Legendres trekvadratsats kräver båda en summa av minst fyra kvadrater. $T_{n}={n+1 \choose 2}$ ${\displaystyle x^{2}+y^{2}+10z^{2))$

Mer speciella problem kan också kallas Warings problem i vetenskapliga artiklar [30] .

Anteckningar

↑ Waring E. Meditationes algebraicae. — Cambridge, 1770.
↑ 11P05 Warings problem och varianter // Matematisk ämnesklassificering, 2010 Arkiverad 6 juni 2014 på Wayback Machine
↑ Hilbert D. Beweis für die Darstellbarkeit der ganzen Zahlen durch eine feste Anzahl n -ter Potenzen (Waringsches Problem) // Mathematische Annalen, 67 , pages 281-300 (1909)
↑ Hardy GH, Littlewood JE // Nachr. Acad. Wiss. Gettingen Math.-Phys. Kl., 1920. sid. 33-54. IV: Matematik. Z., 1922, nr 12, sid. 161-188.
↑ 1 2 Linnik Yu. V. En elementär lösning av Waring-problemet med Shnirelman-metoden // Math. Sb., 1943, bd 12, nr 54, sid. 218-230.
↑ L. Euler Opera postuma (1), 203-204 (1862)
↑ Niven, Ivan M. Ett olöst fall av Waring-problemet // American Journal of Mathematics : journal. - Johns Hopkins University Press, 1944. - Vol. 66 , nr. 1 . - S. 137-143 . - doi : 10.2307/2371901 . — .
↑ Mahler, K. Om de bråkdelar av potenserna av ett rationellt tal II // Mathematika : journal. - 1957. - Vol. 4 . - S. 122-124 .
↑ OEIS - sekvens A002804 _
↑ Vinogradov I. M. På frågan om den övre gränsen för G ( n ) // Izv. USSR:s vetenskapsakademi. Ser. mat., 1959, bd 23, nr 5, sid. 637-642.
↑ Karatsuba, A. A. Om funktionen G ( n ) i Waring-problemet // Izvestiya RAN. Matematisk serie. . - 1985. - Nr 49: 5 . - S. 935-947 . (ryska)
↑ Wooley TD Stora förbättringar i Warings problem // Ann. av matte. 135 (1992), 131-164.
↑ Wooley TD Nya uppskattningar för jämna Weyl-summor // J. London Math. soc. (2) 51 (1995), 1-13.
↑ 1 2 Vaughan RC, Wooley TD Warings problem: En undersökningsnummerteori för millenniet (obestämd) . — A. K. Peters, 2002. - T. III. - S. 301-340. — ISBN 978-1-56881-152-9 .
↑ Vaughan RC En ny iterativ metod i Warings problem // Acta Math. 162 (1989), 1-71.
↑ Nathanson (1996 , s. 71)
↑ Deshouillers, Jean-Marc; Hennecart, Francois; Landreau, Bernard; I. Gusti Putu Purnaba, Appendix av. 7373170279850 // Mathematics of Computing : journal. - 2000. - Vol. 69 , nr. 229 . - s. 421-439 . - doi : 10.1090/S0025-5718-99-01116-3 .
↑ 1 2 Władysław Narkiewicz. Rationell talteori under 1900-talet: Från PNT till FLT . — Springer Science & Business Media, 2011-09-02. — 659 sid. — ISBN 9780857295323 .
↑ Davenport H. // Ann. of Math., 1939, nr 40, sid. 731-747
↑ Deshouillers, Jean-Marc; Hennecart, Francois; Landreau, Bernard. Warings problem för sexton biquadrates - numeriska resultat (neopr.) // Journal de théorie des nombres de Bordeaux. - 2000. - T. 12 . - S. 411-422 . doi : 10.5802 / jtnb.287 .
↑ JM Deshouillers och K Kawada och TD Wooley. Om summor av sexton biquadrates (Mémoires de la Société Mathématique de France 100 ) // Société Mathématique de France. — 2005.
↑ Mirzoabdugafurov K. I. Waring-problemet för 9 kuber med nästan lika termer Arkiverad 6 juni 2014 på Wayback Machine . – Avhandling … kandidat för fysikaliska och matematiska vetenskaper.
↑ Hua Lo Keng Additiv teori om primtal // Translations of Mathematical Monographs, 13 , American Mathematical Society, Providence, RI, 1965, xiii+190 pp.
↑ Tillförordnad dekanus vid fakulteten för mekanik och matematik vid Moscow State University, chef för institutionen för matematiska och datoriserade analysmetoder, professor Vladimir Nikolaevich Chubarikov . Datum för åtkomst: 31 oktober 2014. Arkiverad från originalet den 1 november 2014. (obestämd)
↑ Chubarikov V.N. Om Waring-Goldbach-problemet // Vetenskapsakademiens rapporter. - 2009. T. 427, nr 1, sid. 24-27
↑ Recension: Zbl 1220.11128
↑ Modernt. prob. Mat., 2008, nummer 11, s.22
↑ Arkhipov G. I., Karatsuba A. A. Flerdimensionell analog av Waring-problemet (obestämd) // Dokl. USSR:s vetenskapsakademi. - 1987. - Nr 295:3 . - S. 521-523 .
↑ Karatsuba AA Warings problem i flera dimensioner (obestämd) // Mathem. Forschungs, Oberwolfach, Tagungsbericht. - 1988. - Nr 42 . - S. 5-6 .
↑ Om Warings problem för en ternär kvadratisk form och en godtycklig jämn grad

Litteratur

Mathematical Encyclopedic Dictionary . - M . : "Ugglor. uppslagsverk" , 1988. - S. 847 .
Elementära metoder i analytisk talteori. - M. : Fizmatgiz, 1962. - S. 272.
Nathanson, Melvyn B. Additiv talteori: de klassiska baserna . - Springer-Verlag , 1996. - Vol. 164. - ( Graduate Texts in Mathematics ). — ISBN 0-387-94656-X .
A. Bufetov, A. Ya. Kanel . En ny elementär lösning på Warings problem. - Fundament. och appl. Mat., 3:4 (1997), 1239-1252
B. I. Segal, trigonometriska summor och några av deras tillämpningar på talteori - innehåller en fullständig beskrivning av Hardy-Littlewood-metoden på ryska

Ordböcker och uppslagsverk	Stor katalanska Britannica (online)