Triangulärt tal

Den stabila versionen checkades ut den 16 augusti 2022 . Det finns overifierade ändringar i mallar eller .

Ett triangulärt tal är en av klasserna av lockiga polygonala tal , definierade som antalet punkter som kan ordnas i form av en vanlig triangel . Som framgår av figuren är det -th triangulära talet summan av de första naturliga talen : $n$ $T_{n}$ $n$

{\begin{aligned}T_{1}&=1&=&\ 1\\T_{2}&=1+2&=&\ 3\\T_{3}&=1+2+3&=& \ 6\\T_{4}&=1+2+3+4&=&\ 10\\\end{aligned}}

etc. Den allmänna formeln för det e triangeltalet är: $n$

T_{n}={\frac {1}{2}}n(n+1),\;n=1,2,3\dots

;

Sekvensen av triangulära tal är oändlig. Det börjar så här: $T_{n}$

1 , 3 , 6 , 10 , 15 , 21 , 28 , 36 , 45 , 55 , 66 , 78 , 91 , 105 120 ... ( OEIS sekvens A000217 )

Vissa källor startar en sekvens av triangulära tal från noll, vilket motsvarar talet $n=0.$

Triangulära tal spelar en betydande roll i kombinatorik och talteori , de är nära besläktade med många andra klasser av heltal .

Egenskaper

Rekursiv formel för det n :te triangulära talet [1] :

T_{n}=T_{n-1}+n

Konsekvenser ( ) [2] [3] : $n>1$

T_{n+1}=T_{n-1}+2n+1

T_{n+1}+T_{n-1}=2T_{n}+1

{\displaystyle T_{2n-1}=3T_{n-1}+T_{n))

(se bild till vänster).

{\displaystyle T_{2n}=3T_{n}+T_{n-1))

. (se bild till höger).

Ytterligare två formler är lätta att bevisa genom induktion [4] :

T_{m+n}=T_{m}+T_{n}+mn

T_{mn}=T_{m}T_{n}+T_{m-1}T_{n-1}

Alla triangulära tal utom 1 och 3 är sammansatta . Inget triangulärt tal kan sluta med siffran [2] i decimalnotation. Pariteten för sekvenselementet ändras med en period av 4: udda, udda, jämn, jämn. $2,4,7,9.$

Den tredje sidolinjen (diagonal) i Pascals triangel består av triangulära tal [5] .

Summan av en ändlig serie triangulära tal beräknas med en av formlerna [6] :

S_{m-1}=1+3+6+\dots +{\frac {(m-1)m}{2}}={\frac {m^{3}-m}{6} }

eller:

S_{m}=1+3+6+\dots +{\frac {m(m+1)}{2))={\frac {m(m+1)(m+2)}{ 6}}

En serie siffror som är reciproka av triangulära konvergerar (se teleskopisk serie ):

1+{1 \over 3}+{1 \over 6}+{1 \over 10}+{1 \over 15}+\dots =2\sum _{n=1}^{\infty } \left({1 \over n}-{1 \over n+1}\right)=2

Kriterier för ett tals triangularitet

Ett naturligt tal är triangulärt om och endast om talet är en perfekt kvadrat . $x$ $8x+1$

I själva verket, om det är triangulärt, då Omvänt, talet är udda, och om det är lika med kvadraten på något tal, då är det också udda: och vi får likheten: varifrån: - triangulärt tal ■ . $x$ $8x+1=8{\frac {n(n+1)}{2}}+1=4n^{2}+4n+1=(2n+1)^{2}.$ $8x+1$ $a,$ $a$ $a=2n+1,$ $8x+1=(2n+1)^{2}=4n^{2}+4n+1,$ $x={\frac {n(n+1)}{2))$

Följd: taltalet i sekvensen av triangulära tal bestäms av formeln: $x$

n={\frac {{\sqrt {8x+1}}-1}{2}}.

Applikation

Triangulära tal uppstår i många praktiska situationer.

Som en binomial koefficient bestämmer talet antalet kombinationer för att välja två element från de möjliga. $T_{n}=C_{n+1}^{2}$ $T_{n}$ $n+1$

Om objekt är sammankopplade i par av segment, kommer antalet segment ( antalet kanter på hela grafen ) att uttryckas som ett triangulärt tal: $n$

T_{n-1}={\frac {n(n-1)}{2))

Detta kan ses av att vart och ett av objekten är kopplat till resten av objekten, så att det finns kopplingar, dock med denna redovisning räknas varje koppling två gånger (från två olika ändar), så resultatet måste bli delad på hälften. $n$ $n-1$ $n(n-1)$

På samma sätt är det maximala antalet handslag för en person eller antalet schackpartier i en turnering med deltagare lika . Av samma överväganden kan vi dra slutsatsen att antalet diagonaler i en konvex polygon med sidor (n>3) är lika . till: $n$ $n$ $T_{n-1}.$ $n$

T_{n-2}-1={\frac {n(n-3)}{2))

Det maximala antalet skivor som kan erhållas med raka pizzasnitt (se bild till höger) är (se Central polygonal numbers , OEIS -sekvens A000124 ). $sid$ $n$ $T_{n}+1$

" Odjurets nummer " (666) känt inom mystiken är den 36:e triangulära [7] . Det är det minsta triangulära talet som kan representeras som summan av kvadrater av triangulära tal [8] : $666=15^{2}+21^{2}.$

Pythagoranerna ansåg att det fjärde triangulära talet 10 ( tetraksis ) var heligt, vilket bestämmer harmonin i universum - i synnerhet förhållandet mellan musikaliska intervaller , årstidernas växlingar och planeternas rörelser [9] .

Relation till andra klasser av nummer

Vilket som helst -vinkeltal kan uttryckas i termer av triangulärt [10] : $k$ $P_{n}^{(k)}\;(k\geqslant 3,n>1)$

P_{n}^{(k)}=n+(k-2){\frac {n(n-1)}{2}}=(k-3)T_{n-1}+T_{ n}

Summan av två på varandra följande triangulära tal är ett kvadrattal (en perfekt kvadrat), dvs [7] :

T_{n-1}+T_{n}=n^{2}\;

(formel av Theon av Smyrna [11] .

Exempel:

6 + 10 = 16

10 + 15 = 25

En generalisering av denna formel är den nikomachiska formeln - för alla är skillnaden mellan -kol- och -koltal med samma nummer ett triangulärt tal [12] : $k \geqslant 3$ $(k+1)$ $k$

{\displaystyle P_{n}^{(k+1)}-P_{n}^{(k)}=T_{n-1))

Den föregående formeln erhålls av $k=3.$

Det finns en unik pytagoreisk trippel som består av triangulära tal [13] :

\{T_{132},T_{143},T_{164}\}=\{8778,10296,13530\}.

Bland triangulära tal finns palindromtal , det vill säga tal som är desamma när de läses från vänster till höger och från höger till vänster (sekvens A003098 i OEIS ):

1,3,6,55,66,171,595,666,3003,5995,8778,\dots

Det finns oändligt många triangulära tal som samtidigt är kvadratiska (" kvadratiska triangulära tal ") [14] [15] : (sekvens A001110 i OEIS ). $1,36,1225,41616,1413721\dots$

Det triangulära talet kan också vara samtidigt

femkantig (sekvens A014979 i OEIS ):

1, 210, 40755, 7906276, 1533776805, 297544793910, 57722156241751, 11197800766105800, 2172351562466…

hexagonal (alla triangulära tal med ett udda tal);
heptagonal (sekvens A046194 i OEIS ):

1, 21, 11781, 203841, 113123361, 1957283461, 1086210502741, 18793835590881, 10429793134197031, 81861, 81861, 81861...

etc. Det är inte känt om det finns tal som samtidigt är triangulära, kvadratiska och femkantiga; en datorkontroll av siffror mindre än hittade inget sådant nummer, men det har inte bevisats att det inte finns några [16] . $10^{22166},$

De fyra triangulära talen är samtidigt Mersenne-tal (sekvens A076046 i OEIS ) (se Ramanujan-Nagels ekvation ). $1,3,15,4095$

Fem nummer (och bara de) är både triangulära och tetraedriska (sekvens A027568 i OEIS ). $1,10,120,1540,7140$

De fyra talen är både triangulära och fyrkantiga pyramidformade (sekvens A039596 i OEIS ). $1,55,91,208335$

Inget naturligt tal, förutom 1, kan samtidigt vara [17] [18] :

triangulär och kubisk;
triangulär och biquadric [19] ;
triangulär och femte potensen av ett heltal [17] ;

Varje jämnt perfekt tal är triangulärt [20] .

Vilket naturligt tal som helst kan representeras som summan av högst tre triangulära tal. Uttalandet formulerades första gången 1638 av Pierre Fermat i ett brev till Mersenne utan bevis, först bevisat 1796 av Gauss [21] .

Kvadraten på det n :e triangulära talet är summan av kuberna för de första naturliga talen [22] . Följd: Skillnaden mellan kvadraterna av två på varandra följande triangulära tal ger kubiktalet . Till exempel, $n$ $15^{2}-10^{2}=125=5^{3}.$

Genererande funktion

En potensserie vars koefficienter är triangulära tal konvergerar när : $|x|<1$

{\frac {x}{(1-x)^{3}}}=T_{1}x+T_{2}x^{2}+T_{3}x^{3}+\dots +T_{n}x^{n}+\dots

Uttrycket till vänster är genereringsfunktionen för sekvensen av triangulära tal [23] .

Variationer och generaliseringar

En variant av triangulära tal är centrerade triangulära tal .

Begreppet ett platt triangulärt tal kan generaliseras till tre eller flera dimensioner. Deras rumsliga analoger är tetraedriska tal , och i ett godtyckligt dimensionellt utrymme kan man definiera hypertetraedriska tal [24] : $d$

T_{n}^{[d]}={\frac {(n-1+d)!}{(n-1)!\ d!)))

Deras speciella fall är:

$T_{n}^{[2]}$ är triangulära tal.
$T_{n}^{[3]}$ är tetraedriska tal.
$T_{n}^{[4]}$ är pentatopnummer .

En annan generalisering av triangulära tal är Stirlingtal av det andra slaget [25] :

T_{n}=S(n+1,n)

Anteckningar

↑ Deza E., Deza M., 2016 , sid. 16.
↑ 12 Villemin . _
↑ Deza E., 2011 , sid. 24-25, 29.
↑ Deza E., 2011 , sid. 66.
↑ Deza E., Deza M., 2016 , sid. 188.
↑ Deza E., Deza M., 2016 , sid. 71.
↑ 1 2 Shamshurin A. V. Triangulära tals magiska kraft . Börja i naturvetenskap . Tillträdesdatum: 7 april 2021. (ryska)
↑ Deza E., Deza M., 2016 , sid. 225.
↑ Dimitra Karamanides (2005), Pythagoras: banbrytande matematiker och musikteoretiker i antikens Grekland , The Rosen Publishing Group, s. 65, ISBN 9781404205000 , < https://books.google.com/books?id=DQpSA4CEnIwC > Arkiverad 14 oktober 2020 på Wayback Machine
↑ Deza E., Deza M., 2016 , sid. femton.
↑ Deza E., 2011 , sid. 23.
↑ Bakom sidorna i en lärobok i matematik, 1996 , sid. femtio.
↑ Deza E., Deza M., 2016 , sid. 195.
↑ Det finns triangulära tal som också är kvadratiska . klippa knuten . Hämtad 7 april 2021. Arkiverad från originalet 27 april 2006.
↑ Deza E., Deza M., 2016 , sid. 25-33.
↑ Deza E., Deza M., 2016 , sid. 34-37.
↑ 1 2 Pingvinordboken över nyfikna och intressanta siffror . Hämtad: 9 mars 2021.
↑ Deza E., Deza M., 2016 , sid. 77-78.
↑ Dickson, 2005 , sid. åtta.
↑ Voight, John. Perfekta siffror: en grundläggande introduktion // University of California, Berkley. - 1998. - S. 7 . Arkiverad från originalet den 25 februari 2017.
↑ Deza E., Deza M., 2016 , sid. tio.
↑ Deza E., Deza M., 2016 , sid. 79.
↑ Deza E., Deza M., 2016 , sid. 17-19.
↑ Deza E., Deza M., 2016 , sid. 126-134.
↑ Deza E., Deza M., 2016 , sid. 214-215.

Litteratur

Vilenkin N. Ya., Shibasov L. P. Shibasova 3. F. Bakom sidorna i en lärobok i matematik: Aritmetik. Algebra. Geometri . - M . : Utbildning, 1996. - S. 30 . — 320 s. — ISBN 5-09-006575-6 .
Glazer G.I. Matematikens historia i skolan . - M . : Utbildning, 1964. - 376 sid.
Deza E. Specialnummer för den naturliga serien: Lärobok .. - M . : Bokhuset "LIBROKOM", 2011. - 240 sid. - ISBN 978-5-397-01750-3 .
Deza E., Deza M. Lockiga siffror. - M. : MTSNMO, 2016. - 349 sid. — ISBN 978-5-4439-2400-7 .
Dickson LE Polygonal. pyramid- och figurtal //Talteorin Historia . - New York: Dover, 2005. - Vol. 2: Diofantinanalys. - S. 22-23.

Länkar

Lockiga siffror . OSNOVA Publishing Group. (ryska)
Villemin, Gerard. Nombre triangulaire Nombres Triangulaires (fr.) . Nombres-Curiosites, théorie et usages (2007).
Weisstein, Eric W. Triangular Number (engelska) på Wolfram MathWorld- webbplatsen .

Ordböcker och uppslagsverk	Britannica (online)

lockiga siffror

platt

Klassisk polygonal	triangulär Fyrkant Femsidig Hexagonal Heptagonal Åttkantig Dodecagonal
Centrerad	triangulär Fyrkant Femsidig Hexagonal Heptagonal Åttkantig Niovinklad Dekagonal

Pyramidformad	tetraedrisk Fyrkantig pyramidform
mångfasetterad	kubisk Oktaedral Dodekaedral icosahedral Stellad oktaedral

mångfasetterad	Pentatopisk Bisquare

Klasser av naturliga tal

Befogenheter och
relaterade siffror

Akilles
Grad 2
10 grader
12 grader
rutor
Kuba
fjärde grader
Femte graden
Perfekt examen
Full multipel
Potens för ett primtal

Tal i formen
a × 2 b ± 1

Andra
polynomtal
_

Rekursivt
definierade
tal

Uppsättningar av nummer
med specifika
egenskaper

Uttryckt
i belopp

Icke-hypotenus
Praktisk
Principiellt halvenkelt
Ulama
Wolsenholm

Erhålls
med en sil

lyckotal

Relaterade koder
_

Mirtens

lockiga siffror

2-dimensionell

centrerad _	triangulär fyrkant femsidig hexagonal sjukantig åttkantig icke-kantig dekagonal stellate
utanför centrum	triangulär fyrkant kvadratisk triangulär hexagonal åttkantig

3-dimensionell

centrerad _	tetraedrisk kubisk oktaedrisk dodekaedral icosahedral
utanför centrum	tetraedrisk oktaedrisk dodekaedral icosahedral Stjärnoktaedral
pyramidal _	fyrkant femsidig hexagonal sjukantig

4-dimensionell

centrerad _	pentakorisk triangulär i en kvadrat
utanför centrum	pentatop

Pseudoenkelt

Carmichael
Catalana
elliptisk
Euler
Euler-Jacobi
Odla
Frobenius
Luca
Somera - Luca
starkt pseudoenkelt

kombinatoriska
siffror

Klocknummer
tårtnummer
Catalana
Dedekind
Delanoya
Euler
Fussa - Catalana
central polygonal
Lobba
Motzkin-nummer
Narayana
Antal Bell-beställningar
Schroeder nummer
Schroeder - Hipparchus

Aritmetiska
funktioner

σ( n )	överflödig nästan perfekt aritmetisk kolossalt överflödig Descartes halvperfekta siffror mycket överflödiga siffror höga komponentnummer hyperperfekta siffror multiperfekta siffror engagerad praktisk primitivt överflödig något överflödig tau nummer majestätiska siffror överflödiga siffror supersammansatta tal superperfekta siffror
Ω( n )	nästan enkelt halvenkel
φ( n )	mycket kovalent hög satsning perfekt totient lite totient
s( n )	vänlig engagerad otillräcklig halvperfekt

Euklid
förmögenhetstal

Genom divisorer

Andra
primtalare eller
relaterade
till delbarhet

Underhållande
matematik

Nummersystem _	automorft nummer cyklisk Osiris Dudeni lika siffror extravagant Factorion Friedman nöjd Nivena Kita Lichrel belopp med saknad siffra Armstrong palindromisk pandigital parasitisk skadlig magisk primitiv repdigits återföreningar självgenererad självbeskrivande Smarandsha - Wellena strikt icke-palindromisk växlare förflyttning trimorf vågig vampyrer

Aronson sekvens
pannkaksnummer