Premiär Wieferich

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 14 april 2022; kontroller kräver 2 redigeringar .

I talteorin är ett Wieferich- primtal ett primtal så att det delar sig [1] , vilket är en förstärkning av Fermats lilla teorem som säger att alla udda primtal delar sig . Dessa primtal beskrevs första gången av Arthur Wieferich 1909 i ett dokument som rör Fermats sista sats . Vid den tiden var båda Fermats satser välkända för matematiker. [2] [3] $sid$ $p^{2}$ $2^{{p-1}}-1$ $sid$ $2^{{p-1}}-1$

Sedan dess har kopplingar hittats mellan Wieferich-primtal och olika andra objekt inom matematiken, inklusive andra typer av primtal ( Mersenne- och Fermat- tal ), speciella typer av pseudoprimtal och vissa generaliseringar av själva Wieferich-primtalen. Med tiden utökades öppna kopplingar till några andra egenskaper hos primtal, såväl som allmänna objekt som talfältet och abc-hypotesen .

Trots många försök till en bred sökning är endast två Wieferich-primtal kända - dessa är 1093 och 3511 (sekvens A001220 i OEIS ).

Förklaring av egenskaperna hos Wieferich-primtal

En förstärkt version av Fermats lilla sats , som tillfredsställs av Wieferichs primtal, uttrycks vanligtvis som en modulokongruens . Det följer av definitionen av jämförelse att denna egenskap motsvarar definitionen i början av artikeln. Således, om ett primtal p uppfyller jämförelsen, delar det primtal Fermat-kvoten . ${\displaystyle 2^{p-1}\equiv 1{\pmod {p^{2))))$ ${\tfrac {2^{p-1}-1}{p))$

Här är två exempel:

För p = 11 får vi , vilket ger talet 93, som har en rest av 5 när de divideras med 11. Så 11 är inte ett Wieferich-primtal. ${\tfrac {2^{10}-1}{11}}$

För p = 1093 får vi antingen 485439490310...852893958515 (de 302 siffrorna i mitten är utelämnade) och detta tal har en återstod av 0 när de divideras med 1093, så 1093 är ett Wieferich-primtal. ${\tfrac {2^{1092}-1}{1093}}$

Sökhistorik och status

1902 bevisade WF Meyer satsen för jämförelselösningar . [4] :930 Senare under samma decennium visade Arthur Wieferich att om det första fallet av Fermats sista sats har en lösning för ett udda primtal, så måste det primtal tillfredsställa kongruensen för och . Med andra ord, om det finns en lösning i heltal och är ett udda primtal, som inte delar ( ), så uppfyller . 1913 utforskade Bachmann (Paul Gustav Heinrich Bachmann) kvarlevan . Han ställde frågan - när blir denna återstod till noll , och försökte hitta formler för att svara på frågan. [5] ${\displaystyle a^{p-1}\equiv 1{\pmod {p^{r))))$ $a=2$ $r=2$ $x^{p}+y^{p}+z^{p}=0$ $x,y,z$ $sid$ $xyz$ $p\nmid xyz$ $sid$ ${\displaystyle 2^{p-1}\equiv 1{\pmod {p^{2))))$ ${\tfrac {2^{p-1}-1}{p))\,{\bmod {\,}}p$

1913 upptäckte Waldemar Meissner att primtalet 1093 är ett Wieferich-primtal. Han visade också att detta är det enda primtal mindre än 2000. Han beräknade den minsta återstoden för alla primtal och fann att denna återstod är noll för och , och hittade därigenom ett motexempel till Grawes gissning om omöjligheten av Wieferichs jämförelse. [6] ${\tfrac {2^{t}-1}{p))\,{\bmod {\,}}p$ $p<2000$ $t=364$ $p=1093$

Senare krävde Hentsshel (E. Haentzschel) att på nytt kontrollera riktigheten av Meissners beräkningar med endast elementära operationer. [7] :664 Inspirerad av Eulers tidiga arbete förenklade han Meisners bevis genom att visa att , och märkte att det är en divisor av . [8] Det har också visat sig att det är möjligt att testa om 1093 är ett Meisner-primtal utan att använda komplexa tal, i motsats till den metod som Meisner använder, [9] även om Meisner själv har gjort det klart att han är medveten om möjlighet till ett sådant bevis. [6] :665 $1093^{2}\mid 2^{182}+1$ $2^{182}+1$ $2^{364}-1$

År 1922 upptäckte NGWH Beeger att primtalet 3511 är ett Wieferich-primtal [10] . Ett annat bevis på att 3511 är en Wieferich-prime publicerades 1965 av Richard K. Guy . [11] År 1960 fördubblade Kravitz [12] rekordet av verifierade nummer som tidigare satts av Fröberg [13] År 1961 utökade Riesel sökningen till 500 000 med BESK [14] . Omkring 1980 kunde Lehmer nå gränsen på 6⋅10 9 [15] . Denna sökgräns flyttades till 2,5⋅10 15 2006 [16] och sedan till 3⋅10 15 . Det är nu känt att om det finns några andra Wieferich-primtal måste de vara minst 6,7⋅10 15 [17] . Sökandet efter nya Wieferich-primtal utförs för närvarande i det distribuerade datorprojektet Wieferich@Home . I december 2011 lanserades ett annat projekt - PrimeGrid [18] . I oktober 2014 nådde den sökgränsen på 3⋅10 17 , och sökningen fortsätter [19] .

Chris Caldwell föreslog att det finns ett ändligt antal Wieferich-primtal [1] . Den motsatta gissningen har också gjorts, att (som för Wilson-primtal ) det finns oändligt många Wieferich-primtal, och att antalet Wieferich-primtal som är mindre än , är ett heuristiskt resultat som följer av det rimliga antagandet att för ett primtal , den -e potensen av roten av enheter modulo är likformigt fördelad på den multiplikativa gruppen av heltal modulo [20] . $x$ $\ln \ln x$ $sid$ $(p-1)$ $p^{2}$ $p^{2}$

Egenskaper

Samband med Fermats sista sats

Följande sats, bevisad av Wieferich 1909, kopplar samman Wieferichs primtal och Fermats sista sats : [21]

Låt vara primtal och låt vara heltal så att . Antag vidare att det inte delar produkten . Sedan är ett primtal Wieferich. $sid$ $x,y,z$ $x^{p}+y^{p}+z^{p}=0$ $sid$ $xyz$ $sid$

Villkoret "där inte delar någon av eller " är känt som det första fallet av Fermats sista teorem (FLTI) [22] [23] . FLTI är falskt för prime om en lösning till Fermats ekvation finns för , annars är FLTI för uppfylld [24] . År 1910 utökade Mirimanov [25] satsen genom att visa att om villkoren för satsen är uppfyllda för någon prime , då måste den också dela . Senare visade Granville och Monagan att den måste dela sig för vilken prime som helst . [26] Suzuki utökade beviset till alla primtal . [27] $sid$ $x,y$ $z$ $sid$ $sid$ $sid$ $sid$ $p^{2}$ $3^{p-1}-1$ $p^{2}$ $m^{p-1}-1$ $m\leqslant 89$ $m\leqslant 113$

Låta vara en uppsättning av par av heltal och deras största gemensamma delare är 1. $H_{p}$

Låt , vara en förlängning av fältet som erhålls genom att inkludera alla polynom i ett algebraiskt tal i fältet för rationella tal (en sådan förlängning är känd som ett talfält eller, i detta fall, där ξ är rötter av enhet , ett cirkulärt talfält ). [26] :332 $\xi =\cos 2\pi /p+i\sin 2\pi /p$ $K=\mathbb {Q} (\xi )$ $\xi$

Låt vara uppsättningen av par som uppfyller egenskaperna: $H_{p}$ $(x,y)$

jag gcd $(x,y)=1$
ii - samprima med och $sid$ $x,y$ $x+y$
iii ${\displaystyle (x+y)^{p-1}\equiv 1{\pmod {p^{2))))$
iv är den -e graden av idealet . $x+\xi y$ $sid$ $K$

Det följer av det unika med faktoriseringen av ideal i att om de är lösningar (av det första fallet) av Fermats sista sats, så delar , och och är delar av . [26] :333 Granville och Monagan visade att om och bara om är ett Wieferich-primtal. [26] :333 $\mathbb {Q} (\xi )$ $x,y,z$ $sid$ $x+y+z$ $(x,y),(y,z)$ $(z,x)$ $H_{p}$ $(1,1)\in H_{p}$ $sid$

Relation till abc -förmodan och icke-Wieferich primtal

Ett icke-Wieferich primtal är ett primtal som uppfyller villkoret . D.H. Silverman (Joseph H. Silverman) 1988 visade att om abc-hypotesen är sann, så finns det oändligt många icke-Wieferich-primtal. [28] $sid$ ${\displaystyle 2^{p-1}\not \equiv 1{\pmod {p^{2))))$

Mer exakt visade han att giltigheten av abc-hypotesen innebär att antalet icke-Wieferich primtal för är större för någon konstant . [29] :227 $p<X$ $C\ln X$ $C$

Uppsättningen av Wieferich-primtal och uppsättningen av icke-Wieferich-primtal, ibland betecknade som respektive , [30] är komplementära mängder , så att ändligheten hos en av dem antyder oändligheten hos den andra (eftersom de tillsammans ger en uppsättning primtal). ). Det har visat sig att förekomsten av ett oändligt antal icke-Wieferich-tal följer av en försvagad version av abc-förmodan som kallas ABC-(k, ε)-hypotesen [31] . $W_{1}$ $W_{2}^{c}$

Dessutom följer förekomsten av ett oändligt antal icke-Wieferich-tal också av att det finns ett oändligt antal kvadratfria Mersenne-tal [32] .

Detsamma följer av existensen av reell , så att mängden har en densitet på 1. Här definieras komplexitetsindexet för helheten som och , där är produkten av alla primfaktorer n . [30] :4 $\xi$ ${\displaystyle \{n\in \mathbb {N} :\lambda (2^{n}-1)<2-\xi \))$ $\lambda (n)$ $n$ ${\tfrac {\log n}{\log \gamma (n)))$ $\gamma (n)=\prod _{p\mid n}p$ $\gamma (n)$

Anslutning till Mersenne och Fermat primtal

Det är känt att det e Mersenne-talet är primtal endast om är primtal. Av Fermats lilla teorem följer att, om är primtal, är delbart med . Eftersom Mersenne-tal med primtalsindex och är relativt primtal, är en primtalsdelare av , där är ett primtal, ett Wieferich-primtal om och bara om den delar . [33] $n$ $M_{n}=2^{n}-1$ $n$ $p>2$ $M_{p-1}(=2^{p-1}-1)$ $sid$ $M_{p}$ $M_{q}$ $sid$ $M_{q}$ $q$ $p^{2}$ $M_{q}$

Ett Mersenne-primtal kan alltså inte också vara ett Wieferich-primtal.

Ett intressant problem förblir olöst : är alla Mersenne-tal med primtal fria från kvadrater ? Om Mersenne-talet inte är kvadratfritt, så finns det ett primtal för vilket delar , vilket betyder att det är ett Wieferich-primtal. Alltså, om det finns ändligt många Wieferich-primtal, måste det finnas åtminstone ett ändligt antal icke-kvadratiska Mersenne-tal. Rotkevich (Rotkiewicz) visade att det omvända också är sant, det vill säga om det finns oändligt många kvadratfria Mersenne-tal, så finns det också oändligt många icke-Wieferich-primtal. [34] $M_{q}$ $sid$ $p^{2}$ $M_{q}$ $sid$

På liknande sätt, om är primtal och delar Fermat-talet , då måste det vara ett Wieferich-primtal [35] . $sid$ $p^{2}$ $F_{n}=2^{2^{n}}+1$ $sid$

För primtal 1093 och 3511 har det visat sig att ingen av dem är en divisor av något Mersenne- eller Fermattal [36] .

Förhållande till andra jämställdheter

Scott (Scott) och Styer (Styer) visade att likhet har högst en lösning i positiva heltal , om vid eller , där betyder multiplikationsordningen för talet 2 modulo . [37] :215, 217–218 $p^{x}-2^{y}=d$ $(x,y)$ $p^{4}\nmid 2^{\operatörsnamn {ord} _{p}(2)}-1$ $p\not \equiv 65{\pmod {192}}$ $p^{2}\nmid 2^{\operatörsnamn {ord} _{p}(2)}-1$ $\operatorname {ord} _{p}(2)$ $sid$

De visade också att lösningarna av ekvationen måste tillhöra en viss mängd, men påståendet upphör att vara sant om är ett Wieferich-primtal större än . [38] :258 $\pm a^{x_{1}}\pm 2^{y_{1}}=\pm a^{x_{2}}\pm 2^{y_{2}}=c$ $a$ $1{,}25\times 10^{15}$

Binär periodicitet p −1

Johnson (Johnson) noterade [39] att de två kända Wieferich-primtalen är en större än talen med en periodisk binär representation ( ). Wieferich@Home-projektet letar efter Wieferich-primtal genom att kontrollera tal, per enhet av stora tal med en periodisk binär representation, men bland tal upp till 3500 bitar långa och med en period på upp till 24 bitar hittades inga nya Wieferich-primtal [ 40] . ${\displaystyle 1092=010001000100_{2};\ 3510=110110110110_{2))$

Motsvarande jämförelser

Wieferich-primtal kan definieras genom en annan jämförelse, ekvivalent med den som vanligtvis används.

Om ett primtal Wieferich tal, kan vi multiplicera båda sidor av jämförelsen med 2 och få . Genom att höja båda delarna av jämförelsen till makten får vi , varifrån för alla . $sid$ ${\displaystyle 2^{p-1}\equiv 1{\pmod {p^{2))))$ ${\displaystyle 2^{p}\equiv 2{\pmod {p^{2))))$ $sid$ $2^{p^{2}}\equiv 2^{p}\equiv 2{\pmod {p^{2}}}$ $2^{p^{k}}\equiv 2{\pmod {p^{2}}}$ $k\geqslant 1$

Det omvända är också sant: Av allt följer att multiplikationsordningen för talet 2 modulo delar gcd , där är Euler-funktionen , så att och talet är ett Wieferich-primtal. $2^{p^{k}}\equiv 2{\pmod {p^{2}}}$ $k\geqslant 1$ $p^{2}$ $(p^{k}-1,\varphi (p^{2}))=p-1$ $\varphi$ ${\displaystyle 2^{p-1}\equiv 1{\pmod {p^{2))))$ $sid$

Boyai visade att om och är enkla, är ett positivt heltal som inte är delbart med och , så att , då . Förutsatt att vi får . [41] :284 Och i kraft av Eulers sats motsvarar . [41] :285-286 $sid$ $q$ $a$ $sid$ $q$ $a^{p-1}\equiv 1{\pmod {q)),\ a^{q-1}\equiv 1{\pmod {p}}$ $a^{pq-1}\equiv 1{\pmod {pq))$ $p=q$ ${\displaystyle a^{p^{2}-1}\equiv 1{\pmod {p^{2))))$ ${\displaystyle a^{p^{2}-1}\equiv 1{\pmod {p^{2))))$ ${\displaystyle a^{p-1}\equiv 1{\pmod {p^{2))))$

Anslutning med pseudoprimer

Det observerades att båda kända Wieferich-primtal delar alla bas 2 icke- kvadratfria pseudoprimer upp till . [42] Senare beräkningar har visat att endast 1093 och 3511 är upprepade faktorer av pseudoprimer upp till [43] $25\cdot 10^{9}$ $10^{12}$

Det finns följande samband: Låta vara en pseudoprime i bas 2 och vara en primtal divisor av . Om , då . [24] :378 $n$ $sid$ $n$ ${\tfrac {2^{n-1}-1}{n}}\not \equiv 0{\pmod {p}}$ ${\tfrac {2^{p-1}-1}{p}}\not \equiv 0{\pmod {p}}$

Vidare, om är ett Wieferich-primtal, sedan ett katalanskt pseudoprimtal [44] . $sid$ $p^{2}$

Förhållande med riktade grafer

För alla primtal upp till 100 000 endast i två fall: och , där är modulen för dubbleringsdiagrammet och ger antalet hörn i cykeln som bildas av en. Termen dubbleringsdiagram hänvisar till en riktad graf med 0 och naturliga tal mindre än som hörn och bågar som går från vertex till vertex modulo . [45] :74 Det visade sig att för alla udda primtal, antingen , eller . [45] :75 $L(p^{n+1})=L(p^{n})$ $L(1093^{2})=L(1093)=364$ $L(3511^{2})=L(3511)=1755$ $m$ $L(m)$ $m$ $x$ $2x$ $m$ $L(p^{n+1})=p\ gånger L(p^{n})$ $L(p^{n+1})=L(p^{n})$

Egenskaper associerade med numeriska fält

Det fastställdes att och om och endast om , där är ett udda primtal och är den grundläggande diskriminanten för det komplexa kvadratiska fältet . $\chi _{D_{0}}{\big (}p{\big )}=1$ $\lambda \,\!_{p}{\big (}\mathbb {Q} {\big (}{\sqrt {D_{0))}{\big )}{\big )}=1$ ${\displaystyle 2^{p-1}\not \equiv 1{\pmod {p^{2))))$ $sid$ $D_{0}<0$ ${\displaystyle \mathbb {Q} {\big (}{\sqrt {1-p^{2}}}{\big )))$

Följande visades också:

Låt vara ett primtal Wieferich. Om , låt vara den grundläggande diskriminanten för ett komplext kvadratiskt fält $sid$ $p\equiv 3{\pmod {4}}$ $D_{0}<0$ ${\displaystyle \mathbb {Q} {\big (}{\sqrt {1-p}}{\big )))$

Om , låt vara den grundläggande diskriminanten för det komplexa kvadratiska fältet . $p\equiv 1{\pmod {4}}$ $D_{0}<0$ ${\displaystyle \mathbb {Q} {\big (}{\sqrt {4-p}}{\big )))$

Då och ( och i detta sammanhang menar Iwasawa- invarianten ). [46] :27 $\chi _{D_{0}}{\big (}p{\big )}=1$ $\lambda \,\!_{p}{\big (}\mathbb {Q} {\big (}{\sqrt {D_{0))}{\big )}{\big )}=1$ $\chi$ $\lambda$

Även installerat:

Låta vara ett udda primtal, och vara primtal så att och modulo ordningen är lika med . $q$ $k$ $sid$ $p=2k+1,k\equiv 3{\pmod {4)),p\equiv -1{\pmod {q)),p\not \equiv -1{\pmod {q^{3} }}$ $q$ $k$ ${\tfrac {k-1}{2))$

Antag att divider är antalet klasser av ett reellt cirkulärt fält som erhålls genom att addera till fältet av rationella tal summan av enhetens th rot och dess inversa element. $q$ ${\displaystyle h^{+))$ ${\displaystyle \mathbb {Q} {\big (}\zeta \,\!_{p}+\zeta \,\!_{p}^{-1}{\big )))$ $sid$

Sedan är ett primtal Wieferich. [47] :55 $q$

Detta förblir sant om villkoren ersätts med ${\displaystyle p\equiv -1{\pmod {q)),p\not \equiv -1{\pmod {q^{3))))$ ${\displaystyle p\equiv -3{\pmod {q)),p\not \equiv -3{\pmod {q^{3))))$

Påståendet förblir sant när villkoret ersätts med (i det här fallet kommer det att vara ett Fibonacci-Wieferich-primtal ), och olikheten kommer att ersättas med . [48] :376 $p\equiv -1{\pmod {q))$ $p\equiv -5{\pmod {q)),$ $q$ ${\displaystyle p\not \equiv -5{\pmod {q^{3))))$

Perioder av Wieferich-primtal

Låt perioden för talet i grunden vara perioden för bråkdelen i grunden . Till exempel är perioden för talet 3 i bas 10 1, vilket vanligtvis skrivs som 0,(3), medan perioden för talet 3 i bas 2 är 2, och talet kan skrivas som 0,(01 ). I allmänhet är perioden för ett tal modulo- exponenten . [49] :314 Ett Wieferich-primtal i grund är ett primtal som uppfyller jämförelsen . Om delar , perioden har samma period som , och sådana primtal är kända som kvadratperiodens primtal . [49] :316 Garza och Young uppger att perioden 1093 är 1092 och den är lika med perioden 1093 2 , [49] :314 . $sid$ $x$ $b$ ${\tfrac {1}{x}}$ $b$ $sid$ $x$ $b$ $x$ $b$ $x$ ${\displaystyle b^{x-1}\equiv 1{\pmod {x^{2))))$ $x^{2}$ $b^{p-1}-1$ $x^{2}$ $x$

Ordningen för 2-talsmodulpotenserna för Wieferich-primtal

Endast primtal 1093 och 3511 bland siffrorna upp uppfyller och det är känt att och . [50] [51] $4\cdot 10^{12}$ $\operatörsnamn {ord} _{p^{2}}(2)=\operatörsnamn {ord} _{p}(2)$ $\operatorname {ord} _{1093}(2)=364$ $\operatorname {ord} _{3511}(2)=1755$

HS Vandiver visade att om och bara om . [52] :187 ${\displaystyle 2^{p-1}\equiv 1{\pmod {p^{3))))$ $1+{\tfrac {1}{3}}+\dots +{\tfrac {1}{p-2}}\equiv 0{\pmod {p^{2}}}$

Generaliseringar

Wieferich nästan primtal

Ett primtal som tillfredsställer jämförelse med ett litet brukar kallas ett nästan primtal Wieferichtal (sekvens A195988 i OEIS ). [20] [53] Wieferich nästan primtal c är Wieferich primtal. $sid$ $2^{\frac {p-1}{2}}\equiv \pm 1+Ap{\pmod {p^{2}}}$ $|A|$ $A=0$

På senare tid har distribuerade datorprojekt, förutom huvudsökningen efter Wieferich-primtal, också försökt upptäcka nästan Wieferich-primtal. [17] [54]

Följande tabell presenterar alla Wieferich nästan primtal med i intervallet . [55] Detta intervall nåddes av en sökning organiserad av P. Carlisle, R. Crandall och M. Rodenkirch. [16] [56] $|A|\leqslant 10$ $[10^{9},3\cdot 10^{15}]$

sid	1 eller -1	A
3520624567	+1	−6
46262476201	+1	+5
47004625957	−1	+1
58481216789	−1	+5
76843523891	−1	+1
1180032105761	+1	−6
12456646902457	+1	+2
134257821895921	+1	+10
339258218134349	−1	+2
2276306935816523	−1	−3

Dorais och Klyve [17] använde en annan definition av nästan primtal Wieferich-tal, nämligen som ett primtal p med litet värde , där är Fermat-kvoten för talet 2 modulo p'. $\left|{\tfrac {\omega (p)}{p))\right|$ $\omega (p)={\tfrac {2^{p-1}-1}{p}}\,{\bmod {\,}}p$

Följande tabell visar alla primtal med . $p\leqslant 6{,}7\ gånger 10^{15}$ ${\displaystyle \left|{\tfrac {\omega (p)}{p))\right|\leq 10^{-14))$

sid	$\omega (p)$	${\displaystyle \left\|{\tfrac {\omega (p)}{p))\right\|\ gånger 10^{14))$
1093	0	0
3511	0	0
2276306935816523	+6	0,264
3167939147662997	−17	0,537
3723113065138349	−36	0,967
5131427559624857	−36	0,702
5294488110626977	−31	0,586
6517506365514181	+58	0,890

Wieferich primerar i basen a

Ett Wieferich-primtal med avseende på bas a är ett primtal p som uppfyller jämförelsen

{\displaystyle a^{p-1}\equiv 1{\pmod {p^{2))))

. [fyra]

Sådana primtal kan inte dela a för då måste de också dela 1.

Par av Wiferich

Ett Wieferich-par är ett par primtal som uppfyller $p,q$

p^{q-1}\equiv 1{\pmod {q^{2}}},\ q^{p-1}\equiv 1{\pmod {p^{2}}}

Sålunda bildar Wieferich-primtalet ett par . Det enda kända numret för detta fall är . 6 par Wiferich är kända. [57] $p\equiv 1{\pmod {4}}$ $(s,2)$ $p=1093$

Wiferich nummer

Wieferich-talet är ett udda heltal som uppfyller jämförelsen , där anger Euler-funktionen . Om ett Wieferich-tal är primtal, så är det också ett Wieferich-primtal. $w\geqslant 3$ ${\displaystyle 2^{\varphi (w)}\equiv 1{\pmod {w^{2))))$ $\varphi$ $w$

Flera första Wieferich-nummer:

1093, 3279, 3511, 7651, 10533, 14209, 17555, 22953, 31599, 42627, 45643, … OEIS - sekvens A077816

Det kan visas att om det bara finns ett ändligt antal Wieferich-primtal, så är antalet Wieferich-primtal också ändligt. I synnerhet, om Wieferich-primtalen bara är 1093 och 3511, så finns det exakt 104 Wieferich-tal, och de motsvarar de tal som är kända för tillfället. [58]

Mer generellt är ett heltal ett Wieferich-tal i basen , om . [59] :31 $w$ $a$ ${\displaystyle a^{\varphi (w)}\equiv 1{\pmod {w^{2))))$

Enligt en annan definition är Wieferich-talet ett positivt udda q så att q och inte är coprime , där m är exponenten 2 modulo q . De första av dessa siffror är: [60] ${\tfrac {2^{m}-1}{q))$

21 , 39 , 55 , 57 , 105, 111, 147, 155 , 165, 171, 183 , ... OEIS -sekvens A182297

Som ovan, om ett Wieferich-tal q är primtal, så är det ett Wieferich-primtal.

Lucas-Wieferich primer

Ett Lucas-Wieferich primtal som motsvarar ett par heltal är ett primtal som , där betyder Lucas-sekvensen av det första slaget och är värdet av Legendre-symbolen modulo . Alla Wieferich-primtal är Lucas-Wieferich-primtal som motsvarar paret . [61] :2088 $(P,Q)$ $sid$ ${\displaystyle U_{p-\varepsilon }(P,Q)\equiv 0{\pmod {p^{2))))$ $U_{n}(P,Q)$ $\varepsilon$ $P^{2}-4Q$ $sid$ $(3,2)$

Wieferich poäng

Låt vara ett globalt fält , dvs. ett talfält eller ett funktionsfält för en variabel över ett ändligt fält och låt vara en elliptisk kurva . Om är en icke-arkimedisk normpunkt och , där , då . kallas en Wieferich-punkt med avseende på basen om , en elliptisk Wieferich-punkt med avseende på basen om , och en stark elliptisk Wieferich-punkt med avseende på basen om , där är moduloordningen och ger antalet rationella punkter (över fältet för restprodukter ) av minskningen på . [62] :206 $K$ $E$ $v$ $q_{v}$ $K$ $a\i K$ $v(a)=0$ $v(a^{q_{v}-1})\geqslant 1$ $v$ $a$ $v(a^{q_{v}-1})>1$ $P\in E$ $N_{v}(P)\in E_{2}$ $P\in E$ ${\displaystyle n_{v}(P)\in E_{2))$ ${\displaystyle n_{v))$ $P$ $v$ $N_v$ $v$ $E$ $v$

Anteckningar

Wolstenholme primtal är en annan typ av primtal som uppstod från studiet av Fermats sista sats.
Jämförelsetabell - en lista över andra jämförelser som primtal uppfyller

Länkar

↑ 1 2 The Prime Glossary: Wieferich prime , < http://primes.utm.edu/glossary/xpage/WieferichPrime.html > Arkiverad 23 april 2013 på Wayback Machine
↑ Israel Kleiner (2000), Från Fermat till Wiles: Fermats sista sats blir en sats , Elem. Matematik. T. 55: 21, doi : 10.1007/PL00000079 , < http://math.stanford.edu/~lekheng/flt/kleiner.pdf > Arkiverad 19 februari 2012 på Wayback Machine
↑ Leonhard Euler (1736), Theorematum quorundam ad numeros primos spectantium demonstratio , Novi Comm. Acad. sci. Petropol. T. 8: 33–37 , < http://www.math.dartmouth.edu/~euler/docs/translations/E054tr.pdf > Arkiverad 15 september 2012 på Wayback Machine
↑ 1 2 Wilfrid Keller; Jörg Richstein (2005), Solutions of the congruence a p −1 ≡ 1 (mod p r ) , Math. Comp. T. 74 (250): 927–936, doi : 10.1090 / S0025-5718-04-01666-7 04-01666-7/S0025-5718-04-01666-7.pdf > Arkiverad 2 oktober 2012 på vägen tillbaka Maskin
↑ Bachmann, P. Über den Rest von ${\tfrac {2^{p-1}-1}{p))\,{\bmod {\,}}p$ (tyska) // Journal für Mathematik. - 1913. - T. 142 , nr 1 . - S. 41-50 .
↑ 1 2 Meissner, W. (1913), Über die Teilbarkeit von 2 p − 2 durch das Quadrat der Primzahl p =1093, Sitzungsber. D. Konigl. Preuss. Akad. D. Wiss. (Berlin) T. Zweiter Halbband. Juli till december: 663–667
↑ Haentzschel, E. (1926), Über die Kongruenz 2 1092 ≡ 1 (mod 1093 2 ) , Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung T. 34: 284 , < http://gdz.sub.uni-goettingen.de/ /load/img/?PPN=GDZPPN00212534X >
↑ Haentzschel, E. (1925), Über die Kongruenz 2 1092 ≡ 1 (mod 1093 2 ) , Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung T. 34: 184 , < http://gdz.sub.uni-goettingen.de/ /load/img/?PPN=GDZPPN002127695 >
↑ Ribenboim, P. (1983), 1093 , The Mathematical Intelligencer vol 5(2): 28–34 , DOI 10.1007/BF03023623
↑ Beeger, NGWH (1922), On a new case of the congruence 2 p − 1 ≡ 1 (mod p 2 ) , Messenger of Mathematics vol . 51: 149–150 , < https://archive.org/stream/messengerofmathe5051cambuof #page/148/mode/2up >
↑ Guy, RK (1965), A property of the prime 3511 , The Mathematical Gazette vol 49 (367): 78–79 , < https://www.jstor.org/stable/3614249 > Arkiverad 19 november 2015 på Wayback-maskin
↑ Kravitz, S. The Congruence 2 p -1 ≡ 1 (mod p 2 ) för p < 100 000 // Math . Comp. : journal. - 1960. - Vol. 14 . — S. 378 . - doi : 10.1090/S0025-5718-1960-0121334-7 .
↑ Fröberg CE Några beräkningar av Wilson och Fermat Remainders // Math . Comp. : journal. - 1958. - Vol. 12 . — S. 281 . - doi : 10.1090/S0025-5718-58-99270-6 .
↑ Riesel, H. Note on the Congruence a p -1 ≡ 1 (mod p 2 ) // Math . Comp. : journal. - 1964. - Vol. 18 . - S. 149-150 . - doi : 10.1090/S0025-5718-1964-0157928-6 .
↑ Lehmer, D.H. Basera två på Fermats kvot // Math . Comp. : journal. — Vol. 36 , nr. 153 . - S. 289-290 . - doi : 10.1090/S0025-5718-1981-0595064-5 .
↑ 1 2 Ribenboim, Paulo (2004), Die Welt der Primzahlen: Geheimnisse und Rekorde , New York: Springer, sid. 237, ISBN 3-540-34283-4 , < https://books.google.de/books?id=-nEM9ZVr4CsC&pg=PA237 > Arkiverad 8 mars 2016 på Wayback Machine
↑ 1 2 3 Dorais, FG; Klyve, D. A Wieferich Prime Search Upp till 6.7⋅10 15 // Journal of Integer Sequences : journal. - 2011. - Vol. 14 , nr. 9 .
↑ PrimeGrid -meddelande om Wieferich och Wall-Sun-Sun-sökningar Arkiverade 14 mars 2013 på Wayback Machine
↑ PrimeGrid Wieferich prime sökserverstatistik Arkiverad 6 april 2014 på Wayback Machine
↑ 1 2 Crandall, Richard E.; Dilcher, Karl & Pomerance, Carl (1997), A search for Wieferich and Wilson primes , Math. Comput. T. 66 (217): 433–449 , doi : 10.1090 / S0025-5718-97-00791-6
↑ Wieferich, A. (1909), Zum letzten Fermat'schen Theorem , Journal für die reine und angewandte Mathematik vol. 136 (136): 293–302, doi : 10.1515/crll.1909.136.293 , < http://gdz .sub.uni-goettingen.de/dms/resolveppn/?PPN=GDZPPN002166968 >
↑ Coppersmith, D. (1990), Fermat's Last Theorem (Fall I) och Wieferich Criterion , Math. Comp. ( AMS ). — T. 54 (190 ) 895–902: > Arkiverad 24 oktober 2012 på Wayback Machine
↑ Cikánek, P. (1994), En speciell förlängning av Wieferichs kriterium , Math. Comp. ( AMS ). — T. 62 (206 ) 923–930: > Arkiverad 24 oktober 2012 på Wayback Machine
↑ 1 2 Dilcher, K. & Skula, L. (1995), Ett nytt kriterium för det första fallet av Fermats sista teorem , Math. Comp. (AMS). — V. 64 (209 ) 363–392: > Arkiverad 29 juli 2014 på Wayback Machine
↑ Mirimanoff, D. (1910), Sur le dernier théorème de Fermat, Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences T. 150: 293–206
↑ 1 2 3 4 Granville, A. & Monagan, MB (1988), The First Case of Fermat's Last Theorem är sant för alla primtalsexponenter upp till 714 591 416 091 389 , Transactions of the American Mathematical Society vol. 306–35922: , DOI 10.1090/S0002-9947-1988-0927694-5
↑ Suzuki, Jiro (1994), On the generalized Wieferich criteria , Proc. Japan Acad. Ser. En matematik. sci. T. 70: 230–234 , < http://projecteuclid.org/DPubS/Repository/1.0/Disseminate?view=body&id=pdf_1&handle=euclid.pja/1195510946 > Arkiverad 18 augusti 2017 på Wayback Machine
↑ Charles, DX på Wieferich-prime Arkiverad 18 mars 2012 på Wayback Machine
↑ Silverman, JH (1988), Wieferich's criterium and the abc-conjecture , Journal of Number Theory vol 30 (2): 226–237 , DOI 10.1016/0022-314X(88)90019-4
↑ 1 2 DeKoninck, J.-M. & Doyon, N. (2007), On the set of Wieferich primes and of its complement , Annales Univ. sci. Budapest., Sect. Comp. T. 27: 3–13 , < http://ac.inf.elte.hu/Vol_027_2007/003.pdf > Arkiverad 26 april 2012 på Wayback Machine
↑ Broughan, K. (2006), Relaxations of the ABC Conjecture using integer k 'th roots , New Zealand J. Math. V. 35(2): 121–136 , < http://www.math.waikato.ac.nz/~kab/papers/abc01.pdf > Arkiverad 18 juni 2013 på Wayback Machine
↑ Ribenboim, P. 13 Föreläsningar om Fermats sista sats (neopr.) . - New York: Springer, 1979. - S. 154. - ISBN 0-387-90432-8 .
↑ Mersenne Primes: Conjectures and Unsolved Problems , < http://primes.utm.edu/mersenne/index.html#unknown > Arkiverad 13 mars 2019 på Wayback Machine
↑ Rotkiewicz, A. Sur les nombres de Mersenne dépourvus de diviseurs carrés et sur les nombres naturels n, tels que n 2 ∣2 n -2 (franska) // Mat. Vesnik. - 1965. - V. 2 , nr 17 . - S. 78-80 .
↑ Ribenboim, Paulo (1991), The little book of big primes , New York: Springer, sid. 64, ISBN 0-387-97508-X , < https://books.google.com/?id=zUCK7FT4xgAC&pg=PA64 >
↑ Bray, HG & Warren, LJ (1967), On the square-freeness of Fermat and Mersenne numbers , Pacific J. Math. T. 22(3): 563–564 , < http://projecteuclid.org/euclid.pjm/1102992105 > Arkiverad 2 september 2016 på Wayback Machine
↑ Scott, R.; Styer, R. På p x -q y =c och relaterade tretermsexponentiella diofantiska ekvationer med primtalsbaser // Journal of Number Theory : journal. - Elsevier, 2004. - April ( vol. 105 , nr 2 ). - S. 212-234 . - doi : 10.1016/j.jnt.2003.11.008 .
↑ Scott, R.; Styer, R. Om den generaliserade Pillai-ekvationen ± a x ± b y = c (engelska) // Journal of Number Theory : journal. - 2006. - Vol. 118 , nr. 2 . - S. 236-265 . - doi : 10.1016/j.jnt.2005.09.001 . (inte tillgänglig länk)
↑ Wells Johnson (1977), On the nonvanishing of Fermat quotients (mod p ) , J. Reine angew. Matematik. T. 292: 196–200 , < http://www.digizeitschriften.de/index.php?id=resolveppn&PPN=GDZPPN002193698 >
↑ Dobeš, Jan & Kureš, Miroslav (2010), Sök efter Wieferich-primtal genom användning av periodiska binära strängar , Serdica Journal of Computing vol. 4: 293–300 , < http://sci-gems.math.bas.bg /jspui/bitstream/10525/1595/1/sjc104-vol4-num3-2010.pdf > Arkiverad 16 april 2014 på Wayback Machine
↑ 1 2 Kiss, E.; Sándor, J. Om en kongruens av János Bolyai, kopplad till pseudoprimer (engelska) // Mathematica Pannonica : journal. - 2004. - Vol. 15 , nr. 2 . - s. 283-288 .
↑ Ribenboim, P. (2004), kapitel 2. Hur man känner igen om ett naturligt tal är ett primtal , The Little Book of Bigger Primes , New York: Springer-Verlag New York, Inc., sid. 99, ISBN 0-387-20169-6
↑ Pinch, RGE Pseudoprimerna upp till 10 13 (obestämd) // Lecture Notes in Computer Science. - 2000. - T. 1838 . - S. 459-473 . - doi : 10.1007/10722028_30 . (inte tillgänglig länk)
↑ Aebi, C.; Cairns, G. Katalanska tal, primtal och tvillingprimtal (odefinierade) // Elemente der Mathematik. - 2008. - T. 63 , nr 4 . - S. 153-164 . - doi : 10.4171/EM/103 . (inte tillgänglig länk)
↑ 1 2 Ehrlich, A. (1994), Cycles in Doubling Diagrams mod m , The Fibonacci Quarterly vol 32 (1): 74–78 , < http://www.fq.math.ca/Scanned/32-1 /ehrlich.pdf > Arkiverad 30 april 2012 på Wayback Machine
↑ Byeon, D. (2006), Class numbers, Iwasawa-invarianter och modulära former , Trends in Mathematics vol 9 (1): 25–29 , < http://basilo.kaist.ac.kr/mathnet/kms_tex/985999 .pdf > Arkiverad 26 april 2012 på Wayback Machine
↑ Jakubec, S. (1995), Connection between the Wieferich congruence and divisibility of h + , Acta Arithmetica T. 71 (1): 55–64 , < http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/aa/ aa71/aa7114.pdf > Arkiverad 10 augusti 2014 på Wayback Machine
↑ Jakubec, S. (1998), Om delbarheten av klasstalet h + för de reella cyklotomiska fälten i prime grad l , Mathematics of Computation T. 67 (221): 369–398 , < http://www.ams. org/journals/mcom/1998-67-221/S0025-5718-98-00916-8/S0025-5718-98-00916-8.pdf > Arkiverad 4 mars 2016 på Wayback Machine
↑ 1 2 3 Garza, G. & Young, J. (2004), Wieferich Primes and Period Lengths for the Expansions of Fractions , Math. Mag. T. 77 (4): 314–319 , DOI 10.2307/3219294
↑ Martinez-Pérez, C.; Willems, W. Är klassen av cykliska koder asymptotiskt bra? (neopr.) // IEEE Transaktioner om informationsteori. - IEEE, 2006. - V. 52 , nr 2 . - S. 696-700 . - doi : 10.1109/TIT.2005.862123 .
↑ Stevens, WH (19 juni 1995), Periodicity for the Z / p r -homology of cyclic covers of knots and Z -homology circles , < https://www.math.lsu.edu/~gilmer/waynestevenspaper.pdf > . Hämtad 29 september 2012. Arkiverad 24 april 2012 på Wayback Machine
↑ Dickson, L.E. (1917), Fermat's Last Theorem and the Origin and Nature of the Theory of Algebraic Numbers , Annals of Mathematics vol. 18 (4): 161–187 , < https://www.jstor.org/stable/ pdfplus/2007234 >
↑ Joshua Knauer; Jörg Richstein (2005), The continuing search for Wieferich primes , Math. Comp. T. 74 (251): 1559–1563, doi : 10.1090 / S0025-5718-05-01723-0 , arkiverad oktober 2020 Maskin
↑ Om projektet Wieferich@Home (nedlänk) . Datum för åtkomst: 25 januari 2013. Arkiverad från originalet 22 mars 2012. (obestämd)
↑ PrimeGrid, Wieferich & nära Wieferich primtal p < 11e15 Arkiverad 18 oktober 2012 på Wayback Machine
↑ Ribenboim, Paulo (2000), My numbers, my friends: popular lectures on number theory , New York: Springer, sid. 213–229, ISBN 978-0-387-98911-2
↑ Weisstein, Eric W. .html Double Wieferich Prime Pair på Wolfram MathWorld- webbplatsen .
↑ Banks, W.D.; Luca, F. & Shparlinski, IE (2007), Estimates for Wieferich numbers , The Ramanujan Journal (Springer) . — V. 14 (3): 361–378, doi : 10.1007/s11139-007-9030-z , < http://web.science.mq.edu.au/~igor/Wieferich.pdf > Arkiverad kopia av 3 maj 2013 på Wayback Machine
↑ Agoh, T.; Dilcher, K. & Skula, L. (1997), Fermat Quotients for Composite Moduli , Journal of Number Theory vol 66 (1): 29–50 , doi 10.1006/jnth.1997.2162
↑ Müller, H. {{{title}}} (tyska) // Mitteilungen der Mathematischen Gesellschaft i Hamburg. - Mathematische Gesellschaft i Hamburg, 2009. - V. 28 . - S. 121-130 .
↑ McIntosh, RJ & Roettger, EL (2007), En sökning efter Fibonacci-Wieferich och Wolstenholme primtal , Mathematics of Computation ( AMS ). — T. 76 (260): 2087–2094, doi : 10.1090/S0025-5718-07-01955-2 , < http://www.ams.org/journals/mcom/2007-76-260/S0025-5718 -07-01955-2/S0025-5718-07-01955-2.pdf > Arkiverad 4 oktober 2013 på Wayback Machine
↑ Voloch, JF (2000), Elliptic Wieferich Primes , Journal of Number Theory vol 81: 205–209 , DOI 10.1006/jnth.1999.2471

Ytterligare läsning

Haussner, R. (1926), Über die Kongruenzen 2 p -1 -1 ≡ 0 (mod p 2 ) für die Primzahlen p =1093 und 3511 , Archiv for Mathematik og Naturvidenskab Vol 39 (5): 7, DNB 363953469 . < http://jfm.sub.uni-goettingen.de/cgi-bin/jfmen/JFM/en/quick.html?first=1&maxdocs=20&type=html&an=JFM%2052.0141.06&format=complete >
Haussner, R. (1927), Über numerische Lösungen der Kongruenz u p -1 -1 ≡ 0 (mod p 2 ) , Journal für die reine und angewandte Mathematik (Crelle's Journal). T. 1927 (156): 223–226, doi : 10.1515 / crll.1927.156.223 ,
Ribenboim, P. (1979), Tretton föreläsningar om Fermats sista sats , Springer-Verlag , sid. 139, 151, ISBN 0-387-90432-8
Guy, Richard K. (2004), Unsolved Problems in Number Theory (3:e upplagan), Springer Verlag , sid. 14, ISBN 0-387-20860-7
Crandall, RE & Pomerance, C. (2005), Prime numbers: a computational perspective , Springer Science+Business Media, Inc., sid. 31–32, ISBN 0-387-25282-7 , < http://thales.doa.fmph.uniba.sk/macaj/skola/teoriapoli/primes.pdf >
Ribenboim, P. (1996), The new book of prime number records , Springer-Verlag New York, Inc., sid. 333–346, ISBN 0-387-94457-5 , < https://books.google.com/?id=72eg8bFw40kC&pg=PA333 >

Externa länkar

Weisstein , Eric W. Wieferich prime på Wolfram MathWorld .
Fermat-/Euler-kvotienter ( a p −1 − 1)/ p k med godtycklig k
En anteckning om de två kända Wieferich-primtalen
PrimeGrids Wieferich Prime Search - projektsida
Janusz G.J., Algebraiska nummerfält. Novosibirsk , vetenskaplig bok. (University Series Volym 6)