Abc-hypotes

Abc -hypotesen (Esterle-Musser-hypotesen) är ett uttalande i talteorin som formulerats oberoende av matematikerna David Masser 1985 [1] och Joseph Esterle 1988 [ 2 ] .

Beviset för abc -förmodan har länge varit ett av de största olösta problemen inom talteorin, och förblir så än i dag. Statusen för denna fråga är för närvarande omtvistad. Det har ännu inte varit möjligt att bekräfta eller motbevisa Mochizukis bevis som erhölls 2012.

Formulering

För alla finns det en konstant , vid vilken för alla tre coprime heltal , och , så att , olikheten $\varepsilon >0$ $K(\varepsilon )$ $a$ $b$ $c$ $a+b=c$

\max {\big (}|a|,|b|,|c|{\big )}\leqslant K(\varepsilon )\cdot {\big (}\operatörsnamn {rad} (abc){\ stor )}^{1+\varepsilon },

där är radikalen av numret , det vill säga antalet lika med produkten av produktens primtalsdelare . $\operatörsnamn {rad}(abc)$ $abc$ $abc$

Anteckningar

Utan förlust av generalitet kan vi bara överväga stigande naturliga tal , och . Då minskar ojämlikheten till följande: $a$ $b$ $c$ $c\leqslant K(\varepsilon )\cdot {\big (}\operatörsnamn {rad} (abc){\big )}^{1+\varepsilon }.$
Villkoret är nödvändigt. För alla finns det en trippel av coprimtal så att . Till exempel en trippel av formen , där . $\varepsilon >0$ $K$ $a,b,c=a+b$ $c>K\cdot \operatörsnamn {rad} (abc)$ $a=1,b=2^{2\cdot 3^{n}}-1,c=2^{2\cdot 3^{n}}$ $K<3^{n-1}$

Konsekvenser

Beals förmodan och Fermats sista sats

Giltigheten av abc -hypotesen antyder giltigheten av Beals hypotes för tillräckligt stora , och från den giltigheten av Fermats sista sats för tillräckligt stora grader [3] . $z$

Bevis för Beals gissning baserad på abc -hypotesen

Enligt Beals gissning, om ( , , , , , är naturliga tal och ), så har , , en gemensam divisor. $A^{x}+B^{y}=C^{z}$ $A$ $B$ $C$ $x$ $y$ $z$ $x,\;y,\;z>2$ $A$ $B$ $C$

Låt oss bevisa Beales gissning för tillräckligt stor från motsatsen . Anta att det finns ett oändligt antal , för vilka Beals gissning är falsk. Vi tillämpar abc- hypotesen, enligt vilken: $z$ $z$

C^{z}\leqslant K(\varepsilon )\cdot \left(\operatörsnamn {rad}(A^{x}B^{y}C^{z})\right)^{{1+\varepsilon } }

Låt oss lära oss det . Det är därför: $\operatörsnamn {rad}(A^{x}B^{y}C^{z})=\operatörsnamn {rad}(ABC)\leqslant ABC$

C^{z}\leqslant K(\varepsilon )\cdot \left(\operatörsnamn {rad}(ABC)\right)^{{1+\varepsilon }}\leqslant K(\varepsilon )\cdot (ABC)^ {{1+\varepsilon}}

Eftersom det är uppenbart från villkoren för satsen att och , Då . Sedan: $A<C$ $B<C$ $ABC\leqslant C^{3}$

C^{z}\leqslant K(\varepsilon )\cdot C^{{3+3\varepsilon }}

Om vi tar logaritmen för båda delarna av olikheten och dividerar med , får vi en övre gräns för värdet av : $\log C$ $z$

z\leqslant {\frac {\log K(\varepsilon )}{\log C))+3+3\varepsilon

, (*)

dessutom måste förhållandet vara ändligt, eftersom, enligt villkoret , , , är naturliga (dvs. ) ${\frac {\log K(\varepsilon )}{\log C))$ $A$ $B$ $C$ $A,B\geqslant 1\;\Högerpil \;C\geqslant 2$

Det är alltså möjligt att hitta något ändligt värde för vilket olikheten (*) inte är uppfylld, det vill säga abc -hypotesen är inte giltig här, vilket innebär att antagandet om ogiltigheten av Beals hypotes för tillräckligt stor är felaktigt . För den återstående ändliga kvantiteten kan Beals gissning bevisas numeriskt. $z$ $z$ $z$

Hypoteser om Pillai och katalanska

Av abc -hypotesens giltighet följer giltigheten av Pillai-hypotesen , och från den giltigheten av den katalanska hypotesen .

Mochizukis bevis

I augusti 2012 meddelade den respekterade japanske matematikern Shinichi Mochizuki att han hade lyckats bevisa abc -förmodan [4] [5] . Beviset han föreslog visade sig vara extremt svårt även ur expertmatematikers synvinkel [6] .

Efter att ha lagt ut beviset på nätet avböjde Mochizuki alla erbjudanden om att personligen berätta för samhället sina resultat, men flera matematiker tog på sig att verifiera beviset med Mochizukis hjälp. De publicerar lägesrapporter om detta arbete [7] . Från och med slutet av 2015 började Mochizuki så smått kommunicera med samhället om sina resultat [8] . I slutet av 2017 finns det från 10 till 20 experter på teorin skapad av Mochizuki [9] i världen .

Således är beviset för Shinichi Mochizuki allmänt tillgängligt, inte vederlagt, men anses ännu inte verifierat i det vetenskapliga samfundet. Det är ovanligt att ett bevis förblir i detta obestämda tillstånd under lång tid [9] [10] (till skillnad från fall där bevis som ansågs verifierade och korrekta visade sig ha fel).

2018 tillkännagav Peter Scholze och Jakob Stix, specialister inom områden relaterade till abc -hypotesen och Mochizukis arbete, att vid nyckelpunkten för att bevisa abc -hypotesen i Mochizukis teori (som länge har orsakat särskilda svårigheter för matematiker som försöker förstå teorin) det finns ett fatalt fel [11] [6] . Mochizuki svarade att Stix och Scholze misstolkade några viktiga aspekter av hans bevis och därför gjorde oacceptabla förenklingar [12] .

Från och med 2020 är Mochizukis bevis fortfarande i en osäker status, det matematiska samfundet är inte övertygat om dess riktighet, trots godtagandet av beviset för publicering i tidskriften Publications of the Research Institute for Mathematical Sciences (PRIMS, "Publications of the Research" Institute for Mathematical Sciences") Research Institute for Mathematical Sciences vid Kyoto University (Japan) är institutet där Mochizuki arbetar [13] [14] .

I mars 2021 publicerades Mochizukis bevis i PRIMS [15] .

Se även

Anteckningar

↑ DW Masser. Öppna problem (engelska) // Proceedings of the Symposium on Analytic Number Theory / WWL Chen. - London: Imperial College, 1985. - Vol. 25 .
↑ J. Oesterle. Nouvelles approches du "théorème" de Fermat (franska) // Séminaire N. Bourbaki. - 1988. - Vol. 694 . — S. 165–186 . — ISSN 0303-1179 .
↑ R. Daniel Mauldin. En generalisering av Fermats sista sats: The Beal Conjecture and Prize Problem // Notices of the AMS. - 1985. - Vol. 44 , nr. 11 . - P. 1436-1437 .
↑ Japansk matematiker tillkännagav beviset för ABC-hypotesen , Lenta.ru (11 september 2012). Arkiverad från originalet den 14 september 2012. Hämtad 11 september 2012.
↑ Mochizuki, Shinichi (augusti 2012). Interuniversell Teichmuller-teori I: Konstruktion av Hodge-teatrar , Interuniversell Teichmuller-teori II: Hodge-Arakelov-teoretisk utvärdering , Interuniversell Teichmuller-teori III: Kanoniska splittringar av log-theta-gittret. , Inter-universal Teichmuller Theory IV: Log-volym Computations and Set-theoretic Foundations , tillgänglig på http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/papers-english.html Arkiverad 2 februari 2021 på Wayback-maskin
↑ 12 David Michael Roberts . En identifieringskris // Inferens. - 2019. - Vol. 4, nr. 3.
↑ IUTeich Verification Report 2013-12 Arkiverad 13 september 2014 på Wayback Machine , IUTeich Verification Report 2014-12 Arkiverad 22 januari 2015 på Wayback Machine
↑ "Japanska Perelman" gick med på att förklara matematikens huvudhemlighet. Arkivexemplar daterad 27 november 2015 på Wayback Machine // Lenta.ru, 2015-10-08
↑ 12 Timothy Revell . Förbryllande ABC-matematikbevis har nu en ogenomtränglig "sammanfattning" på 300 sidor . New Scientist (7 september 2017). Hämtad 8 december 2017. Arkiverad från originalet 23 december 2017. (obestämd)
↑ Caroline Chen. Bevisets paradox (4 maj 2013). Hämtad 6 september 2016. Arkiverad från originalet 16 september 2013. (obestämd) Översättning: Daniil Basmanov. Bevisets paradox (17 juni 2013). Datum för åtkomst: 6 september 2016. Arkiverad från originalet 14 september 2016. (obestämd)
↑ Klarreich, Erica . Titans of Mathematics Clash Over Epic Proof of ABC Conjecture , Quanta (20 september 2018). Arkiverad från originalet den 14 mars 2021. Hämtad 21 september 2018 _ _
↑ Mochizuki, Shinichi Rapport om diskussioner, som hölls under perioden 15–20 mars 2018, angående Inter-Universal Teichmüller Theory . Hämtad 18 januari 2019. Arkiverad från originalet 9 november 2018. (obestämd)
Mochizuki, Shinichi Kommentarer till manuskriptet av Scholze-Stix angående Inter-Universal Teichmüller Theory . Hämtad 18 januari 2019. Arkiverad från originalet 21 september 2018. (obestämd)
Mochizuki, Shinichi Kommentarer till manuskriptet (2018-08 version) av Scholze-Stix angående Inter-Universal Teichmüller Theory . Hämtad 18 januari 2019. Arkiverad från originalet 24 oktober 2018. (obestämd)
↑ Tidskriften Publications of the Research Institute for Mathematical Sciences , trots allt, kommer att publicera matematikern Shinichi Mochizukis arbete med beviset på Esterle-Mussers gissning Arkivkopia daterad 11 juni 2020 på Wayback Machine // Lenta.Ru , 3 april 2020
↑ Nature (Storbritannien): Matematiskt bevis för att skaka talteori är på gång . Hämtad 12 april 2020. Arkiverad från originalet 12 april 2020. (obestämd)
↑ Mochizuki, Shinichi Mochizukis bevis på ABC-förmodan . Hämtad 14 juli 2021. Arkiverad från originalet 3 maj 2021. (obestämd)

Länkar

Weisstein, Eric W. abc Conjecture (engelska) på Wolfram MathWorld- webbplatsen .
Föreläsningar om ABC-hypotesen: Föreläsning 1 , Föreläsning 2 , Föreläsning 3 , Föreläsning 4 (av Keith Conrad).
R. Borcherds , Undergraduate math talk: The abc conjecture on YouTube

Litteratur

Ian Stewart . "De största matematiska problemen". - M . : " Alpina facklitteratur ", 2016. - 460 s. — ISBN 978-5-91671-507-1 .