Halls hypotes

Halls gissning är en olöst talteoretisk hypotes för 2015 om en övre uppskattning för lösningar av Diophantine Mordell-ekvationen för en given . Den har flera formuleringar av olika styrkor. Den formulerades av Hall 1971. $y^{2}=x^{3}+k$ $k\neq 0$

Formulering och förtydliganden

Den ursprungliga formuleringen är:

Det finns en konstant sådan att om för och då . $C>0$ $y^{2}=x^{3}+k$ $x,y,k\in \mathbb {Z}$ $k\neq 0$ ${\displaystyle |x|\leqslant C|k|^{2))$

Från specifika lösningar av olika ekvationer för olika kan man få nedre gränser för . Det starkaste exemplet hittade Elkis 1998: $k$ $C$

447884928428402042307918^{2}-5853886516781223^{3}=-1641843

Från detta kommer uppskattningen . Detta gör hypotesen osannolik i denna formulering, även om denna formulering inte har motbevisats. $C>2171$

Stark och Trotter föreslog 1980 en försvagad version av Halls gissning:

För alla finns det en konstant sådan att om för och , då . $\epsilon > 0$ $C(\epsilon )>0$ $y^{2}=x^{3}+k$ $x,y,k\in \mathbb {Z}$ $k\neq 0$ $|x|\leqslant C(\epsilon )|k|^{2+\epsilon }$

På grund av osannolikheten i den ursprungliga versionen av Hall-hypotesen kallas nu Hall-hypotesen dess försvagade version med . $\epsilon$

Det är bevisat att index 2 i bedömningen inte kan reduceras - hypotesen blir felaktig för bedömningen av arten (Danilov, 1982). $|x|\leqslant C|k|^{2-\epsilon }$

Davenports teorem - En analog till Halls hypotes för polynom

1965 bevisade Davenport en analog till Halls gissning för polynom:

Om , var , då . $g(t)^{2}=f(t)^{3}+k(t)$ $k(t)\neq \mathrm {const} ,f(t),g(t)\neq 0$ $\deg f(t)\leqslant 2(\deg k(t)-1)$

Denna sats följer omedelbart från Mason-Stothers sats , en analog till ABC-hypotesen för polynom: Låta vara parvis coprime icke-konstanta polynom så att , då $a(t),b(t),c(t)$ $a+b=c$

\max\{\deg(a),\deg(b),\deg(c)\}\leqslant \deg(\operatörsnamn {rad} (abc))-1.

Här är radikalen av polynomet , det vill säga produkten av dess olika primtalsfaktorer. $\mathrm {rad} (f)$

Substitutionen , , ger 2 olikheter: $c=g^{2}$ $a=f^{3}$ $b=k$

3\deg f,2\deg g\leqslant \deg f+\deg g+\deg k-1

varifrån satsen härleds.

Relation till ABC-hypotesen

Halls hypotes följer av ABC-hypotesen . Från ABC-hypotesen följer omedelbart en ännu starkare, den sk. Halls radikala gissning :

För alla finns det en konstant sådan att om för och , då . $\epsilon > 0$ $C(\epsilon )>0$ $y^{2}=x^{3}+k$ $x,y,k\in \mathbb {Z}$ $k\neq 0$ ${\text{gcd}}(x,y)=1$ $|x|\leqslant C(\epsilon )\mathrm {rad} (k)^{2+\epsilon }$

Här är radikalen i ett heltal . $\mathrm {rad} (k)$ $k$

Det visar sig att Halls radikala gissning också antyder ABC-hypotesen. Detta påstående är emellertid icke-trivialt. [1] [2]

En generalisering av Halls gissningar till andra grader är Pillai -förmodan .

Anteckningar

↑ Schmidt, Wolfgang M. Diofantiska approximationer och diofantiska ekvationer (obestämda) . — 2:a. - Springer-Verlag , 1996. - T. 1467. - S. 205-206. — (Föreläsningsanteckningar i matematik). — ISBN 3-540-54058-X .
↑ Bombieri, Gubler. Höjd i diofantin geometri (neopr.) . - Cambridge University Press , 2006. - T. 652. - S. 424-435. — ISBN 0-511-14061-4 .

Litteratur

Richard K Guy . Olösta problem i talteorin (neopr.) . — 3:a. - Springer-Verlag , 2004. - P. D9. - ISBN 978-0-387-20860-2 .
Hall, Jr., Marshall. Den diofantiska ekvationen x 3 - y 2 = k // Computers in Number Theory (neopr.) / Atkin, AOL; Björk, BJ. - 1971. - S. 173 -198. — ISBN 0-12-065750-3 .

Länkar

En sida om problemet Arkiverad 22 februari 2018 på Wayback Machine av Noam Elkies
Tabell med goda exempel på Marshall Halls gissningar av Ismael Jimenez Calvo.