Noll funktion

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 7 maj 2021; kontroller kräver 6 redigeringar .

Nollpunkten för en funktion i matematik är ett element från en funktions domän , där den får ett nollvärde. Till exempel för en funktion som ges av formeln $f$

f(x)=x^{2}-6x+9\,.

$x=3$ är noll eftersom

f(3)=3^{2}-6\cdot 3+9=0

Begreppet nollor för en funktion kan övervägas för alla funktioner vars intervall innehåller noll eller ett nollelement i motsvarande algebraiska struktur .

För en funktion av en reell variabel är nollor de värden där grafen för funktionen skär x- axeln . $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$

Att hitta nollorna för en funktion kräver ofta användning av numeriska metoder (till exempel Newtons metod , gradientmetoder ).

Ett av de olösta matematiska problemen är att hitta nollorna i Riemanns zeta-funktion .

Polynomrot

Grundläggande teorem för algebra

Algebras grundläggande sats säger att varje polynom av grad n har n komplexa rötter , givet deras mångfald. Kubikekvationen, som visas ovan, har alltid tre komplexa rötter, med hänsyn tagen till multipliciteten. Alla imaginära rötter av ett polynom, om några, ingår alltid i konjugerade par endast om alla koefficienter för polynomet är reella. Varje polynom av udda grad med reella koefficienter har minst en reell rot. Sambandet mellan rötterna av ett polynom och dess koefficienter fastställs av Vietas sats .

Komplex analys

En enkel nolla av en funktion holomorphic i någon domän är en punkt i någon grannskap som representationen håller , där är holomorphic i och inte försvinner vid denna punkt. $G\subset \mathbb {C}$ $f$ $z_{0}\i G$ $f(z)=(z-z_{0})g(z)$ $g$ $z_{0}$

Ordningen noll för $k$ en funktion holomorphic i någon domän är en punkt i någon grannskap som representationen håller , där är holomorphic i och försvinner inte vid denna punkt. $G\subset \mathbb {C}$ $f$ $z_{0}\i G$ $f(z)=(z-z_{0})^{k}g(z)$ $g$ $z_{0}$

Nollor av en holomorf funktion isolerad .

Andra specifika egenskaper hos nollorna för komplexa funktioner uttrycks i olika teorem:

Historik

Kubikekvationer

Historiskt har begreppet imaginära tal utvecklats genom att lösa tredjegradsekvationer med tre olika reella rötter. Enligt Cardano-formeln är alla tre rötter i ekvationen lika $x$ $x^{3}+kx+l=0$

$\left({\frac {-1+i{\sqrt {3}}}{2}}\right)^{n}C+{\frac {-k}{3}}\left[\left ({\frac {-1+i{\sqrt {3}}}{2}}\right)^{n}C\höger]^{-1},$

där (i stället för plus eller minus passar båda tecknen, om inte C går till 0), och alla är möjliga komplexa rötter av 3:e graden från 1 , nämligen , $C^{3}={\tfrac {-l}{2}}\pm {\sqrt ({\tfrac {l^{2}}{4}}+{\tfrac {k^{3} }{27}}}}$ $n\in \{0,1,2\},$ ${\tfrac {-1+i{\sqrt {3}}}{2}}^{n}$ $ett$ ${\tfrac {-1\pm i{\sqrt {3}}}{2}}.$

Om talet under kvadratroten är mindre än noll, och k och l är reella, så är och icke-reella konjugerade tal, vilket betyder att när de adderas kommer tre olika reella rötter av kubikekvationen att erhållas. ${\tfrac {l^{2}}{4}}+{\tfrac {k^{3}}{27}}$ ${\tfrac {-1+i{\sqrt {3}}}{2}}^{n}C$ ${\tfrac {-k}{3}}\left({\tfrac {-1+i{\sqrt {3}}}{2}}^{n}C\right)^{-1}$
Om den är lika med noll, har kubikekvationen en trefaldig rot eller två olika rötter, varav en är tvåfaldig. ${\tfrac {l^{2}}{4}}+{\tfrac {k^{3}}{27}}$
Om mer än noll, och k och l är reella, så är ett av talen reellt , men de är inte längre konjugerade: de har olika moduler , - och som ett resultat har den kubikformade ekvationen bara en reell rot, och andra två gör det inte . ${\tfrac {l^{2}}{4}}+{\tfrac {k^{3}}{27}}$ ${\tfrac {-1+i{\sqrt {3}}}{2}}^{n}C$ ${\tfrac {-1+i{\sqrt {3}}}{2}}^{n}C$ ${\tfrac {-k}{3}}\left({\tfrac {-1+i{\sqrt {3}}}{2}}^{n}C\right)^{-1}$

$-108({\tfrac {l^{2}}{4}}+{\tfrac {k^{3}}{27}})$ - detta är ekvationens diskriminant , vars tecken bara bestämmer rötternas verklighet och mångfald. $x^{3}+kx+l=0,$

Vid första anblicken presenterar punkterna 1 och 3 paradoxala fall. Denna märklighet löstes och underbyggdes av Rafael Bombelli och tillät honom att fullt ut legalisera imaginära siffror, såväl som negativa siffror som inte kändes igen i Europa före honom.

Litteratur

Funktion noll - artikel från Great Soviet Encyclopedia .
Weisstein, Eric W. Root (engelska) på Wolfram MathWorld- webbplatsen .