Absolutvärde

Det absoluta värdet , eller modulen , av ett tal (i matematik ) är ett icke- negativt tal , som informellt sett anger avståndet mellan ursprunget och . Utsedda: $x$ $x$ $|x|.$

I fallet med ett reellt värde är det absoluta värdet en kontinuerlig styckvis linjär funktion definierad enligt följande: $x$

|x|={\begin{cases}x,&x>0,\\0,&x=0,\\-x,&\ x<0.\end{cases))

En generalisering av detta begrepp är modulen , eller det absoluta värdet [1] , av ett komplext tal. Detta tal bestäms av formeln: $z=x+iy.$

|z|=|x+iy|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}.

Grundläggande egenskaper

Ur geometrisk synvinkel är modulen för ett reellt eller komplext tal avståndet mellan talet och ursprunget. Inom matematiken används det faktum att, geometriskt, betyder en kvantitet avståndet mellan punkter och , och kan således användas som ett mått på närheten av en (verklig eller komplex) storhet till en annan - till exempel för att bestämma Cauchy gräns eller median [2] . $|x_{1}-x_{2}|$ $x_{1}$ $x_{2}$

Reella tal

Omfattning : $(-\infty ;+\infty ).$
Räckvidd : $[0;+\infty ).$
Funktionen är jämn .
Funktionen är differentierbar överallt utom noll. Vid ett tillfälle genomgår funktionen en kink . $x=0$

Komplexa tal

Definitionsdomän: hela det komplexa planet .
Värdeintervall: $[0;+\infty ).$
Modulen som en komplex funktion är inte differentierbar vid något tillfälle, eftersom Cauchy-Riemann-villkoren inte är uppfyllda.

Algebraiska egenskaper

För alla reella tal gäller följande relationer: $a,b$

$\ |x|={\sqrt {x^{2}}}=x\cdot \operatörsnamn {sgn} x={\rm {max}}\,\{x,\,-x\}$ ( sgn är teckenfunktionen);
$a\leqslant |a|;$
$-|a|\leqslant a;$
kvadraten på modulen för ett tal är lika med kvadraten på det talet: $|a|^{2}=a^{2}.$

För både verkliga och komplexa relationer äger följande relationer rum: $a,b$

modulen för ett tal är lika med eller större än noll: , och om och endast om $|a| \geqslant 0$ $|a|=0$ $a=0;$
moduler med motsatta tal är lika: $|{-a}|=|a|;$
modulen för produkten av två (eller flera) tal är lika med produkten av deras moduler: $|ab|=|a||b|;$
- i synnerhet kan en konstant positiv faktor tas ur modultecknet: $|ab|=a|b|,\quad a>0;$
modulen för divisionskvoten av två tal är lika med divisionskvoten för modulen för dessa två tal: $\left|{\frac {a}{b}}\right|={\frac {|a|}{|b|}});$
$|a+b| \leqslant |a|+|b|$ ( triangelolikhet );
$|ab|\leqslant |a|+|b|;$
$|a|-|b|\leqslant |a+b|;$
$|a\pm b|\geqslant {\big |}|a|-|b|{\big |};$
$|a^{k}|=|a|^{k},$ om det finns. $a^k$

Historik

Man tror att termen föreslogs användas av Kots , en student i Newton . Leibniz använde också denna funktion, som han kallade modulen och betecknade: mol. Den allmänt accepterade notationen för absolut magnitud infördes 1841 av Weierstrass . För komplexa tal introducerades detta begrepp av Cauchy och Argan i början av 1800-talet.

I programmeringsspråk

Eftersom den här funktionen beräknas ganska enkelt (nämligen med hjälp av jämförelser och tilldelningar ) ingår den vanligtvis i standardlistan över funktioner i alla programmeringsspråk . Till exempel har Pascal funktionen abs(x), medan C har fabs(x) för den verkliga typen . I Wolfram Mathematica: Abs[x].

Generalisering

Konceptet med ett absolut värde kan introduceras i en godtyckligt ordnad ring eller ett ordnat fält , och dess egenskaper kommer att likna de som anges ovan.

En generalisering av begreppet en modul kan betraktas som normen för ett element i ett flerdimensionellt vektorrum , betecknat med . Normen för en vektor i det euklidiska rymden kallas ibland också modulen. I analogi med modulen för skillnaden mellan tal är normen för skillnaden mellan två vektorer ett mått på närheten mellan dem. Till skillnad från modulen för ett tal kan normen för en vektor definieras på olika sätt, men i fallet med ett endimensionellt utrymme är normen för en vektor proportionell mot (ofta lika med) modulen för dess enda koordinat. $\|x\|$

Se även

Anteckningar

↑ Matematisk uppslagsverk (i 5 volymer) . - M . : Soviet Encyclopedia , 1982. - T. 1.
↑ Definitionen av medianen som ett tal (punkt) som minimerar summan av avstånd till en viss mängd . (obestämd)

Ordböcker och uppslagsverk	Stor ryss Great Soviet (1 upplaga) Great Soviet (1 upplaga) Teknisk (1 upplaga) Britannica (online)