Norm (matematik)

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 6 juni 2021; kontroller kräver 2 redigeringar .

En norm är en funktion som definieras på ett vektorrum och generaliserar begreppet längden på en vektor eller det absoluta värdet av ett tal .

Definition

Vektornorm

En norm i ett vektorrum över ett fält av reella eller komplexa tal är en funktion med följande egenskaper: $V\$ $p\colon V\to \mathbb {R_{+}}$

$p(x)=0\Högerpil x=0_{V};$
$\forall x,y\in V,p(x+y)\leqslant p(x)+p(y)$ ( triangelolikhet );
$\forall \alpha \in \mathbb {C} ,\forall x\in V,p(\alpha \,x)=|\alpha |p(x).$

Dessa förhållanden är normens axiom .

Ett vektorrum med en norm kallas ett normerat rum , och villkor (1–3) kallas även axiom för ett normerat rum.

Från normens axiom följer egenskapen av icke-negativitet hos normen på ett uppenbart sätt:

$\forall x\in V,p(x)\geqslant 0$ .

Av den tredje egenskapen följer faktiskt: , och från egenskapen 2 - . $p(0_{V})=p(0\cdot 0_{V})=0\cdot p(0_{V})=0$ $\forall x\in V\colon 0=p(0_{V})=p(xx)\leqslant p(x)+p(-x)=2p(x)$

Oftast betecknas normen i formen :. I synnerhet är normen för ett element i vektorrummet . $\|\cdot \|$ $\|x\|$ $x$ $\mathbb {R}$

En vektor med en enhetsnorm kallas enhet eller normaliserad . $\left(\|x\|=1\höger)$

Vilken vektor som helst som inte är noll kan normaliseras, det vill säga dividerad med sin egen norm: vektorn har en enhetsnorm. Ur geometrisk synvinkel betyder det att vi tar en samriktningsvektor av längdenhet. $x$ ${\frac {x}{\|x\|}}$

Matrisnorm

En matrisnorm är ett reellt tal som uppfyller de tre första av följande villkor: $A$ $\|A\|$

$\|A\|\geqslant 0$ , och endast för ; $\|A\|=0$ $A=0\$
$\|\alpha A\|=|\alpha |\cdot \|A\|$ , var ; $\alpha \in \mathbb{R}$
$\|A+B\|\leqslant \|A\|+\|B\|$ ;
$\|AB\|\leqslant \|A\|\cdot \|B\|$ .

Om den fjärde egenskapen också är uppfylld kallas normen submultiplikativ . En matrisnorm sammansatt som en operatornorm sägs vara underordnad normen som används i vektorrum. Uppenbarligen är alla underordnade matrisnormer submultiplikerande.

Matrisnormen från kallas konsekvent med vektornormen från och vektornormen från om den är sann: $\|\cdot \|_{{ab}}$ $K^{{m\ gånger n}}$ $\|\cdot \|_{{a}}$ $K^n$ $\|\cdot \|_{{b}}$ $K^{m}$

\|Ax\|_{b}\leqslant \|A\|_{{ab}}\|x\|_{a}

för alla . $A\in K^{{m\times n}},x\in K^{n}$

Operatörsnorm

Operatörens norm är numret , som definieras enligt följande: $A$

\|A\|=\sup _{{\|x\|=1}}\|Ax\|

, var är en operatör som agerar från ett normerat utrymme till ett normerat utrymme .

A

L

K

Denna definition motsvarar följande:

\|A\|=\sup _{{x\neq 0}}{\frac {\|Ax\|}{\|x\|}}

Egenskaper för operatörsnormer:

$\|A\|\geqslant 0$ , och endast för ; $\|A\|=0$ $A=0$
$\|\alpha A\|=|\alpha |\cdot \|A\|$ , var ; $\alpha \in {\mathbb {R}}$
$\|A+B\|\leqslant \|A\|+\|B\|$ ;
$\|AB\|\leqslant \|A\|\cdot \|B\|$ .

I det finita dimensionella fallet motsvarar en operator på något sätt en matris — operatorns matris. Om normen på utrymmet/utrymmena där operatorn agerar tillåter ett av standarduttrycken i basen, så upprepar egenskaperna för operatorns norm de liknande egenskaperna hos matrisnormen.

Normegenskaper

$\|x\|-\|y\|\ \leqslant \|x\pm y\|\leqslant \|x\|+\|y\|$
${{\bigl (}\|x\|-\|y\|{\bigr )}}^{2}\leqslant {\|x\pm y\|}^{2}\leqslant {{ \bigr (}\|x\|+\|y\|{\bigl )}}^{2}$
${\frac {\|x\|^{2}+\|y\|^{2}-\|xy\|^{2}}{2\|x\|\|y\|}}\in [-1,1]$ [vinkelns kosinus]
$\|0_{V}\|=\|xx\|=\|0x\|=0\cdot \|x\|=0$
$0=\|xx\|\leqslant \|x\|+\|-x\|=2\|x\|\Högerpil \|x\|\geqslant 0$

Likvärdighet mellan normer

Två normer och på ett utrymme kallas ekvivalenta om det finns två positiva konstanter och sådana att för någon . Likvärdiga normer definierar samma topologi på rymden. I ett ändligt dimensionellt rum är alla normer ekvivalenta [1] . $sid$ $q$ $V$ $C_{1}$ $C_{2}$ $x \i V$ $C_{1}p(x)\leqslant q(x)\leqslant C_{2}p(x)$

Exempel

Linjära normerade utrymmen

Varje pre-Hilbert-utrymme kan anses vara normerat , eftersom den skalära produkten genererar en naturlig norm

\|x\|={\sqrt {\langle x,x\rangle )),\quad x\in X.

Hölder normer för dimensionella vektorer (familj): , $n$ $\|x\|_{p}={\left(\summa _{i}|x_{i}|^{p}\right)}^{\frac {1}{p))$

där (antas vanligtvis vara ett naturligt tal). Särskilt: $p\geqslant 1$

$\|x\|_{1}=\summa _{{i}}|x_{{i}}|$ , som också kallas L1-metriska , norm $\ell _{1}$ eller Manhattan-avstånd . För en vektor är det summan av modulerna av alla dess element.
$\|x\|_{2}={\sqrt {\summa _{{i}}|x_{{i}}|^{2}}}$ , som också kallas L2-metriken , normen $\ell _{2}$ eller euklidisk norm . Är det geometriska avståndet mellan två punkter i det flerdimensionella rummet, beräknat med hjälp av Pythagoras sats.
$\|x\|_{\infty }=\max |x_{{i}}|$ (detta är ett extremfall ). $p\högerpil \infty$

Normerna för funktioner i utrymmet för reella (eller komplexa) kontinuerliga funktioner på intervallet [0,1] : $C[0,1]$
- $\|f\|_{{C[0,1]}}=\sup _{{x\in [0,1]}}|f(x)|$ - i betydelsen av denna norm bildar funktionsutrymmet som är kontinuerligt på ett segment ett
komplett linjärt utrymme . Detsamma kan inte sägas om följande två exempel på en norm på detta utrymme, som inte desto mindre är legitima: $C[0,1]$
$\|f\|_{1}=\int \limits _{0}^{1}|f(t)|\,dt$
$\|f\|_{2}={\sqrt {\int \limits _{0}^{1}|f(t)|^{2}\,dt))$

På liknande sätt kan vi införa normer för ändligdimensionella vektorfunktioner av ändligdimensionella vektorargument, som ersätter med , och integration över ett segment genom integration över en domän (maximum på ett segment, i motsvarande fall, är ett maximum på en domän ). $|f(x)|\$ $\|f(x)\|\$

"L0 norm"

Ett specialfall är (LO-"norm"), definierat som antalet element som inte är noll i vektorn. Strängt taget är detta ingen norm, eftersom normens tredje axiom inte håller. I grund och botten används denna typ av "norm" i glesa kodningsproblem, särskilt i Compressive sensing , där du måste hitta den glesaste representationen av en vektor (med flest nollor), det vill säga med den minsta -normen. Med denna "norm" kan Hamming-avståndet bestämmas . $\ell _{0}$ $\ell _{0}$

Vissa typer av matrisnormer

Genererade normer : $\|A\|_{{p}}=\sup _{{\|x\|_{{p}}=1}}\|Ax\|_{{p}}$
- $p=1$ : -norm, $m$ $\|A\|_{m}=\max _{j}\summa _{i}|a_{{ij}}|$
- $p=2$ ( Euklidisk norm ) och (kvadratmatriser), den underordnade normen för en matris kallas spektralnormen . Den spektrala normen för en matris är lika med det största singularvärdet för matrisen eller kvadratroten av det största egenvärdet för en positiv semidefinit matris : , där betecknar matriskonjugatet till matrisen . $m=n$ $A$ $A$ $A^{\dolk}A$ $\left\|A\right\|_{2}={\sqrt {\lambda _{({\text{max))))(A^{\dolk}A)))$ $A^{\dolk }$ $A$
- $p=\infty$ : -norm $l$ $\|A\|_{l}=\max _{i}\summa _{j}|a_{{ij}}|$

Här är matrisen konjugat till och är spåret av matrisen .

A^{\dolk }

A

{\mathrm {Tr}}

Element -wise -norm ( ): $sid$ $p>0$ $\|A\|_{p}=\left(\sum _{i,j}|a_{ij}|^{p}\right)^{\frac {1}{p))$
- Frobenius norm : . $\|A\|_{F}=\|A\|_{2}={\sqrt {\sum _{i,j}|a_{ij}|^{2))}={\ sqrt {\mathrm {Tr} \,A^{\dolk }A))$

Relaterade begrepp

Topologi av rymden och normen

Normen definierar ett mått på rummet (i betydelsen en avståndsfunktion av ett metriskt utrymme ), vilket genererar ett metriskt utrymme och därmed en topologi , vars bas är alla typer av öppna kulor, det vill säga uppsättningar av form . Begreppen konvergens som definieras i den mängdteoretisk topologis språk i en sådan topologi och definieras i en norms språk sammanfaller. $B(x,r)=\{y\kolon \|xy\|<r\}$

Se även

Anteckningar

↑ M. Verbitsky. Topologi introduktionskurs. Problem och satser . Liter, 2018-12-20. - S. 163-164. — 346 sid.