Funktionell
En funktionell är en funktion definierad på en godtycklig mängd och som har ett numeriskt värdeintervall : vanligtvis en uppsättning reella tal eller komplexa tal . I en vidare mening är en funktionell all mappning från en godtycklig uppsättning till en godtycklig (inte nödvändigtvis numerisk) ring .
Funktionaler studeras som ett av de centrala begreppen inom funktionsanalys , och huvudämnet för variationskalkylen är studiet av variationer av funktionaler.
Definitioner
Den funktionella domänen kan vara vilken uppsättning som helst. Om definitionsdomänen är ett topologiskt rum , kan en kontinuerlig funktion definieras ; om domänen är ett linjärt utrymme över eller över , kan en linjär funktion definieras ; om domänen är en ordnad uppsättning kan en monoton funktion definieras.
En funktion som definieras på ett topologiskt utrymme kallas kontinuerlig om den är kontinuerlig som en avbildning till ett topologiskt utrymme eller .
En funktionell definierad på ett topologiskt utrymme kallas kontinuerlig vid en punkt om den är kontinuerlig vid denna punkt som en avbildning till ett topologiskt utrymme eller .
En funktional definierad på ett linjärt utrymme och bevara addition och multiplikation med en konstant kallas en linjär funktionell . (Mappningen av ett linjärt utrymme till ett linjärt utrymme kallas en operator ).
En av de enklaste funktionerna är en projektion (tilldelning till en vektor av en av dess komponenter eller koordinater).
Ganska ofta spelar det här eller det utrymmet av funktioner rollen som ett linjärt utrymme (kontinuerliga funktioner på ett intervall, integrerbara funktioner på ett plan, etc.). Därför, i tillämpade områden, förstås en funktion ofta som en funktion av funktioner , en mappning som omvandlar en funktion till ett tal (reellt eller komplext).
En funktional på ett linjärt utrymme sägs vara positiv definitivt om dess värde är icke-negativt och är lika med noll endast vid noll.
Mappningen som omvandlar en vektor till sin norm är en konvex positiv-definitiv funktion, detta är en av de vanligaste funktionalerna. Inom fysiken används ofta handling - också en funktionell.
Optimeringsproblem formuleras på funktionalernas språk : hitta en lösning (ekvationer, ekvationssystem, system av begränsningar, system av ojämlikheter, system av inneslutningar, etc.) som levererar ett extremum (minimum eller maximum) till en given funktion. Funktioner beaktas också i analysen av variationer .
Funktionell i linjärt utrymme
Senare separerades begreppet funktionell i ett linjärt utrymme från begreppet traditionell funktionell , som en funktion som kartlägger element i ett linjärt utrymme till dess skalärrum . Ofta (till exempel när funktionsutrymmet är ett linjärt utrymme) sammanfaller dessa två varianter av begreppet "funktionell" samtidigt som de inte är identiska och absorberar inte varandra.
En särskilt viktig typ av funktionaler är linjära funktionaler .
Exempel
- funktionsnorm _
- funktionsvärde vid en fast punkt
- maximum eller minimum av en funktion på ett segment
- värdet av funktionens integral
- längden på plotten av en reell funktion av en reell variabel
- längden på en kurva parametriskt definierad av en vektorfunktion av ett reellt argument (väglängd)
- ytarea parametriskt definierad av en vektorfunktion av två reella argument
- skalär produkt med en fixerad vektor
- åtgärder inom mekanik
- energi funktionell
Litteratur
- V. I. Sobolev . Funktionell // Mathematical Encyclopedia : [i 5 volymer] / Kap. ed. I. M. Vinogradov . - M . : Soviet Encyclopedia, 1985. - T. 5: Slu - Ya. - 1248 stb. : sjuk. — 150 000 exemplar.
- Kolmogorov A. N. , Fomin S. V. Element i teorin om funktioner och funktionell analys. - ed. fjärde, reviderad. — M .: Nauka , 1976 . — 544 sid. - 35 000 exemplar.
- Rudin W. Funktionsanalys. — M .: Mir , 1975. — 443 sid.
 Ordböcker och uppslagsverk | |
|---|---|
| I bibliografiska kataloger |
|