Extremum

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 26 maj 2021; kontroller kräver 2 redigeringar .

Extremum ( lat. extremum - extrem) i matematik - det högsta eller lägsta värdet för en funktion i en given mängd . Punkten där extremum nås kallas extremumpunkten . Följaktligen, om minimum uppnås, kallas extrempunkten för minimumpunkten och om maximum kallas maximipunkten . I matematisk analys urskiljs också begreppet ett lokalt extremum (respektive minimum eller maximum) .

Problemen med att hitta ett extremum uppstår inom alla områden av mänsklig kunskap: automatisk kontrollteori , ekonomiproblem , biologi , fysik , etc. [1]

Definitioner

Låt en funktion och vara en inre punkt i definitionsdomänen $f:M\subset \mathbb{R} \to \mathbb{R} ,$ $x_{0}\in M^{0}$ $f.$

$x_{0}$ kallas en lokal maximipunkt för en funktion om det finns ett punkterat område så att $f,$ ${\dot {U}}(x_{0})$ $\forall x\in {\dot {U}}(x_{0})\quad f(x)\leqslant f(x_{0});$
$x_{0}$ kallas en lokal minimipunkt för en funktion om det finns ett punkterat område så att $f,$ ${\dot {U}}(x_{0})$ $\forall x\in {\dot {U}}(x_{0})\quad f(x)\geqslant f(x_{0}).$

$x_{0}$ kallas en global (absolut) maxpunkt if $\forall x\in M\quad f(x)\leqslant f(x_{0});$
$x_{0}$ kallas en global (absolut) minimipunkt if $\forall x\in M\quad f(x)\geqslant f(x_{0}).$

Om ojämlikheterna ovan är strikta, kallas det en punkt med strikt lokalt eller globalt maximum respektive minimum. $x_{0}$

Funktionens värde kallas det (strikta) lokala eller globala maximum respektive minimum. Punkter som är punkter med ett (lokalt) maximum eller minimum kallas punkter i ett (lokalt) extremum. $f(x_{0})$

Notera

En funktion definierad på en uppsättning kanske inte har något lokalt eller globalt extremum. Till exempel, $f,$ $M,$ $f(x)=x,\;x\in (-1,1).$

Nödvändiga villkor för förekomsten av lokala extrema

Följande följer av Fermats lemma [2] :

Låt punkten vara en extrempunkt för funktionen som definieras i någon av punktens omgivningar .

x_{0}

f

x_{0}

Då finns antingen inte derivatan, eller .

f'(x_{0})

f'(x_{0})=0

Dessa villkor är inte tillräckliga, så funktionen kan ha en nollderivata vid en punkt, men denna punkt kanske inte är en extrempunkt, utan är, säg, en böjningspunkt , som punkten (0,0) för funktionen . $f(x)=x^{3}$

Tillräckliga förutsättningar för förekomsten av lokala extrema

Låt funktionen vara kontinuerlig i och det finns finita eller oändliga ensidiga derivator . Då under villkoret $f\in C(x_{0})$ $x_{0}\in M^{0},$ $f'_{+}(x_{0}),f'_{-}(x_{0})$

f'_{+}(x_{0})<0,\;f'_{-}(x_{0})>0

$x_{0}$ är en punkt med strikt lokalt maximum. Tänk om

f'_{+}(x_{0})>0,\;f'_{-}(x_{0})<0,

då är en punkt med strikt lokalt minimum. $x_{0}$

Observera att i det här fallet är funktionen inte nödvändigtvis differentierbar vid punkten . $x_{0}$

Låt funktionen vara kontinuerlig och två gånger differentierbar vid punkten . Då under villkoret $f$ $x_{0}$

f'(x_{0})=0

och

f''(x_{0})<0

$x_{0}$ är en lokal maxpunkt. Tänk om

f'(x_{0})=0

och

f''(x_{0})>0

vilket är en lokal minimipunkt. $x_{0}$

Låt funktionen vara differentierbara tider vid punkten och , och . $f$ $n$ $x_{0}$ $f'(x_{0})=f''(x_{0})=\dots =f^{{(n-1)}}(x_{0})=0$ $f^{{(n)}}(x_{0})\neq 0$

Om och är jämnt är den lokala maxpunkten. Om och är jämnt är det en lokal minimipunkt. Om det är udda, så finns det inget extremum. $n$ $f^{{(n)}}(x_{0})<0$ $x_{0}$ $n$ $f^{{(n)}}(x_{0})>0$ $x_{0}$ $n$

Se även

Anteckningar

↑ Vete, 1969 , sid. 7.
↑ Kudryavtsev L. D. Matematisk analys. - 2:a uppl. - M . : Högre skola , 1973. - T. 1.

Litteratur

Vete B.N. Nödvändiga förutsättningar för ett extremum. — M .: Nauka, 1969. — 150 sid.