Villkorligt extremum

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 27 september 2021; kontroller kräver 2 redigeringar .

Villkorligt extremum - det högsta eller lägsta värdet som en funktion definierad på en uppsättning och tar reella värden når under antagandet att värdena för vissa andra funktioner med samma definitionsdomän är föremål för vissa restriktiva villkor (om det finns inga sådana ytterligare villkor, då talar de om ett ovillkorligt extremum ) [1] . $G$

Speciellt kan mängden vara en delmängd av ett aritmetiskt vektorrum, och ovanstående begränsningar kan i sin tur ges som likheter eller olikheter . Nedan betraktar vi det klassiska villkorliga extremumproblemet , där alla villkor ges i form av likheter, samt Lagrangeproblemet , ett av de klassiska problemen med variationskalkylen [1] . $G$ $\mathbb{R} ^{n},$

Uttalande av det klassiska problemet för ett villkorligt extremum

Låt vara en öppen uppsättning , och funktioner ges på den Låt ${G\subset \mathbb {R} ^{n}}$ $y_{i}=f_{i}({\vec {x))),\;i=1,2,\dots ,m.$ $E=\lbrace \,{\vec {x}}\in G:\,f_{i}({\vec {x}})=0\;\;\forall \,i=1,2 ,\dots ,m\,\rbrace .$

Ekvationer

(*)\qquad f_{i}({\vec {x)))=0

kallas begränsningsekvationer (terminologin är lånad från mekanik ).

Låt också en funktion på definieras. En punkt kallas en punkt för ett villkorligt extremum för en given funktion med avseende på begränsningsekvationerna, om det är en punkt för det vanliga (ovillkorliga) extremumet för en funktion i en mängd (modifiering av definitionen av ett extremum reducerar till det faktum att istället för kvarter i , d.v.s. kvarter i beaktas i det, då har ) [2] . $G$ $y=f_{0}({\vec {x))).$ ${\vec {x}}_{0}\in E$ $(*),$ ${\displaystyle f_{0))$ $E$ $G$ $U_{G}({\vec {x}}_{0})$ $E$ $U_{E}({\vec {x}}_{0})=U_{G}({\vec {x}}_{0})\bigcap E$

Metod för Lagrange-multiplikatorer för att lösa det villkorliga extremumproblemet

Sats

Låt oss anta att alla funktioner som förekommer i formuleringen av det klassiska problemet för det villkorliga extremumet är kontinuerligt differentierbara , och låt oss vara punkten för funktionens villkorliga extremum när begränsningsekvationerna är uppfyllda. Vid denna punkt är gradienterna linjära beroende , dvs. men [3] . ${\vec {x}}_{0}$ ${\displaystyle f_{0))$ $(*).$ $\nabla f_{i},\,i=0,1,\dots ,m$ $\exists \,\lambda _{i},\,i=0,1,\dots ,m\,\colon \;\sum _{i=0}^{m}|\lambda _{i }|\neq 0,$ $\sum _{i=0}^{m}\lambda _{i}\nabla f_{i}=0$

Talen kallas Lagrange -multiplikatorer och definieras fram till multiplikation med en godtycklig konstant som inte är noll. Av störst intresse är fallet när (då, genom att multiplicera allt med en lämplig icke-nollkonstant, kan du göra faktorn lika och därmed helt och hållet utesluta den från beaktande). I en sådan situation, istället för den nyss formulerade satsen, används följande konsekvens från den [4] . $\lambda _{i},\,i=0,1,\dots ,m$ $\lambda _{0}\neq 0$ $\lambda _{{i}}$ $\lambda _{0}$ $ett$

Konsekvens

Om är en punkt i det villkorliga extremumet för funktionen med avseende på begränsningsekvationerna och gradienterna i den är linjärt oberoende , då sådan att vid en given punkt I koordinatform är denna vektorlikhet ekvivalent med uppfyllandet av likheterna ${\vec {x}}_{0}$ ${\displaystyle f_{0))$ $(*),$ $\nabla f_{i},i=1,\dots ,m$ ${\displaystyle \exists \,\lambda _{1},\dots ,\lambda _{m))$ $\nabla f_{0}+\lambda _{1}\nabla f_{1}+\dots +\lambda _{m}\nabla f_{m}=0.$

(**)\qquad {\frac {\partial f_{0}}{\partial x_{i}}}({\vec {x}}_{0})+\lambda _{1}{ \frac {\partial f_{1}}{\partial x_{i}}}({\vec {x}}_{0})+\dots +\lambda _{m}{\frac {\partial f_{ m}}{\partial x_{i}}}({\vec {x}}_{0})=0\,,

där [3] . $i=1,\dots ,n$

Jämlikheter kan ges följande tolkning. Låt oss anta att dessa likheter gäller för tal, och kombinera dem till en kolumn . Skapa Lagrange-funktionen : $(**)$ ${\displaystyle \lambda _{1},\dots ,\lambda _{m))$ ${\vec {\lambda }}_{0}.$

L({\vec {x));{\vec {f)),{\vec {\lambda )))=f_{0}({\vec {x)))+\summa _{i =1}^{m}\lambda _{i}\,f_{i}({\vec {x)))\,,

var finns godtyckliga siffror. Då, för , är punkten en stationär punkt i Lagrange-funktionen, och likheterna kan skrivas som ${\displaystyle \lambda _{1},\dots ,\lambda _{m))$ ${\vec {\lambda }}={\vec {\lambda }}_{0}$ ${\vec {x}}_{0}$ $(**)$

{\frac {\partial L}{\partial x_{1))}\,=\,{\frac {\partial L}{\partial x_{2))}\,=\,\dots \ ,=\,{\frac {\partial L}{\partial x_{n))}\,=\,0\,;

dessa relationer är punktens stationaritetsvillkor . Lägger vi begränsningsekvationerna till dem får vi ekvationer för de okända [5] [6] . ${\vec {x}}_{0}.$ $(*),$ $n+m$ $n+m$ ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n},\lambda _{1},\dots ,\lambda _{m))$

Exempel. Hitta sidorna av en rektangel med maximal yta inskriven i en cirkel Här Komponerar Lagrange-funktionen $x^{2}+y^{2}=r^{2}.$ $n=2,$ $m=1,$ $f_{0}(x,y)=4xy,$ $f_{1}(x,y)=x^{2}+y^{2}-r^{2}.$

L(x,y)\,=\,4xy+\lambda (x^{2}+y^{2}-r^{2})

och skriva villkoren för dess stationaritet vid den villkorliga extremumpunkten

{\frac {\partial L}{\partial x))\equiv 4y+2\lambda x\,=\,0\,,\qquad {\frac {\partial L}{\partial y)) \equiv 4x+2\lambda y\,=\,0\,,

vi finner: och (rektangel med maximal area visade sig vara en kvadrat ) [6] . $\lambda =-2$ $x=y=r/{\sqrt {2}}$

Ett tillräckligt villkor för ett villkorligt extremum

Om likheterna för är uppfyllda och samtidigt (det antas dessutom att vid den punkt som alla funktioner som förekommer i formuleringen av det klassiska problemet för ett villkorligt extremum är två gånger kontinuerligt differentierbara) är en negativ (positiv) bestämd kvadratisk form av variablerna, då är det en punkt av ett strikt villkorligt maximum för funktionen (ett strikt villkorligt minimum för positiv bestämd form). Om den betraktade kvadratiska formen inte är teckendefinierad, så finns det inget villkorligt extremum [7] . $(**)$ ${\vec {\lambda }}={\vec {\lambda }}_{0}$ ${\vec {x}}_{0}$ ${\rm {d}}^{2}L$ ${\rm {d}}x_{1},\dots ,{\rm {d}}x_{n},$ ${\vec {x}}_{0}$ ${\displaystyle f_{0))$

Lagrange-problemet

Detta problem hör till variationskalkylen och är en av de möjliga generaliseringarna av det klassiska problemet för ett betingat extremum. I Lagrange-problemet krävs det att hitta en kontinuerligt differentierbar funktion som ges på ett segment och levererar ett extremum (maximum eller minimum) till det funktionella ${\vec {x}}={\vec {x}}(t),$ $[t_{0},t_{1}]$

J\;=\;\int \limits _{t_{0}}^{t_{1}}F\,(t,{\vec {x}}(t),{\dot {\vec {x}}}(t))\,\,{\rm {d}}t

(punkten betecknar differentieringens funktion med avseende på ) under fasta randvillkor och uppfyllandet av begränsningsekvationerna $t$ ${\vec {x}}(t_{0})={\vec {x}}_{0},$ ${\vec {x}}(t_{1})={\vec {x}}_{1}$

f_{i}\,(t,{\vec {x}}(t),{\dot {\vec {x}}}(t))\,=\,0\,,

där [8] [9] . $i=1,2,\dots ,m$

I detta problem är metoden med Lagrange-multiplikatorer också tillämplig. Om vi antar att begränsningsekvationerna är oberoende, introducerar vi okända funktioner i beaktande och reducerar det ursprungliga problemet till ett obegränsat optimeringsproblem, och ersätter integranden med funktionen $m$ $\lambda _{1}(t),\dots ,\lambda _{m}(t)$

\Phi \,=\,F\,(t,{\vec {x}}(t),{\dot {\vec {x}}}(t))\,+\,\summa _ {i=1}^{m}\lambda _{i}(t)\,f_{i}\,(t,{\vec {x}}(t),{\dot {\vec {x}} }(t))\,;

som en analog till jämlikheterna (d.v.s. i rollen som nödvändiga förutsättningar för ett extremum), fungerar nu Euler-Lagrange-ekvationerna , som i det aktuella fallet har formen $(**)$

{\frac {\rm {d}}({\rm {d}}t}}{\frac {\partial \Phi }{\partial {\dot {x}}_{k}}}- {\frac {\partial \Phi }{\partial x_{k))}\,=\,0\,,

där Från dessa vanliga differentialekvationer , kompletterade med begränsningsekvationerna, hittar man (med hänsyn till de befintliga randvillkoren) okända funktioner [10] . $k=1,2,\dots ,n.$ $n$ $n+m$ $x_{1}(t),\dots ,x_{n}(t),\lambda _{1}(t),\dots ,\lambda _{m}(t)$

Se även

Anteckningar

↑ 1 2 Vapnyarsky I. B. . Villkorligt extremum // Mathematical Encyclopedia. T. 5 / Kap. ed. I. M. Vinogradov . - M . : Soviet Encyclopedia , 1985. Arkivexemplar daterad 17 november 2020 på Wayback Machine - 1248 stb. - Stb. 565-566.
↑ Kudryavtsev, volym 2, 1981 , sid. 92-93.
↑ 1 2 Kudryavtsev, vol. 2, 1981 , sid. 96.
↑ Alekseev, Tikhomirov, Fomin, 1979 , sid. 48.
↑ Kudryavtsev, volym 2, 1981 , sid. 96-97.
↑ 1 2 Korn och Korn, 1978 , sid. 336.
↑ Kudryavtsev, volym 2, 1981 , sid. 110.
↑ Alekseev, Tikhomirov, Fomin, 1979 , sid. 40-41, 80-81.
↑ Korn och Korn, 1978 , sid. 346-349.
↑ Korn och Korn, 1978 , sid. 348-349.

Litteratur

Alekseev V. M. , Tikhomirov V. M. , Fomin S. V. . Optimal kontroll. — M .: Nauka , 1979. — 432 sid.
Korn G., Korn T. . Handbok i matematik för vetenskapsmän och ingenjörer. 4:e uppl. — M .: Nauka , 1978. — 832 sid.
Kudryavtsev L. D. . Kurs i matematisk analys. T. 2. - M . : Högre skola , 1981. - 584 sid.