Kritisk punkt (matematik)

Den kritiska punkten för en differentierbar funktion är den punkt där dess differential försvinner. Detta tillstånd motsvarar det faktum att vid en given punkt försvinner alla partiella derivator av första ordningen, geometriskt betyder det att tangenthyperplanet till funktionens graf är horisontellt. I det enklaste fallet, n = 1, betyder det att derivatan vid denna punkt är lika med noll. Detta villkor är nödvändigt (men inte tillräckligt) för att en inre punkt i regionen ska vara en punkt med lokalt minimum eller maximum för en differentierbar funktion [1] . $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ $f'$

Begreppet en kritisk punkt kan generaliseras till fallet med differentierbara mappningar och till fallet med differentierbara mappningar av godtyckliga grenrör . I det här fallet är definitionen av en kritisk punkt att rangordningen för den jakobiska matrisen för mappningen i den är mindre än det maximalt möjliga värdet lika med . $f:\mathbb{R} ^{n}\to \mathbb{R} ^{m}$ $f:N^{n}\till M^{m}$ $f$ $\min\{n,m\}$

Kritiska punkter för funktioner och avbildningar spelar en viktig roll inom områden av matematik som differentialekvationer , variationskalkyl , stabilitetsteori , såväl som inom mekanik och fysik. Studiet av kritiska punkter för smidiga kartläggningar är en av huvudfrågorna inom katastrofteorin . Uppfattningen om en kritisk punkt är också generaliserad till fallet med funktionaler definierade på oändligt dimensionella funktionsrum. Att hitta kritiska punkter för sådana funktionaler är en viktig del av variationskalkylen . Kritiska punkter för funktionaler (som i sin tur är funktioner) kallas extremaler .

Formell definition

En kritisk (eller singular eller stationär ) punkt i en kontinuerligt differentierbar mappning är en punkt där differentialen för denna mappning är en degenererad linjär transformation av motsvarande tangentrymden och , det vill säga dimensionen på bilden av transformationen är mindre [ 2] . I koordinatnotation betyder detta att jakobian - determinanten för den jakobiska matrisen för avbildningen , sammansatt av alla partiella derivator - försvinner vid en punkt [ 2] . Utrymmena i denna definition kan också ersättas av grenrör med samma dimensioner. $f:\mathbb{R} ^{n}\to \mathbb{R} ^{m}$ $x_{0}\in \mathbb{R} ^{n}$ $f_{*}={\frac {\partial f}{\partial x))$ $T_{x_{0}}\mathbb {R} ^{n}$ ${\displaystyle T_{f(x_{0})}\mathbb {R} ^{m))$ $f_{*}(x_{0})$ $\min\{n,m\}$ $n=m$ $f$ ${\frac {\partial f_{j}}{\partial x_{i}}}$ $x_{0}$ $\mathbb {R} ^{n}$ $\mathbb{R} ^{m}$ $N^{n}$ $M^{m}$

Sards teorem

Värdet av en mappning vid en kritisk punkt kallas dess kritiska värde . Enligt Sards teorem [3] har uppsättningen av kritiska värden för en tillräckligt jämn mappning noll Lebesgue-mått (även om det kan finnas hur många kritiska punkter som helst, till exempel för en identiskt konstant mappning, är vilken punkt som helst kritisk ). $f:\mathbb{R} ^{n}\to \mathbb{R} ^{m}$

Konstanta rankmappningar

Om i ett område av en punkt rangordningen för en kontinuerligt differentierbar mappning är lika med samma antal , så finns det i närheten av denna punkt lokala koordinater med centrum vid , och i närheten av dess bild - punkten - finns det lokala koordinater med centrum vid , så att avbildningen i dem ges av relationerna [4] [5] : $x_{0}\in \mathbb{R} ^{n}$ ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m))$ $r$ $x_{0}$ $(x_{1},\ldots,x_{n})$ $x_{0}$ $y_{0}=f(x_{0})$ $(y_{1},\ldots,y_{m})$ $y_0$ $f$

$y_{1}=x_{1},\ \ldots ,\ y_{r}=x_{r},\ y_{{r+1}}=0,\ \ldots ,\ y_{m}=0.$

I synnerhet, om , så finns det lokala koordinater med centrum vid och lokala koordinater med centrum vid , så att mappningen är identisk i dem. $r=n=m$ $(x_{1},\ldots,x_{n})$ $x_{0}$ $(y_{1},\ldots ,y_{n})$ $y_0$ $f$

Fall m = 1

I fallet betyder denna definition att gradienten vid en given punkt försvinner. $m=1$ $\nabla f=(f'_{{x_{1}}},\ldots ,f'_{{x_{n}}})$

Antag att funktionen har en jämnhetsklass på minst . En kritisk punkt för en funktion f kallas icke- degenererad om hessian vid den är icke-noll. I ett grannskap av en icke-degenererad kritisk punkt finns det koordinater där funktionen f har en kvadratisk normalform ( Morses lemma ) [6] . $f:\mathbb{R} ^{n}\to \mathbb{R}$ $C^{3}$ ${\Bigl |}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2))}{\Bigr |}$

En naturlig generalisering av Morse-lemmat för degenererade kritiska punkter är Toujron-satsen: i närheten av en degenererad kritisk punkt för en funktion f som är differentierbar ett oändligt antal gånger ( ) av finit multiplicitet , finns det ett koordinatsystem där en slät funktion har formen av ett gradpolynom ( vi kan ta funktionens Taylorpolynom vid punkten i ursprungliga koordinater) [7] [8] . ${\displaystyle C^{\infty ))$ $\mu$ $f(x)$ $P_{{\mu +1}}(x)$ $\mu +1$ $P_{{\mu +1}}(x)$ $f(x)$ $0$

För , frågan om max och minimum för funktionen är vettig. Enligt det välkända uttalandet om matematisk analys kan en kontinuerligt differentierbar funktion definierad i hela rummet eller i dess öppna delmängd nå ett lokalt maximum (minimum) endast vid kritiska punkter, och om punkten är icke-degenererad, då matrisen i det måste vara negativt (positivt) bestämt . Det senare är också ett tillräckligt villkor för ett lokalt maximum (respektive minimum) [1] . $m=1$ $f$ $\mathbb {R} ^{n}$ ${\Bigl (}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2))}{\Bigl )}={\Bigl (}{\frac {\partial ^{2}f} {\partial x_{i}\partial x_{j))}{\Bigr )},$ $i,j=1,\ldots ,n,$

Fall n = m = 2

I fallet n=m=2 har vi en mappning f av ett plan på ett plan (eller ett 2-grenrör på ett annat 2-grenrör). Antag att avbildningen f är differentierbar ett oändligt antal gånger ( ). I det här fallet är de typiska kritiska punkterna för f de där determinanten för Jacobi-matrisen är noll, men dess rang är 1, och därför har differentialen för f vid sådana punkter en endimensionell kärna . Det andra typiska villkoret är att i närheten av den aktuella punkten på förbildsplanet bildar uppsättningen kritiska punkter en regelbunden kurva S , och i nästan alla punkter på kurvan S berör inte kärnan S , och de punkter där detta inte är fallet är isolerade och i dem har tangensen första ordningen. Kritiska punkter av den första typen kallas vikpunkter och den andra typen kallas cusp- punkter . Vik och veck är de enda typerna av singulariteter av plan-till-plan-mappningar som är stabila med avseende på små störningar: under en liten störning rör sig veckens och veckens punkter endast något tillsammans med deformationen av kurvan S , men gör det. inte försvinna, inte degenerera och inte smulas sönder i andra singulariteter. ${\displaystyle C^{\infty ))$ $\ker \,f_{*}$ $\ker \,f_{*}$

Whitneys teorem. Om är en vikpunkt eller en cusp-punkt, så har dess stadsdelar lokala koordinater med centrum vid , och i närheten av dess bild finns det lokala koordinater med centrum vid , så att kartläggningen i dem ges av relationerna $x_{0}$ $(x_{1},x_{2})$ $x_{0}$ $y_0$ $(y_{1},y_{2})$ $y_0$ $f$

$y_{1}=x_{1}^{2},\ \ y_{2}=x_{2}\ \ \ \$ (vika ihop),

$y_{1}=x_{1}^{3}+x_{1}x_{2},\ \ y_{2}=x_{2}\ \ \ \$ (hopsättning).

Detta teorem bevisades av Hassler Whitney 1955 [9] och blev ett av de första resultaten av katastrofteorin [10] . En modern version av beviset för denna teorem, baserad på tillämpningen av senare resultat i teorin om singulariteter för differentierbara avbildningar, ges till exempel i [11] .

Whitneys teorem visar att vikning och samling realiseras som egenskaper för att projicera en slät yta, given i rymden av ekvationen , på ett plan (horisontellt plan i figuren) längs en axel (vertikal axel i figuren). I normala koordinater från Whitneys teorem, funktionen för vecket och för vecket. Uppsättningen av kritiska punkter (kurva S på ytan F = 0) visas i rött, och dess bild på bildplanet visas i magenta. I fallet med montering har bilden av kurvan S en egenskap som kallas en cusp (eller cusp). $(x_{1},x_{2},y_{1})=0$ $F(x_{1},x_{2},y_{1})=0$ $(x_{2},y_{1})$ $x_{1}$ ${\displaystyle F=x_{1}^{2}-y_{1))$ ${\displaystyle F=x_{1}^{3}+x_{1}x_{2}-y_{1))$

Se även

Litteratur

Arnold V. I., Varchenko A. N., Gusein-Zade S. M. Singularities of differentiable mappings, — Alla upplagor.
Zorich V. A. Matematisk analys, - Vilken upplaga som helst.
Brecker T., Lander L. Differentierbara bakterier och katastrofer, - Alla upplagor.
N.G. Pavlova, A.O. Remizov . Släta funktioner, formella serier och Whitneys satser . Matta. red., 2016, nr 3(79), 49–65.
N.G. Pavlova, A.O. Remizov . Släta funktioner, formella serier och Whitneys satser (slutlig) . Matta. arr., 2017, nr 3(83), 13–27.

Anteckningar

↑ 1 2 Zorich V. A. Matematisk analys, volym 1 - Valfri upplaga, kap. VIII.
↑ 1 2 Zorich V. A. Matematisk analys, volym 1 - Valfri upplaga, kap. VIII, par. fyra.
↑ Arnold V. I., Varchenko A. N., Gusein-Zade S. M. Singularities of differentiable mappings, paragraf 2.
↑ Zorich V. A. Matematisk analys, volym 1 - Valfri upplaga, kap. VIII, par. 6 (rangsats).
↑ Brecker T., Lander L. Differentiera bakterier och katastrofer, - Alla upplagor.
↑ Zorich V. A. Matematisk analys, volym 1 - Valfri upplaga, kap. VIII, par. 6.
↑ Arnold V. I., Varchenko A. N., Gusein-Zade S. M. Singularities of differentiable mappings.
↑ A. M. Samoilenko, Om ekvivalensen av en jämn funktion med ett Taylor-polynom i ett område med en kritisk punkt av finit typ, Funkts. analys och dess tillämpningar, 2:4 (1968), s. 63-69.
↑ Whitney H. Om singulariteter av kartläggningar av euklidiska utrymmen. I. Mappningar av planet till planet. Annals of Mathematics, Second Series, 62:3 (1955), 374–410.
↑ Arnold V. I., Varchenko A. N., Gusein-Zade S. M. Singularities of differentiable mappings, paragraf 1.
↑ N. G. Pavlova, A. O. Remizov . Släta funktioner, formella serier och Whitneys satser (slutlig) . Matematisk utbildning , 2017, nr 3(83), 13–27.