Smidig funktion

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 26 april 2021; kontroller kräver 2 redigeringar .

En jämn funktion , eller en kontinuerligt differentierbar funktion , är en funktion som har en kontinuerlig derivata på hela definitionsmängden. Mycket ofta betyder jämna funktioner funktioner som har kontinuerliga derivator av alla ordningar.

Grundläggande information

Släta funktioner av högre ordning beaktas också, nämligen en funktion med jämnhetsordningen har kontinuerliga derivator av alla ordningsföljder upp till och med (nollordningens derivata är själva funktionen). Sådana funktioner kallas - smooth . Uppsättningen av -släta funktioner som definieras i domänen betecknas med . Notationen betyder att för alla , sådana funktioner kallas oändligt jämna ( ibland med jämna funktioner menar de exakt oändligt jämna). Ibland används också beteckningen eller , vilket betyder att den är analytisk . $r\geqslant 0$ $r$ $r$ $r$ $\Omega$ $C^{r}(\Omega)$ $f\in C^{\infty }(\Omega )$ $f\in C^{r}(\Omega )$ $r$ $f\in C^{\omega }(\Omega )$ $f\in C^{a}(\Omega )$ $f$

Till exempel är uppsättningen funktioner som är kontinuerliga på, och är uppsättningen funktioner som är kontinuerligt differentierbara på , det vill säga funktioner som har en kontinuerlig derivata vid varje punkt i denna region. $C^{0}(\Omega)$ $\Omega$ $C^{1}(\Omega)$ $\Omega$

Om jämnhetsordningen inte är specificerad, antas det vanligtvis att det är tillräckligt för att alla operationer som utförs på funktionen under det aktuella argumentet är meningsfulla.

Approximation genom analytiska funktioner

Låta vara en region i och , . Låta vara en sekvens av kompakta delmängder så att , och . Låta vara en godtycklig sekvens av positiva heltal och . Slutligen, låt vara en godtycklig sekvens av positiva tal. Sedan finns det en realanalytisk funktion definierad i sådan att olikheten för alla $\Omega$ $\mathbb {R} ^{n}$ $f\in C^{k}(\Omega)$ $0\leqslant k\leqslant \infty$ $\{K_{p}\}$ $\Omega$ $K_{0}=\varnothing$ $K_{p}\subset K_{{p+1}}$ $\bigcup K_{p}=\Omega$ $\{n_{p}\}$ $m_{p}=\min(k,\;n_{p})$ $\{\varepsilon _{p}\}$ $g$ $\Omega$ $p\geqslant 0$

\|fg\|_{C^{m_{p}}({K_{p+1}\backslash K_{p}})}<\varepsilon _{p},

där betecknar maximum av normerna (i betydelsen enhetlig konvergens , det vill säga den maximala modulen på mängden ) av derivatorna av en funktion av alla ordningar från noll till inklusive. $\|fg\|_{C^{m_{p}}({K_{p+1}\backslash K_{p))))}$ ${K_{p+1}\backslash K_{p}}$ $fg$ ${m_{p))$

Bråkdel jämnhet

För en fin analys av klasser av differentierbara funktioner introduceras också begreppet bråkjämnhet vid en punkt eller Hölder-exponenten , vilket generaliserar alla ovanstående begrepp om jämnhet. Funktionen tillhör klassen , där är ett icke-negativt heltal och om den har derivator upp till ordningen inklusive och är Hölder med exponent . $f$ $C^{{r,\;\alpha }}$ $r$ $0<\alpha \leqslant 1$ $r$ $f^{{(r)}}$ $\alfa$

I den översatta litteraturen, tillsammans med termen "Hölder-exponent" , används termen "Lipschitz-exponent".

Smidig funktion

Grundläggande information

Approximation genom analytiska funktioner

Bråkdel jämnhet

Se även