Verklig analytisk funktion

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 10 juli 2022; kontroller kräver 3 redigeringar .

En verklig analytisk funktion är en verklig funktion som kan representeras i närheten av varje punkt av en potensserie . Ekvivalent definition: en verklig funktion som är lika med dess Taylor-serie i närheten av varje punkt i definitionsdomänen [1] .

Definition

Låt definieras vid en inre punkt i dess definitionsdomän . En funktion kallas analytisk vid en punkt om den i något område av denna punkt kan representeras av en potensserie med mitten vid denna punkt. Detta betyder att i någon omgivning av punkten representeras funktionen som $f\colon G\subset \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ $a\i G$ $f$ $a$ $a$ $f$

{\displaystyle f(x)=\summa _{n=0}^{\infty }b_{n}(xa)^{n))

[1] .

Denna definition kan generaliseras till fallet med en funktion av många variabler . Låt nu vara en funktion av flera variabler, vara en inre punkt i definitionsdomänen. En funktion kallas analytisk vid en punkt om den i någon omgivning till denna punkt kan representeras av en multipelpotensserie med centrum vid denna punkt, det vill säga den representeras som $f\colon G\subset \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R}$ $a\i G$ $f$ $a$

f(x_{1},\ldots ,x_{n})=\sum _{i_{1},\ldots ,i_{n}=0}^{\infty }b_{i_{1}, \ldots ,i_{n}}(x_{i_{1}}-a_{i_{1}})^{i_{1}}\ldots (x_{i_{n}}-a_{i_{n}} )^{i_{n}}

[2] .

En vektorfunktion kallas analytisk vid en punkt om alla dess komponenter är analytiska vid den punkten. [3] ${\displaystyle f\colon G\subset \mathbb {R} ^{n}\högerpil \mathbb {R} ^{m))$ $a\i G$

En funktion kallas analytisk på en öppen uppsättning om den är analytisk vid varje punkt i denna uppsättning. Uppsättningen av alla analytiska funktioner på en öppen uppsättning betecknas [4] . $f$ $G$ $G$ $C^{\omega }(G)$

En funktion kallas analytisk om den är analytisk på sin definitionsdomän. [3] $f$

Taylor-serien

Om en funktion av en variabel expanderas i närheten av en punkt i en potensserie , så har den vid denna tidpunkt derivator av alla ordningar och koefficienterna för denna serie beräknas med formeln: $a$ ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }b_{n}(xa)^{n))$

b_{n}={\frac {f^{(n)}(a)}{n!)}}

Alltså i närheten av punkten $a$

f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(a)}{n!)}}(xa)^{n}

[5]

På liknande sätt, för en funktion av många variabler vid analyspunkten , finns det blandade partiella derivator av alla ordningar och $a$

b_{i_{1},\ldots ,i_{n}}={\frac {1}{i_{1}!\ldots i_{n}!}}{\frac {\partial ^{i_{ 1}+\ldots +i_{n}}f(a)}{\partial x_{1}^{i_{1}}\ldots \partial x_{n}^{i_{n}}}}

Då i närheten av punkten $a$

f(x_{1},\ldots ,x_{n})=\sum _{i_{1},\ldots ,i_{n}=0}^{\infty }{\frac {1}{ i_{1}!\ldots i_{n}!}}{\frac {\partial ^{i_{1}+\ldots +i_{n}}f(a)}{\partial x_{1}^{i_ {1}}\ldots \partial x_{n}^{i_{n}}}}(x_{i_{1}}-a_{i_{1}})^{i_{1}}\ldots (x_{ i_{n}}-a_{i_{n}})^{i_{n}}

[6]

Dessa formler är trivialt härledda genom differentierande potensserier.

För att en potensserie med sådana koefficienter ska kunna definieras räcker det med att det finns derivator av alla ordningar vid en punkt. Detta innebär inte alls funktionens analyticitet: en sådan serie kanske inte sammanfaller med funktionen i någon grannskap av punkten eller i allmänhet konvergerar endast vid själva punkten . Denna serie, oavsett om den konvergerar någonstans till sin funktion, kallas Taylor-serien av funktionen vid en punkt . [7] Således innebär analyticitet existensen av en Taylor-serie, men analyticitet följer inte av existensen av en Taylor-serie. $a$ $f$ $a$

Den motsvarande definitionen av analyticitet är baserad på konceptet med en Taylor-serie:

En funktion kallas analytisk vid en inre punkt av definitionsdomänen om funktionen i något område av denna punkt sammanfaller med dess Taylor-serie. [ett]

f

a

Följande exempel visar funktioner som har en Taylor-serie vid en punkt, men som inte är analytiska på den:

$g(x)={\begin{cases}e^{-{\frac {1}{x^{2))))&x\neq 0;\\0&x=0.\end{cases))$

Det kan visas att denna funktion är oändligt differentierbar vid noll och att alla dess derivator är lika med noll. Taylor-serien på poäng har formen

0

{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }0\cdot x^{n))

. Taylor-serien konvergerar i närheten av punkten , men i ingen grannskap av den är den lika med funktionen [7] .

0

g(x)

${\displaystyle h(x)=\sum _{n=0}^{\infty }e^{-n}\cos {n^{2}x))$

Dess Taylor-serie vid punkten konvergerar endast vid punkten . Det konvergerar inte i någon omgivning av noll, och det är ingen mening att tala om jämlikheten i dess funktion. [åtta]

0

0

h(x)

Dessa exempel visar att existensen och till och med konvergensen av Taylor-serien i vissa områden inte är tillräckliga för att funktionen ska vara analytisk.

Egenskaper

Varje analytisk funktion är oändligt differentierbar , men inte varje oändligt differentierbar funktion är analytisk. Ovanstående exempel kan tjäna som exempel på oändligt differentierbara, men inte analytiska funktioner, eftersom i det endimensionella fallet förekomsten av Telor-serien är ekvivalent med oändlig differentierbarhet. Det finns med andra ord en strikt inkludering:

C^{\omega }(G)\subset C^{\infty }(G)

[7] .

Analyticitet för varje variabel för sig innebär inte analyticitet som helhet [9] . Detta faktum är en skillnad från det komplexa fallet, där, enligt Hartogs teorem , analyticitet med avseende på varje variabel separat innebär analyticitet som helhet.

Operationer på analytiska funktioner

Egenskaperna kan appliceras både på analyticitet vid en punkt och på analyticitet på en öppen uppsättning.

En linjär kombination av analytiska funktioner är analytisk.
Produkten av analytiska funktioner är analytisk.
Uppdelningen av analytiska funktioner kommer att vara analytisk på en öppen mängd om divisorn inte tar värdet någonstans i denna mängd . För analyticitet vid en punkt krävs att divisorn inte vänder sig till i någon omgivning av denna punkt. $0$ $0$
Sammansättningen av analytiska funktioner är analytisk. Detta förstås i följande betydelse: om det är analytiskt i , analytiskt i , så är det analytiskt i . För uppsättningar kan den formuleras enligt följande: om den är analytisk på uppsättningen , analytisk vid varje punkt av , så är den analytisk på . $g$ $a$ $f$ $g(a)$ $f\circ g$ $a$ $g$ $A$ $f$ $g(A)$ $f\circ g$ $A$
En derivata av valfri ordning för en analytisk funktion av en variabel är också analytisk. Partiella derivator av vilken ordning som helst av en analytisk funktion av många variabler är analytiska.
Antiderivatan av en analytisk funktion av en variabel är analytisk. För fallet med flera variabler kan man generalisera denna egenskap genom att betrakta antiderivatan med avseende på en av variablerna.
Den tidigare egenskapen kan formuleras i termer av integraler med en övre variabelgräns. Låt en funktion av en variabel vara analytisk på en öppen mängd , . $f$ $A$ $a\i A$

Sedan är det analytiskt på . För funktioner av flera variabler kan man återigen helt enkelt betrakta integralen över endast en av variablerna.

\int \limits _{a}^{x}f(t)\,dt

A

Taylorserier vid operationernas resultatpunkter kan erhållas genom att utföra motsvarande operationer på serier: multiplikation av potensserier, division, sammansättning, term-för-term differentiering och integration, och så vidare. Med några av dessa operationer kan seriens konvergensradier ändras [3] .

Analyticitet på uppsättningen

Om en funktion representeras på någon öppen mängd av en potensserie (oavsett vilken punkt den är centrerad vid), så är den analytisk vid varje punkt i denna mängd. [6] Men det fungerar inte tvärtom. Analyticitet på en mängd betyder inte alls att en funktion kan representeras av en enda potensserie på hela denna mängd, även om denna mängd kan vara en konvergensdomän för en potensserie eller ingå i en. Det betyder bara representabiliteten i något område av varje punkt, dessutom i olika rader. Standardexemplet är funktionen . Den är analytisk på hela tallinjen: i närheten av vilken punkt som helst kan denna funktion representeras som en potensserie centrerad vid den punkten. Vid ett tillfälle kommer detta att bli nästa: $f$ $f(x)={\frac {1}{1+x^{2}}}$ $0$

{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}x^{2n))

Konvergensintervallet för denna serie är . I detta intervall konvergerar serien till sin funktion. Serien divergerar dock vid punkterna och trots att funktionen också är analytisk vid dessa punkter. Ännu mer kan visas: ingen effektserie vid någon punkt kan representera denna funktion helt, bara i ett visst intervall. [tio] $(-1;1)$ $x>1$ $x<-1$

En funktionsanalytisk vid en punkt kanske inte sammanfaller med dess Taylor-serie över hela dess konvergensregion, utan bara i någon del (till exempel för styckvisa funktioner). Men om funktionen i någon underdomän av konvergensregionen i Taylor-serien vid en punkt är analytisk och denna underdomän innehåller punkten , kommer funktionen att sammanfalla med den specificerade serien i hela denna underdomän. [elva] $a$ $f(x)$ $a$ $a$

Inversa och implicita funktioner

För analytiska funktioner finns analoger till implicita och inversa funktionssatser.

Invers funktionssats . Letär analytisk vid en punktoch Jacobian vid denna punkt är inte lika med noll. Sedan, i något områdeav punkten, finns det en unik invers funktion, och den är analytisk i. [12] ${\displaystyle f\colon G\subset \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{n))$ $a\i G$ $U$ $a$ $f^{-1}\colon f(U)\rightarrow U$ $fa)$
Implicit funktionssats . Låt varaanalytisk vid punktenoch. Sedan definierar ekvationenen analytisk implicit funktioni något område av punkten. Detta betyder att för någon grannskap av en punktformen, därär en grannskap av en punkti, ochär en grannskap av en punkti, kan man unikt definiera en funktionså att, och den kommer att vara analytisk vid punkten. [12] ${\displaystyle F\colon G\subset \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{m}\rightarrow \mathbb {R} ^{m))$ $(a,b)\i G$ ${\bigg |}{\frac {\partial F}{\partial y}}(a){\bigg |}\neq 0$ $F(x,y)=F(a,b)$ $y = f(x)$ $(a,b)$ $(a,b)$ $U=U_{x}\ gånger U_{y}$ $U_x$ $a$ $\mathbb {R} ^{n}$ ${\displaystyle U_{y))$ $b$ $\mathbb{R} ^{m}$ ${\displaystyle f\colon U_{x}\rightarrow U_{y))$ $F(x,y)=F(a,b)\Leftrightarrow y=f(x)\ \forall (x,y)\in U$ $a$

Dessa satser tillåter oss att säga att under vissa förhållanden kommer den implicita funktionen och inversen av en analytisk funktion att vara analytisk. Med hjälp av teorem kan man bevisa analyticitet för redan hittade inversa och implicita funktioner, med hjälp av deras unika karaktär.

Analyticitet av den inversa funktionen . Låt bijektionen av domäner vara analytisk och dess jakobiska inte lika med noll någonstans - dess invers. Då är det analytiskt. Taylor-serien för den inversa funktionen kan beräknas med hjälp av serieinversionsformeln. ${\displaystyle f\colon G\subset \mathbb {R} ^{n}\rightarrow H\subset \mathbb {R} ^{n))$ ${\displaystyle f^{-1}\colon H\subset \mathbb {R} ^{n}\rightarrow G\subset \mathbb {R} ^{n))$ $f^{-1}$
Analyticitet av en implicit funktion . Låt vara en funktionsanalytisk i domänen och låt Jacobianen i alla punkter vara annorlunda än noll. är en implicit funktion som definieras i domänen och ges av en ekvation i betydelsen att . Då är det analytiskt. ${\displaystyle F\colon G\subset \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{m}\rightarrow \mathbb {R} ^{m))$ $G$ $y$ ${\displaystyle f\colon H\subset \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{m))$ $H$ $F(x,y)=0$ $F(x,y)=0\Leftrightarrow y=f(x)\ \forall (x,y)\in U$ $f$

Analytisk fortsättning

Låt en funktion definieras i en domän och var analytisk på den. Det kan hända att Taylor-seriens konvergensregion vid något tillfälle går utanför regionen . Då kan funktionen utökas till denna region med motsvarande värden i Taylor-serien. Det är möjligt att vid nya punkter kommer konvergensdomänen igen att gå utanför definitionsdomänen, och funktionen kan återigen fortsätta. En sådan procedur kallas analytisk fortsättning [1] . Mer formellt: $f$ $G$ $G$

Låt vara definierad i en domän och analytisk på den, definierad i en domän och analytisk på den, och på . Då säger vi att det är en analytisk fortsättning på .

f

F

g

G

G\delmängd F

f=g

G

f

g

För varje funktionsanalys i domänen finns en maximal analytisk fortsättning. Alla andra analytiska tillägg erhålls genom att begränsa maximum till deras definitionsdomän, och maximum är föreningen av alla analytiska tillägg. [13] Således kan olika analytiska fortsättningar inte ge olika värden vid en punkt, oavsett genom vilka regioner vi fortsätter dem. Detta skiljer sig fundamentalt från analytisk fortsättning i komplex analys, som kan ge olika värden när analytisk fortsättning längs olika vägar, varför sådana konstruktioner som flervärdiga analytiska funktioner uppstår.

Med hjälp av analytisk fortsättning kan man återställa hela funktionen från dess värden över ett visst intervall, även om dess Taylor-serie inte konvergerar överallt. Men funktionen kan till exempel inte återställas på detta sätt. Att känna till värdena vid ett visst intervall inuti det kan endast återställas upp till hela intervallet , men inte längre. Värden vid olika intervall av definitionsdomänen är inte relaterade. För att återställa funktionen helt, är det nödvändigt att gå ut till det komplexa planet. Den verkliga analytiska fortsättningen kan inte återställa många funktioner som den komplexa kan återställa. ${\displaystyle {\frac {1}{1+x^{2))))$ ${\displaystyle {\frac {1}{1-x^{2))))$ $(-1;1)$ $(-1;1)$

Forskning om analyticitet

Ett sätt att bevisa den verkliga analyticiteten hos en funktion är att övergå till den komplexa domänen. Testet av analyticitet för funktioner av en komplex variabel är mycket enklare och reducerar till att undersöka funktionen för differentiabilitet.

En verklig funktion är analytisk på en öppen mängd om och bara om dess återstående term i Taylor-formeln tenderar till noll på hela denna mängd. [14] Genom att representera denna term i Cauchy-formen eller någon annan form, kan man undersöka den för konvergens till noll och få ett svar om funktionens analyticitet.

Följande analyticitetskriterium härleds från den tidigare metoden:

Låt derivatorna av alla ordningar av en funktion av en variabel i en öppen mängd vara avgränsade i aggregering, det vill säga det finns så att

f

M>0

|f^{(n)}(x)|\leq M

, och beror inte på ordningen på derivatan eller på punkten . Då är funktionen analytisk på denna uppsättning [15] .

M

x

Genom att något försvaga detta tillstånd kan man erhålla analyticitetskriteriet . Analyticitetskriteriet är formulerat för analyticitet vid en punkt.

Låt för en punkt det finns ett intervall , på vilket funktionen av en variabel definieras och , och det finns också tal och sådant som

a

J

f

a\in J

C>0

R>0

{\displaystyle |f^{(n)}(x)|\leq C\cdot {\frac {n!}{R^{n))))

. Då är funktionen analytisk i [13] .

a

Både tecknet och kriteriet är generaliserade till fallet med funktioner av flera variabler. Tecknet är formulerat enligt följande.

Låt alla partiella derivator på en öppen mängd vara avgränsade i aggregering, det vill säga det finns så att

f

M>0

\left|{\frac {\partial ^{i_{1}+\ldots +i_{n}}f(x)}{\partial x_{1}^{i_{1}}\ldots \partial x_{n}^{i_{n}}}}\right|\leq M

. Då är funktionen på denna uppsättning analytisk.

Kriteriet ser då ut så här.

Låt det finnas en grannskap för punkten där funktionen är definierad, och det finns även siffror och så

a

J

f

C>0

R>0

\left|{\frac {\partial ^{i_{1}+\ldots +i_{n}}f(x)}{\partial x_{1}^{i_{1}}\ldots \partial x_{n}^{i_{n))))\right|\leq C\cdot {\frac {{(i_{1}+\ldots +i_{n})}!}{R^{i_{1 }+\ldots +i_{n}}}}

. Då är funktionen analytisk i [16] .

a

Exempel

Vilken polynomfunktion som helst .
Vilken rationell funktion som helst på dess definitionsdomän.
Exponentialfunktionen , . $f(x)=a^{x}$ $a>0$
Aritmetiska rötter är analytiska överallt på sin definitionsdomän, förutom noll. Således är rötter av jämn grad analytiska på , och rötter av udda grad är analytiska på och . $(0;+\infty )$ $(-\infty ;0)$ $(0;+\infty )$
Trigonometriska och hyperboliska funktioner .
Inversa trigonometriska och hyperboliska funktioner vid interna punkter i deras definitionsdomän.

Se även

smidig funktion

Anteckningar

↑ 1 2 3 4 Arkhipov, 1999 , sid. 392.
↑ Steven, 2002 , sid. 29.
↑ 1 2 3 encyclopedia of math real .
↑ Steven, 2002 , sid. 3.
↑ Steven, 2002 , sid. tio.
↑ 12 Steven , 2002 , sid. trettio.
↑ 1 2 3 Kudryavtsev, 2004 , sid. 116.
↑ Gelbaum, Olmstead, 1967 , sid. 91.
↑ Steven, 2002 , sid. 105.
↑ Shabbat, 1967 , sid. 7.
↑ Steven, 2002 , sid. fjorton.
↑ 12 Steven , 2002 , sid. 47.
↑ 12 Steven , 2002 , sid. femton.
↑ Kudryavtsev, 2004 , sid. 118.
↑ Kudryavtsev, 2004 , sid. 120.
↑ Steven, 2002 , sid. 34.

Litteratur

Verklig analytisk funktion . Encyclopedia of Math . Hämtad: 26 januari 2022. (obestämd)
Arkhipov G.I. , Sadovnichiy V.A. , Chubarikov V.N. Föreläsningar om matematisk analys / Ed. V. A. Sadovnichy. - 1:a uppl. - M . : Higher School , 1999. - 695 sid. - ISBN 5-06-003596-4 .
Kudryavtsev L. D. Kurs i matematisk analys. I 3 volymer. Volym 2 . - M . : Bustard, 2004. - 720 sid. (ryska)
Gelbaum B., Olmsted J. Motexempel i analys. — M .: Mir , 1967 . — 251 sid.
Shabat BV Introduktion till komplex analys. — M .: Nauka , 1969 . — 577 sid.
Krantz, Steven; Parks, Harold R.En primer av verkliga analytiska funktioner (odefinierad) . — 2:a. — Birkhauser, 2002. - ISBN 0-8176-4264-1 .