Analys av funktioner för många variabler

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 19 mars 2017; verifiering kräver 1 redigering .

Multivariatanalys (även känd som multivariat eller multivariatkalkyl) är en generalisering av differential- och integralkalkyl för fallet med flera variabler .

Typiska operationer

Begränsningar och kontinuitet

Studiet av gränser och kontinuitet i flerdimensionella utrymmen leder till många ologiska och patologiska resultat som inte är karakteristiska för funktioner hos en variabel. Till exempel finns det skalära funktioner för två variabler som har punkter i domänen , som, när de närmar sig längs en godtycklig rät linje, ger en specifik gräns, och ger en annan gräns när de närmas längs en parabel . Fungera

f(x,y) = \frac{x^2y}{x^4+y^2}

tenderar till noll längs vilken rät linje som helst som går genom origo. Men när man närmar sig ursprunget längs en parabel är gränsen 0,5. Eftersom gränserna för olika banor inte sammanfaller finns det ingen gräns. $y=x^2$

Funktionen har ett nummer A som gräns när variablerna tenderar att , respektive , om det för varje tal finns ett sådant tal som , det vill säga . $f(x_{1},\ldots ,x_{n})$ $x_{1},\ldots ,x_{n}$ ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n))$ $\varepsilon >0$ $\delta>0$ $|f(x_{1},\ldots,x_{n})-A)|<\varepsilon$ $|x_{1}-a_{1}|<\delta ,\ldots ,|x_{n}-a_{n}|<\delta$

En funktion kallas kontinuerlig vid en punkt om gränsvärdet för denna funktion vid punkten finns och är lika med ett visst värde . $u=f(M)$ $A$ $A$ $fa)$

En funktion kallas kontinuerlig på en uppsättning om den är kontinuerlig vid varje punkt i denna uppsättning. $u=f(M)$ ${M}$

Hitta den partiella derivatan

Begreppet en partiell derivata uppstår oundvikligen när man försöker differentiera flerdimensionella funktioner och är i geometrisk mening en derivata av sin del, på planet som skär varandra vid definitionspunkten, vilket, i fallet med att betrakta ett kartesiskt rektangulärt koordinatsystem, är parallellt med planet (O, , f), där O är skärningspunkten för koordinataxlarna; är ett partiellt argument för differentieringspunkten; f är ordinatan för punkten. Den betraktade derivatan av den n-dimensionella funktionen kommer att betecknas som , vilket är dess differentiering med avseende på ett av argumenten: $x_k$ $x_k$ ${\displaystyle {\frac {\partial f(x_{1}~...~x_{k}~...~x_{n})}{\partial x_{k))))$

$\frac{\partial f(x_1 ~...~ x_k ~... ~x_n)}{\partial x_k}=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x_1 ~...~x_k +\Delta x_k~... ~x_n)-f(x_1 ~... ~x_k ~... ~x_n)}{\Delta x_k},$

var är ett specifikt argument; och symbolen är en modifierad notation och används inte separat. $x_k$ $\partiell$ $d_x$

Partiella derivator kan kombineras på intressanta sätt för att skapa mer komplexa derivatuttryck. I vektorkalkyl används nabla-operatorn ( ) för att definiera begreppen gradient , divergens och curl i termer av partiella derivator. Matrisen av partiella derivator - Jacobi-matrisen - kan användas för att representera derivatan av en funktion (mappning) mellan två rum med godtycklig dimension. Således kan derivatan representeras som en linjär transformation som ändras beroende på punkten från funktionens domän. $\nabla$

Differentialekvationer som innehåller partiella derivator kallas partiella differentialekvationer eller (D)PDE. Dessa ekvationer tenderar att vara svårare att lösa än konventionella differentialekvationer, som innehåller derivator med avseende på endast en variabel.

Multipel integration

En integral kallas en multipelintegral om . I fallet kallas det dubbelt, i fallet - trippelintegral, och i fallet med godtyckligt - n-faldigt. Det är också betecknat . Med en sådan notation ska symbolen förstås som en punkt i rymden , symbolen är produkten och tecknet är den n-faldiga integralen över den n-dimensionella domänen . ${\displaystyle \underbrace {\int {\cdots }\int } _{X}f(x_{1},\ldots ,x_{n})dx_{1}\ldots dx_{n))$ $n>1$ $n=2$ $n=3$ $n\i N$ $\int \limits _{X}f(x)dx$ $x$ $x=(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})$ ${\displaystyle E^{n))$ $dx$ ${\displaystyle dx=dx_{1}dx_{2}\ldots dx_{n))$ $\int \limits _{D}$ $D$

Multipelintegralen utökar begreppet en integral till funktioner av många variabler. Dubbla integraler kan användas för att beräkna volymerna av regioner i rymden. Tonelli-Fubini-satsen garanterar att en multipelintegral kan utvärderas som en itererad integral.

Ytantegralen och den kurvlinjära integralen används för att integrera över grenrör såsom ytor och kurvor .

Grundläggande teorem i analysen av funktioner för flera variabler

I den matematiska analysen av funktioner för en variabel etablerar grundsatsen ett samband mellan derivatan och integralen. Kopplingen mellan derivatan och integralen i analysen av funktioner för många variabler är förkroppsligad i de välkända integrationssatserna för vektoranalys :

En mer djupgående studie av multivariat matematisk analys visar att dessa fyra satser är specialfall av en mer allmän sats, Stokes sats om integration av differentialformer .

Applikation

Metoder för multidimensionell matematisk analys används för att studera många objekt i den fysiska världen.

	Område	Tillämpliga metoder
Kurvor	$f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}^n$	Kurvlängder, kurvlinjära integraler och krökning .
ytor	$f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^n$	Ytareor , ytintegraler , flöde genom ytor och krökning.
Skalära fält	$f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$	Toppar och dalar, Lagrange-multiplikatorer , riktningsderivata .
Vektorfält	$f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}$	Alla vektoranalysoperationer , inklusive gradient , divergens och curl .

Multivariat matematisk analys kan tillämpas på analys av deterministiska system som har många frihetsgrader . Funktioner med oberoende variabler som motsvarar var och en av frihetsgraderna används ofta för att modellera dessa system, och multivariat matematisk analys ger ett sätt att karakterisera systemdynamik .

Multivariat kalkyl används inom många områden av naturvetenskap, sociologi och ingenjörsvetenskap för att modellera och studera högdimensionella system som uppvisar deterministiskt beteende. Icke-deterministiska eller stokastiska (slumpmässiga) system kan studeras med en annan typ av matematik, såsom stokastisk kalkyl.

Se även

Litteratur

Fikhtengolts, G. M. Kapitel fem. Funktioner hos flera variabler // Förlopp för differential- och integralkalkyl. - T. 1.
Ilyin, V. A., Poznyak, E. G. Kapitel 14. Funktioner av flera variabler // Fundamentals of Mathematical Analysis. - V. 1. - (Kurs i högre matematik och matematisk fysik).
Ilyin, V. A., Poznyak, E. G. Kapitel 2. Dubbla och n-faldiga integraler // Fundamentals of Mathematical Analysis. - V. 2. - (Kurs i högre matematik och matematisk fysik).
Kudryavtsev, L. D. Kapitel 4, 5. Differentialkalkyl av funktioner för flera variabler. Integralräkning av funktioner för flera variabler // Kort kurs i matematisk analys. - T. 2.
Vygodsky M.Ya. Differentiering och integration av funktioner av flera argument // Handbok i högre matematik.