Skalärt fält

Ett skalärt fält (skalär funktion) på något ändligt dimensionellt utrymme är en funktion som associerar varje punkt från någon region i detta utrymme (domän) med ett skalärt , det vill säga ett reellt eller komplext tal . Med en fast rymdbas kan ett skalärt fält representeras som en funktion av flera variabler som är koordinaterna för en punkt. $V$

Skillnaden mellan en numerisk funktion av flera variabler och ett skalärt fält är att i en annan bas ändras det skalära fältet som en funktion av koordinater så att om den nya uppsättningen argument representerar samma punkt i rymden i den nya basen, då värdet på den skalära funktionen ändras inte.

Till exempel, om i någon ortonormal bas av ett tvådimensionellt vektorrum en skalär funktion har formen då i en annan bas roteras med 45 grader till denna, kommer samma funktion i nya koordinater att ha formen . $f(v)=x^{2}+2y^{2},$ $f(v)=3x'^{2}+3y'^{2}-2x'y'$

Oftast anses skalära funktioner som är kontinuerliga eller differentierbara (släta) tillräckligt många gånger (det vill säga funktionen måste tillhöra ). ${\displaystyle \mathbb {C} ^{m))$

Tillämpningar inkluderar främst:

Funktion av tre variabler: (skalärt fält på (i) tredimensionellt utrymme, ibland kallat [1] utrymmesfält). $u=u({\mathbf {r}})=u(x,y,z)$
Funktion av två variabler: (ett skalärt fält på (i) tvådimensionellt utrymme, ibland kallat [1] ett platt fält). $u=u({\mathbf {r}})=u(x,y)$

Exempel

Exempel på skalära fält i 3D-rymden:

temperatur (det är underförstått att det i allmänhet är olika på olika punkter i rymden);
elektrostatisk potential ;
potential i Newtons gravitationsteori ;
tryckfält i ett flytande medium.

Exempel på platta (tvådimensionella) skalära fält:

havets djup, markerat på något sätt på en platt karta;
laddningstäthet på en plan ledaryta.

Vanligtvis förstås ett skalärt fält som ett fält som är invariant under koordinattransformationer (ibland och ofta - under en viss klass av koordinattransformationer, till exempel under volymbevarande transformationer, ortogonala transformationer, etc.; men inte mindre sällan är det betydde invariansen av ett skalärt fält under godtyckliga transformationer av koordinater, begränsade kanske bara av jämnhet). (Se skalär ).

I denna mening är inte alla verkliga funktioner av koordinater ett skalärt fält. Det enklaste exemplet: i denna mening är en av koordinatkomponenterna i vektorfältet inte ett skalärt fält , eftersom när du ändrar valet av koordinater (till exempel när du roterar koordinataxlarna), kommer den inte att förbli oförändrad (det vill säga, det är inte en invariant av koordinattransformationer).

Skalära fält i fysik

Inom fysik och många andra tillämpningar beror området generellt sett också på tid [2] :

u=u(x,y,z,t)

medan operationer på fältet (som gradient ) fortfarande används 3-dimensionellt, det vill säga trots tillägget av ytterligare en oberoende variabel, betraktas fältet i huvudsak som ett fält i ett utrymme med dimension 3 och inte 4. Samma överväganden gäller fall då fältet, förutom de rumsliga koordinaterna, är beroende av några andra parametrar: dessa parametrar kan uttryckligen anges i det funktionella beroendet, vilket dock inte ändrar dimensionen av huvudrummet där fältet betraktas. .

I modern teoretisk fysik är det vanligt att uttryckligen betrakta tid som en koordinat som formellt är lika med tre rumsliga [3] , och helheten av rum och tid betraktas uttryckligen som ett enda fyrdimensionellt rum (kallat rum-tid ). På tal om ett skalärt fält i modern teoretisk fysik, menar de som standard ett fält på ett fyrdimensionellt utrymme eller mångfald , det vill säga en funktion som är beroende av fyra formellt lika koordinater:

u=u(x_{i})=u(x_{0},x_{1},x_{2},x_{3})

(en av dessa fyra koordinater är lika med eller proportionell mot tiden); Dessutom, i detta fall, om termen skalärt fält används , antyds det också att det är Lorentz invariant . Alla fältoperationer (som gradient) används i sin 4D-form. $x_{i}$ $u$

I modern teoretisk fysik förstås ett skalärfält vanligtvis (när det gäller fundamentala fält) som ett fundamentalt fält av en Minkowski -rymdskalär ( ett Lorentz-invariant fält) eller ett fält som är invariant under allmänna koordinattransformationer (vanligtvis den första och andra praktiskt taget sammanfaller).

Praktiska synonymer för termen skalärt fält i denna mening är termerna fältspin noll , spinnnollpartikel , skalärpartikel (de senare, som ändå något utspäder dessa nära begrepp, kallas även excitationer av ett skalärt fält).

Den enda experimentellt upptäckta skalära partikeln är Higgs-bosonen .

Skalära fält spelar en viktig roll i teoretiska konstruktioner. Deras närvaro (tillsammans med vektor- och tensorfält förstås i samma mening och observeras i verkligheten) är nödvändig för fullständigheten av klassificeringen av grundläggande fält.

I nya fysikaliska teorier (som till exempel strängteori ) behandlar de ofta utrymmen och mångfalder av olika dimensioner, inklusive ganska höga (mer än fyra), och fält, inklusive skalära fält, på sådana utrymmen.

Jämn yta

Ett skalärt fält kan representeras grafiskt med hjälp av plana ytor (även kallade isoytor).

Den plana ytan av ett skalärt fält är den uppsättning punkter i rymden där funktionen u tar samma värde c , det vill säga att nivåytan bestäms av ekvationen . Bilden av en uppsättning plana ytor för olika ger en visuell representation av det specifika skalära fältet för vilket de är konstruerade (avbildade) [4] , dessutom ger representationen av plana ytor ett visst extra geometriskt verktyg för att arbeta med en skalärt fält som kan användas för beräkningar, bevissatser etc. Exempel: ekvipotentialyta . $u=u(x,y,z)$ $u(x,y,z)=c$ $c$

För ett fält på ett tvådimensionellt utrymme är analogen av den plana ytan nivålinjen . Exempel: isobath , isoterm , isohypse (linje med lika höjder) på en geografisk karta och andra isoliner .

Plana ytor för ett skalärt fält på ett utrymme med högre dimension är hyperytor med en dimension en mindre än utrymmets.

Gradient

Riktningen för fältets snabbaste ökning indikeras av gradientvektorn , betecknad på standardsättet: $u=u({\mathbf {r}})=u(x,y,z)$

{\mathbf {grad}}\ u

eller annan notation:

\nabla u

med komponenter:

\left({\frac {\partial u}{\partial x)),\ {\frac {\partial u}{\partial y)),\ {\frac {\partial u}{\partial z))\ höger)

Här är en formel för det tredimensionella fallet, det kan generaliseras till andra dimensioner direkt och trivialt.

Om koordinaterna inte är kartesiska (basen är inte ortonormal) är det viktigt att notera att ovanstående gradientkomponenter är kovarianta, det vill säga gradienten för ett skalärt fält är ett kovektorfält. För ortonomiska baser är detta inte nödvändigt, eftersom för dem kan begreppen vektor och kovektor betraktas som samma, såväl som kovarianta och kontravarianta koordinater.

Det absoluta värdet av gradientvektorn u är derivatan av u i riktningen för snabbast tillväxt (tillväxthastigheten för u när du rör dig med enhetshastighet i denna riktning).

Gradienten är alltid vinkelrät mot de plana ytorna (i 2D-fallet, mot nivålinjerna). Undantaget är fältets singulära punkter, där gradienten är lika med noll.

Anteckningar

↑ 1 2 Flatfield - Meteorologisk ordbok . Tillträdesdatum: 17 maj 2012. Arkiverad från originalet 15 februari 2014. (obestämd)
↑ För att undvika förvirring i det här avsnittet kommer vi bara att prata om fältet på tredimensionellt rum.
↑ Det finns ganska allvarliga skäl till detta, som kokar ner till att det inom fysiken inte bara är möjligt att göra formella transformationer (de så kallade Lorentz-transformationerna , som kan karakteriseras som rum-tidsrotationer), att blanda rumsliga koordinater med tid, men det visar sig att inga fysiska experiment och observationer, så vitt vi vet idag, inte kan avslöja skillnaderna mellan fysikens ekvationer skrivna i det ena eller det andra av de två rum-tid-koordinatsystemen roterade så relativt varandra.
↑ "Bilden" av sådana ytor är naturligtvis generellt tredimensionell (ytorna i sig är tvådimensionella, men generellt sett inte plana och ligger i tredimensionellt utrymme), men det kan i enkla fall vara lätt föreställt[ vad? ] , samt på något sätt bygga en eller flera 2D-projektioner eller sektioner av en sådan 3D-bild.

Litteratur

Borisenko AI, Tarapov IE Vektoranalys och principer för tensorkalkyl. (ej tillgänglig länk) 3:e uppl. Moskva: Högre skola, 1966.
Goldfain IA Vektoranalys och fältteori. Moskva: Nauka, 1968.
Kochin N. E. Vektorkalkyl och början av tensorkalkyl. 9:e uppl. Moskva: Nauka, 1965.

Ordböcker och uppslagsverk	Stor katalanska Stor ryss
I bibliografiska kataloger	GND : 4181618-3 J9U : 987007558470805171