Lorentz förvandlingar

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 28 oktober 2021; kontroller kräver 2 redigeringar .

Lorentz - transformationer är linjära (eller affina) transformationer av en vektor (respektive affin) pseudo-euklidiskt utrymme som bevarar längder eller, ekvivalent, skalärprodukten av vektorer.

Lorentz-transformationer av det pseudo-euklidiska signaturutrymmet används i stor utsträckning inom fysiken, i synnerhet i den speciella relativitetsteorin (SRT) , där det fyrdimensionella rum-tidskontinuumet ( Minkowski-rymden ) fungerar som ett affint pseudo-euklidiskt rum . $(n-1,\;1)$

Lorentz transformationer i matematik

Lorentz-transformationen är en naturlig generalisering av konceptet med en ortogonal transformation (det vill säga en transformation som bevarar skalärprodukten av vektorer) från euklidiska till pseudo- euklidiska rum. Skillnaden mellan dem är att den skalära produkten inte antas vara positiv bestämd, utan teckenalternerande och icke-degenererad (den så kallade obestämda skalära produkten).

Definition

Lorentz-transformationen ( Lorentz-transformationen ) av ett pseudo-euklidiskt vektorrum är en linjär transformation som bevarar den obestämda skalära produkten av vektorer. Detta betyder att för två godtyckliga vektorer är likheten $L$ $A\kolon L\till L$ $x,\;y\i L$

\langle A(x),\;A(y)\rangle =\langle x,\;y\rangle ,

där triangulära parenteser betecknar den obestämda skalära produkten i pseudo-euklidiskt utrymme . $\langle x,\;y\rangle$ $L$

På liknande sätt är Lorentz-transformationen ( Lorentz-transformation ) av ett pseudo-euklidiskt affint utrymme en affin transformation som bevarar avståndet mellan punkter i det utrymmet (detta avstånd definieras som längden på vektorn som förbinder de givna punkterna med en obestämd punktprodukt) .

Allmänna egenskaper

Eftersom varje affin transformation är en sammansättning av en parallell translation (som uppenbarligen bevarar avståndet mellan punkter) och en transformation som har en fixpunkt, erhålls Lorentz-transformationsgruppen för ett affint rum (Poincaré-gruppen) från Lorentz- transformationsgruppen av en vektorrum ( Lorentz group ) av samma dimension genom att lägga till alla möjliga parallella överföringar till det.
Om någon grund väljs i ett pseudo-euklidiskt vektorrum , så definieras Gram-matrisen för den obestämda skalära produkten . Då uppfyller Lorentz-transformationsmatrisen relationen $L$ $e_{1},\;\ldots ,\;e_{n}$ $\langle x,\;y\rangle$ $G$ $A$

A^{T}\,G\,A=G,\qquad (*)

Omvänt är varje matris som uppfyller relationen en Lorentz-transformationsmatris. Det är alltid möjligt att välja underlag på ett sådant sätt att den obestämda skalära produkten har formen $A$ $(*)$ $e_{1},\;\ldots ,\;e_{n}$

\langle x,\;y\rangle =x_{1}y_{1}+\ldots +x_{k}y_{k}-x_{{k+1}}y_{{k+1}}-\ldots -x_{n}y_{n},

och i likhet är matrisen diagonal med element (första ) och (sista ). $(*)$ $G$ $ett$ $k$ $-ett$ $nk$

Av relationen följer att, liksom i fallet med en ortogonal transformation, determinanten eller . $(*)$ $|A|=+1$ $|A|=-1$
Om ett delrum är invariant under Lorentz-transformationen är dess ortogonala (i betydelsen av den givna obestämda skalära produkten) komplement också invariant under transformationen , och . Men till skillnad från de ortogonala transformationerna av euklidiska utrymmen, gäller inte jämlikheten , där symbolen betyder den direkta summan av delrum, generellt sett (båda delrymden och kan innehålla samma icke-noll isotropa vektorer , det vill säga eftersom vilken isotrop vektor som helst är ortogonal mot sig själv ) [1] . $L_{1}\subset L$ $A\kolon L\till L$ $L_{1}^{\perp }$ $A$ $\dim L_{1}+\dim L_{1}^{\perp }=\dim L$ $L_{1}\oplus L_{1}^{\perp }=L$ $\ plus$ $L_{1}$ $L_{1}^{\perp }$ $L_{1}\cap L_{1}^{\perp }\neq 0$

Egenskaper i signaturutrymmen (n-1, 1)

Det följer av jämlikhet att Lorentz-transformationen översätter ljuskäglan till sig själv, och även översätter dess utseende till sig själv (i SRT - regionen av absolut avlägsna ). Men i det här fallet kan ljuskonens två komponenter, åtskilda av dess vertex (i SRT, de begränsar framtidens kon och det förflutnas kon ), antingen passera in i sig själva eller byta plats med varandra. $\langle A(x),\;A(x)\rangle =\langle x,\;x\rangle$
Baserat på huruvida en given Lorentz-transformation omarrangerar delar av ljuskäglan, eller lämnar dem på plats, såväl som tecknet för determinanten , kan Lorentz-gruppen delas in i 4 delar, som är dess väg-anslutna komponenter (men bara en av dem är en undergrupp). Detta faktum (närvaron av fyra sammankopplade komponenter) tolkas ofta som närvaron av fyra orienteringar av det pseudo-euklidiska rummet (i motsats till det euklidiska rummet, där det bara finns två orienteringar) [1] . $A$ $|A|=\pm 1$

Explicit form av transformationer av det pseudo-euklidiska planet

Lorentz-transformationer av det pseudo-euklidiska planet kan skrivas i den enklaste formen, med en bas bestående av två isotropa vektorer : $t.ex$

\langle e,\;e\rangle =0,\quad \langle g,\;g\rangle =0,\quad \langle e,\;g\rangle =1/2.

Nämligen, beroende på determinantens tecken , har transformationsmatrisen på denna grund formen: $|A|=\pm 1$

A={\begin{pmatrix}a&\ \ \,0\\0&\,1/a\end{pmatrix}}\ \Leftrightarrow \ |A|=+1,\qquad A={\begin{pmatrix}0& \ a\\1/a&\,0\end{pmatrix}}\ \Leftrightarrow \ |A|=-1,\qquad a\neq 0.

Tecknet för siffran avgör om transformationen lämnar delar av ljuskäglan på plats eller byter ut dem . $a$ $A$ $(a>0)$ $(a<0)$

En annan ofta förekommande form av Lorentz-transformationsmatriserna för det pseudo-euklidiska planet erhålls genom att välja en bas bestående av vektorerna och : $e'=e+g$ $g'=eg$

\langle e',\;e'\rangle =+1,\quad \langle g',\;g'\rangle =-1,\quad \langle e',\;g'\rangle =0.

I grunden har transformationsmatrisen en av fyra former: $e',\;g'$ $A$

{\begin{pmatrix}\ \operatörsnamn {ch}\varphi &\ \ \\operatörsnamn {sh}\varphi \\\,\operatörsnamn {sh}\varphi &\ \operatörsnamn {ch}\varphi \end{pmatrix}} ,\quad {\begin{pmatrix}\ -\operatörsnamn {ch}\varphi &\,\ -\operatörsnamn {sh}\varphi \\\,-\operatörsnamn {sh}\varphi &\,-\operatörsnamn {ch }\varphi \end{pmatrix}},\quad {\begin{pmatrix}-\operatörsnamn {ch}\varphi &\,-\operatörsnamn {sh}\varphi \\\,\operatörsnamn {sh}\varphi &\ \operatörsnamn {ch}\varphi \end{pmatrix}},\quad {\begin{pmatrix}\ \operatörsnamn {ch}\varphi &\ \,\operatörsnamn {sh}\varphi \\\,-\operatörsnamn {sh }\varphi &\,-\operatörsnamn {ch}\varphi \end{pmatrix}},\qquad (0)

där och är hyperbolisk sinus och cosinus, och är hastigheten . $\operatörsnamn {sh}$ $\operatörsnamn {ch}$ $\varphi$

Explicit form av signaturrumstransformationer (n-1, 1)

Lorentz-transformationer av -dimensionellt pseudo-euklidiskt rum med skalär produkt $n$ $L$

\langle x,\;y\rangle =x_{1}y_{1}+\ldots +x_{{n-1}}y_{{n-1}}-x_{n}y_{n}\quad ( ett)

beskrivs av följande teorem.

Sats 1. För alla Lorentz-transformationer finns det invarianta delrum och sådana att begränsningen av skalärprodukten (1) till var och en av dem är icke-degenererad och det finns en ortogonal nedbrytning $A\kolon L\till L$ $L_{0}\subset L$ $L_{1}\subset L$

L=L_{0}\oplus L_{1},\quad L_{0}\perp L_{1},

där delrummet med skalär produkt (1) är euklidiskt och . [ett] $L_0$ $\dim L_{1}\leqslant 3$

Sats 1 säger att varje Lorentzisk transformation av ett pseudo-euklidiskt signaturrum ges av en Lorentzisk transformation av ett pseudo-euklidiskt rum av dimension 1 eller 2 eller 3 och en ortogonal transformation av ett extradimensionellt euklidiskt rum. $L$ $(n-1,\;1)$ $L_{1}\subset L$ $L_{0}\subset L$

Lemma. Om , då det invarianta pseudo-euklidiska underrummet , i sin tur, kan representeras som en direkt summa $\dim L_{1}=3$ $L_{1}$

L_{1}=M_{1}\oplus M_{2}\oplus M_{3}

eller

L_{1}=M_{1}\oplus M_{2}

delrum , som är parvis ortogonala och invarianta under transformationen , förutom ett enda fall då transformationen har ett unikt egenvärde på multiplicitet 3 och den enda egenvektorn är isotrop: . I det här unika fallet bryts inte det invarianta delrummet ner till en direkt summa av några delrum som är invarianta under transformationen , utan är ett tredimensionellt rotunderrum till denna transformation [1] . $M_{i}\subset L_{1}$ $A$ $A\kolon L_{1}\till L_{1}$ $\lambda=\pm1$ $e\in L_{1}$ $\langle e,\;e\rangle =0$ $L_{1}$ $A\kolon L_{1}\till L_{1}$

Sats 1 tillsammans med lemma tillåter oss att fastställa följande resultat:

Sats 2. För varje Lorentz-transformation finns det en sådan ortonormal (med avseende på den obestämda skalära produkten (1)) bas : $A\kolon L\till L$ $e_{1},\;\ldots ,\;e_{n}$

\langle e_{1},\;e_{1}\rangle =\ldots =\langle e_{{n-1}},\;e_{{n-1}}\rangle =+1,\quad \langle e_{n},\;e_{n}\rangle =-1,\quad \langle e_{i},\;e_{j}\rangle =0\;(\forall i\neq j),

där matrisen har en blockdiagonal form med block av följande typer: $A$

beställning 1 med element , $\pm 1$
ordning 2 är rotationsmatrisen för det euklidiska planet genom vinkeln , $\varphi$
ordning 2 är Lorentz-transformationsmatrisen för det pseudo-euklidiska planet av formen , $(0)$
av ordning 3 är Lorentz-transformationsmatrisen för ett tredimensionellt pseudo-euklidiskt rum med ett trippelt egenvärde och en enda isotrop egenvektor. $\lambda=\pm1$

I detta fall kan matrisen inte innehålla mer än ett block som tillhör de två sista typerna [1] . $A$

Dessutom gäller följande representation av Lorentz-transformationer av ett dimensionellt pseudo-euklidiskt rum med inre produkt . $n$ $L$ $(ett)$

Sats 3. Varje Lorentz-transformation av ett rum med en inre produkt kan representeras som en sammansättning av följande linjära transformationer: $A\kolon L\till L$ $L$ $(ett)$

ortogonal transformation av det euklidiska underrummet givet av ekvationen , med koordinater , $x_{n}=0$ $(x_{1},\;\ldots ,\;x_{{n-1}})$
Lorentz-transformation av det pseudo-euklidiska planet med koordinater med några , $(x_{i},\;x_{n})$ $i<n$
reflektioner av formen , [2] . $x_{i}\mapsto \pm x_{i}$ $i\i \{1,\;\ldots ,\;n\}$

Lorentz transformationer i fysik

Lorentz-transformationer inom fysiken, i synnerhet i den speciella relativitetsteorin (SRT) , är de transformationer som rum-tidskoordinaterna för varje händelse genomgår när de flyttas från en tröghetsreferensram (ISR) till en annan. På liknande sätt utsätts koordinaterna för vilken 4-vektor som helst för Lorentz-transformationer i en sådan övergång . $(x,\;y,\;z,\;t)$

För att tydligt särskilja Lorentztransformationer med förskjutningar av ursprung och utan förskjutningar talar man vid behov om inhomogena och homogena Lorentztransformationer.

Lorentz-transformationer av ett vektorrum (det vill säga utan förskjutningar av ursprung) bildar Lorentz-gruppen , och Lorentz-transformationer av ett affint utrymme (det vill säga med förskjutningar ) bildar Poincaré-gruppen , annars kallad den inhomogena Lorentz-gruppen .

Ur en matematisk synvinkel är Lorentz-transformationer transformationer som bevarar Minkowski-metriken oförändrad , det vill säga, i synnerhet den senare behåller sin enklaste form när man flyttar från en tröghetsreferensram till en annan (med andra ord, Lorentz-transformationer är en analog för Minkowski-metriken för ortogonala transformationer , som utför övergången från en ortonormal bas till en annan, det vill säga en analog till rotationen av koordinataxlarna för rum-tid). Inom matematik eller teoretisk fysik kan Lorentz-transformationer tillämpas på vilken rymddimension som helst.

Det är Lorentz-transformationerna, som, till skillnad från de galileiska transformationerna, blandar rumsliga koordinater och tid, historiskt sett blev grunden för bildandet av begreppet en enda rum-tid .

Det bör noteras att inte bara fundamentala ekvationer är Lorentz-kovarianta (som Maxwell-ekvationerna som beskriver det elektromagnetiska fältet, Dirac-ekvationen som beskriver elektronen och andra fermioner), utan även sådana makroskopiska ekvationer som vågekvationen som beskriver (ungefär) ljud, strängvibrationer och membran, och några andra (endast då, i formlerna för Lorentz-transformationerna, bör inte avses ljusets hastighet, utan någon annan konstant - till exempel ljudets hastighet). Därför kan Lorentz-transformationerna också användas fruktbart i samband med sådana ekvationer (dock i ganska formell mening, som dock inte skiljer sig föga - inom sina egna ramar - från deras tillämpning i fundamental fysik). $c$

Typ av transformationer för kolinjära (parallella) rumsliga axlar

Om IFR rör sig i förhållande till IFR med en konstant hastighet längs axeln , och ursprunget för rumsliga koordinater sammanfaller vid den initiala tiden i båda systemen, så har Lorentz-transformationerna (räta linjer) formen: $K'$ $K$ $v$ $x$

x'=\frac{x-vt}{\sqrt{1-v^2/c^2)),

y'=y,\

z'=z,\

t'={\frac {t-(v/c^{2})x}{{\sqrt {1-v^{2}/c^{2))))},

var är ljusets hastighet , värden med primtal mäts i systemet , utan primtal-in . $c$ $K'$ $K$

Denna form av transformation (det vill säga när man väljer kolinjära axlar), ibland kallad boost ( engelska boost ) eller Lorentz boost (särskilt i engelskspråkig litteratur), inkluderar trots sin enkelhet i själva verket allt det specifika fysiska innehållet i Lorentz. transformationer, eftersom rumsliga axlar alltid kan väljas på detta sätt, och att lägga till rumsliga rotationer om så önskas är inte svårt (se detta explicit utökat nedan), även om det gör formlerna mer besvärliga.

Formler som uttrycker den inversa transformationen, det vill säga uttrycker genom , kan erhållas helt enkelt genom att ersätta med (det absoluta värdet av den relativa rörelsehastigheten för referensramar är densamma när man mäter den i båda referensramarna, därför, om så önskas, det kan förses med ett slag, bara samtidigt är det nödvändigt att noggrant övervaka att tecknet och definitionen motsvarade varandra) och den ömsesidiga ersättningen av "kläckta" och "ohackade". Eller lösa ekvationssystemet (1) med avseende på . $x',\;y',\;z',\;t'$ $x,\;y,\;z,\;t$ $v$ $-v$ $|v|$ $v$ $x$ $t$ $x',\;y',\;z',\;t'$
Man bör komma ihåg att i litteraturen skrivs Lorentz-transformationer ofta för enkelhetens skull i enhetssystemet, där . $c=1$
Det kan ses att under Lorentz-transformationer är händelser som är samtidiga i en referensram inte samtidiga i en annan (relativity of simultaneity). Dessutom har en rörlig kropp en minskad longitudinell storlek jämfört med vad den har i sin medföljande referensram ( Lorentz contraction ), och en rörlig klocka saktar ner om den observeras från en "stationär" referensram ( relativistisk tidsdilatation ).

Utdata av transformationer

Lorentz-transformationer kan erhållas abstrakt, från gruppöverväganden (i detta fall erhålls de med indefinite ), som en generalisering av galileiska transformationer (vilket gjordes av Henri Poincaré - se nedan ). Men för första gången erhölls de som transformationer med avseende på vilka Maxwells ekvationer är kovarianta (det vill säga, de ändrar faktiskt inte formen för elektrodynamikens och optikens lagar när de byter till en annan referensram). De kan också erhållas från antagandet om linjäritet av transformationer och postulatet av samma ljushastighet i alla referensramar (vilket är en förenklad formulering av kravet på kovarians av elektrodynamiken med avseende på de önskade transformationerna, och förlängningen av principen om jämlikhet mellan tröghetsreferensramar - relativitetsprincipen - till elektrodynamik ), vilket görs i den speciella relativitetsteorin (SRT) (samtidigt visar det sig i Lorentz-transformationerna vara definitivt och sammanfaller med ljusets hastighet ). $c$ $c$

Det bör noteras att om klassen av koordinattransformationer inte är begränsad till linjära, så är Newtons första lag giltig inte bara för Lorentz-transformationer, utan för en bredare klass av bråk-linjära transformationer [3] (dock denna bredare klass av transformationer är naturligtvis förutom det speciella fallet Lorentz-transformationer - håller inte den metriska konstanten).

Olika former av notation av transformationer

Typ av transformationer för godtycklig orientering av axlarna

På grund av godtyckligheten i införandet av koordinataxlar kan många problem reduceras till ovanstående fall. Om problemet kräver ett annat arrangemang av axlarna, kan du använda transformationsformlerna i ett mer allmänt fall. För detta, radievektorn för punkten

{\mathbf {r}}'={\mathbf {i}}x'+{\mathbf {j}}y'+{\mathbf {k}}z',

var är orterna , det är nödvändigt att dela upp det i en komponent parallell med hastigheten och en komponent vinkelrät mot den: ${\mathbf {i)],\;{\mathbf {j)],\;{\mathbf {k))$ ${\mathbf {r))'_{\|}$ ${\mathbf {r))'_{\perp }$

{\mathbf {r}}'={\mathbf {r}}'_{\|}+{\mathbf {r}}'_{\perp }.

Sedan kommer omvandlingarna att ta formen

{\mathbf {r}}_{\|}={\frac {{\mathbf {r}}'_{\|}+{\mathbf {v}}t'}{{\sqrt {1-v^ {2}/c^{2}}}}),\quad {\mathbf {r}}_{\perp }={\mathbf {r}}'_{\perp },\quad t={\frac {t'+(v/c^{2})r_{\|}}{{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}},

där är det absoluta värdet av hastigheten, är det absoluta värdet av den longitudinella komponenten av radievektorn. $v=\left|{\mathbf {v}}\right|$ $r_{\|}=\left|{\mathbf {r}}_{\|}\right|$

Dessa formler för fallet med parallella axlar, men med en godtyckligt riktad hastighet, kan konverteras till den form som först erhölls av Herglotz :

\mathbf {r} ={\frac {\mathbf {r} '+\mathbf {v} t'}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2))))+{ \frac {1}{v^{2}}}\left({\frac {1}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}-1\right)(\mathbf {r} '\times \mathbf {v} )\times \mathbf {v} ;

t={\frac {t'+\mathbf {r'v} /c^{2}}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}},

var är korsprodukten av tredimensionella vektorer. Observera att det mest allmänna fallet, när ursprungen inte sammanfaller vid nolltidpunkten, inte anges här för att spara utrymme. Det kan erhållas genom att lägga till translation (förskjutning av ursprung) till Lorentz-transformationerna. $\ gånger$

Lorentz-transformationer i matrisform

För fallet med kolinjära axlar skrivs Lorentz-transformationerna som

{\begin{bmatrix}ct'\\x'\\y'\\z'\end{bmatrix))={\begin{bmatrix}\gamma &-{\dfrac {v}{c)) \gamma &0&0\\-{\dfrac {v}{c}}\gamma &\gamma &0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}ct\\x\\y\ \z\end{bmatrix}},

var är Lorentz-faktorn $\gamma \equiv {\frac {1}{{\sqrt {1-v^{2}/c^{2))))}.$

Med godtycklig orientering av axlarna, i form av 4-vektorer, skrivs denna transformation som:

{\begin{bmatrix}ct'\\{\vec {r}}\,'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\gamma &-{\dfrac {\vec {v}} {c}}\gamma \\-{\dfrac {\vec {v}}{c}}\gamma &I+{\dfrac ({\vec {v}}\otimes {\vec {v}}}{v^ {2}}}(\gamma -1)\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}ct\\{\vec {r}}\end{bmatrix}},

där - identitetsmatris - tensormultiplikation av tredimensionella vektorer. $jag$ $3 gånger 3,$ $\ ibland$

Eller vad är detsamma,

{\begin{bmatrix}c\,t'\\x'\\y'\\z'\end{bmatrix))={\begin{bmatrix}\gamma &-\gamma \beta n_{x }&-\gamma \beta n_{y}&-\gamma \beta n_{z}\\-\gamma \beta n_{x}&1+(\gamma -1)n_{x}^{2}&(\ gamma -1)n_{x}n_{y}&(\gamma -1)n_{x}n_{z}\\-\gamma \beta n_{y}&(\gamma -1)n_{y}n_ {x}&1+(\gamma -1)n_{y}^{2}&(\gamma -1)n_{y}n_{z}\\-\gamma \beta n_{z}&(\gamma -1 )n_{z}n_{x}&(\gamma -1)n_{z}n_{y}&1+(\gamma -1)n_{z}^{2}\\\end{bmatrix}}{\begin {bmatrix}c\,t\\x\\y\\z\end{bmatrix}}

Var ${\vec {\beta }}={\frac {\vec {v}}{c}};\beta =|{\vec {\beta }}|;n_{x}={\frac { \beta _{x)){\beta ));n_{y}={\frac {\beta _{y)){\beta ));n_{z}={\frac {\beta _{z} }{\beta }}$

Slutsats metod nummer 1

Transformationsmatrisen erhålls från formeln $B$

B(\mathbf {v} )=I-\gamma \beta (\mathbf {n} \cdot \mathbf {K} )+(\gamma -1)(\mathbf {n} \cdot \mathbf { K} )^{2}

eller när den parametreras av hastigheten $\zeta$

B({\boldsymbol {\zeta }})=I-\sinh \zeta (\mathbf {n} \cdot \mathbf {K} )+(\cosh \zeta -1)(\mathbf {n} \cdot \mathbf {K} )^{2}

där n K = n x K x + n y K y + n z Kz , där

{\displaystyle K_{x}={\begin{bmatrix}0&1&0&0\\1&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\\end{bmatrix}}\,,\quad K_{y}={\begin{bmatrix}0&0&1&0\ \0&0&0&0\\1&0&0&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}}\,,\quad K_{z}={\begin{bmatrix}0&0&0&1\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\1&0&0&0\end{bmatrix}}),

som liknar Rodrigues formel

Slutsats metod nummer 2

En godtycklig homogen Lorentz-transformation kan representeras som en viss sammansättning av rymdrotationer och elementära Lorentz-transformationer som endast påverkar tiden och en av koordinaterna. Detta följer av den algebraiska satsen om nedbrytningen av en godtycklig rotation till enkla. Dessutom är det fysiskt uppenbart att för att erhålla en godtycklig homogen Lorentz-transformation kan man använda bara en sådan elementär transformation och två rotationer av tredimensionellt utrymme (den första som går till speciella rumsliga axlar - från x längs V , och andra för att återgå till de ursprungliga), tekniskt sett kommer beräkningen av en sådan sammansättning att reduceras till multiplikationen av tre matriser.

Egenskaper för Lorentz-transformationer

Det kan ses att i fallet när Lorentz-transformationerna går in i de galileiska transformationerna . Samma sak händer när den säger att speciell relativitetsteori sammanfaller med newtonsk mekanik antingen i en värld med en oändlig ljushastighet, eller med små hastigheter jämfört med ljusets hastighet. Den senare förklarar hur dessa två teorier kombineras - den första är en generalisering och förfining av den andra, och den andra är begränsningsfallet för den första, förblir i denna egenskap ungefär korrekt (med viss noggrannhet, i praktiken ofta mycket, mycket hög ) för tillräckligt liten (jämfört med ljusets hastighet) rörelsehastighet. $c\to \infty ,$ $v/c\till 0.$
Lorentz-transformationer håller intervallet oföränderligt för alla händelsepar (rum-tidspunkter) - det vill säga vilket par av Minkowski-rum-tidspunkter som helst:

s={\sqrt {c^{2}(\Delta t)^{2}-(\Delta x)^{2}-(\Delta y)^{2}-(\Delta z)^{2} }}={\sqrt {c^{2}(\Delta t')^{2}-(\Delta x')^{2}-(\Delta y')^{2}-(\Delta z' )^{2}}}.

Det är lätt att verifiera detta, till exempel genom att explicit kontrollera att Lorentz-transformationsmatrisen är ortogonal i betydelsen Minkowski-metriken: $L$

\eta _{{ik}}=\left[{\begin{matrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&0&-1\end{matrix}}\right],

definieras av ett sådant uttryck, det vill säga det är lättast att göra för förstärkning, och för tredimensionella rotationer är det uppenbart från definitionen av kartesiska koordinater, dessutom ändrar inte förskjutningar av ursprunget skillnaderna i koordinater. Därför gäller den här egenskapen även för alla sammansättningar av förstärkningar, rotationer och förskjutningar, vilket är den kompletta Poincaré-gruppen; när vi väl vet att koordinattransformationer är ortogonala , följer det omedelbart att formeln för avstånd förblir oförändrad när man flyttar till ett nytt koordinatsystem - enligt definitionen av ortogonala transformationer. $\sum _{i,\;k}L_{j}^{i}\eta _{ik}L_{m}^{k}=\eta _{jm}.$

Speciellt sker invariansen av intervallet också för fallet, vilket innebär att hyperytan i rum-tid, som bestäms av lika med noll av intervallet till en given punkt - ljuskäglan - fixeras under Lorentz-transformationer (vilket är en manifestation av ljusets hastighets invarians). Det inre av konens två hålrum motsvarar tidsliknande - verkliga - intervall från deras punkter till toppen, det yttre området - till rymdliknande - rent imaginärt (i intervallsignaturen som antas i denna artikel). $s=0,$
Andra invarianta hyperytor av homogena Lorentz-transformationer (analoger av en sfär för Minkowski-rymden) är hyperboloider: en tvåarkshyperboloid för tidsliknande intervall i förhållande till ursprunget, och en enkelarkad hyperboloid för rymdliknande intervall.
Lorentz-transformationsmatrisen för kolinjära rumsliga axlar (i enheter ) kan representeras som: $c=1$ ${\begin{bmatrix}{\mathop {{\rm {ch))))\,\theta &-{\mathop {{\rm {sh))))\,\theta &0&0\\-{\mathop { {\rm {sh))))\,\theta &{\mathop {{\rm {ch))))\,\theta &0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{bmatrix)),$

var . Det är lätt att verifiera detta genom att ta hänsyn till och kontrollera giltigheten av motsvarande identitet för Lorentz-transformationsmatrisen i vanlig form. $\theta ={\mathop {{\rm {Arth}}}}\,(v/c)\$ ${\rm {ch^{2}\,\theta -{\rm {sh^{2}\,\theta =1\ ))))$

Om vi accepterar notationen som introducerades av Minkowski , så reduceras Lorentz-transformationen för ett sådant utrymme till en rotation genom en imaginär vinkel i planet inklusive axeln (för fallet med rörelse längs axeln , i planet ). Detta är uppenbart genom att ersätta matrisen precis ovanför - och modifiera den något för att ta hänsyn till den imaginära tidskoordinaten som introduceras - och jämföra den med den vanliga rotationsmatrisen. $x_{0}=i\,ct,\;x_{1}=x,\;x_{2}=y,\;x_{3}=z\$ $x_{0}\$ $x_{1}\$ $x_{0}x_{1}$ ${\mathop {{\rm {ch))))\,\theta ={\mathop {{\rm {cos))))\,(i\,\theta ),\;{\mathop {{\rm {sh}}}}\,\theta =-i\,{\mathop {{\rm {sin}}}}\,(i\theta )$

Konsekvenser av Lorentz-transformationerna

Ändring i längd

Låt stången vila i referensramen och koordinaterna för dess början och slut är lika med , . För att bestämma längden på staven i systemet, fixeras koordinaterna för samma punkter vid samma tidpunkt för systemet . Låt vara rätt längd på staven i , och vara längden på staven i . Sedan följer det från Lorentz-transformationerna: $K'$ $x_{1}'$ $x_{2}'$ $K$ $K$ $l_{0}=x_{2}'-x_{1}'$ $K'$ ${\displaystyle l=x_{2}-x_{1))$ $K$

l_{0}=x'_{2}-x'_{1}={\frac {x_{2}-vt}({\sqrt {1-{\dfrac {v^{2}}{c^ {2}}}}}}}-{\frac {x_{1}-vt}{{\sqrt {1-{\dfrac {v^{2}}{c^{2}}}}}}} ={\frac {x_{2}-x_{1}}{{\sqrt {1-{\dfrac {v^{2}}{c^{2}}}}}}

eller

l=l_{0}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}.

Sålunda visar sig längden på den rörliga staven, mätt av "stationära" observatörer, vara mindre än stavens rätta längd.

Relativitet av simultanitet

Om två händelser som är åtskilda i rymden (till exempel ljusblixtar) inträffar samtidigt i en rörlig referensram, kommer de inte att vara samtidigt med avseende på den "fasta" ramen. När från Lorentz-transformationerna följer det: $\Delta t'=0$

Om , då och . Detta innebär att ur en stationär observatörs synvinkel inträffar den vänstra händelsen före den högra ( ). Relativiteten av simultanitet leder till omöjligheten att synkronisera klockor i olika tröghetsreferensramar i hela rymden. $\Delta x=x_{2}-x_{1}>0$ $\Delta t=t_{2}-t_{1}>0$ $t_{2}>t_{1}$

Låt två referenssystem, längs axeln , det finns klockor synkroniserade i varje system, och i det ögonblick då den "centrala" klockan sammanfaller (i figuren nedan), visar de samma tid. Den vänstra bilden visar hur denna situation ser ut från en observatörs synvinkel i systemet . Klockor i en rörlig referensram visar olika tider. Klockorna i rörelsens riktning är bakom, och de i motsatt riktning av rörelsen är före den "centrala" klockan. Situationen är liknande för observatörer i (höger figur). $x$ $S$ $S'$

Tidsutvidgning för rörliga kroppar

Relaterade definitioner

Lorentz-invarians är egenskapen hos fysiska lagar att skrivas på samma sätt i alla tröghetsreferensramar (med hänsyn till Lorentz-transformationerna). Det är allmänt accepterat att alla fysiska lagar måste ha denna egenskap, och inga experimentella avvikelser från den har hittats. Vissa teorier har dock hittills misslyckats med att konstrueras på ett sådant sätt att Lorentz-invariansen är uppfylld.

Historik

Denna typ av omvandling, på förslag av A. Poincaré , är uppkallad efter den holländska fysikern H. A. Lorentz , som i en serie verk (1892, 1895, 1899) publicerade sin ungefärliga version (upp till villkor ). Senare fysikhistoriker fann att dessa transformationer hade publicerats oberoende av andra fysiker: $v^{2}/c^{2}$

1887: W. Vogt , medan han undersökte dopplereffekten [4] [5] .
1897: J. Larmor , hans mål var att upptäcka transformationer under vilka Maxwells ekvationer är invarianta [6] .

Lorentz studerade förhållandet mellan parametrarna för två elektromagnetiska processer, varav den ena är stationär i förhållande till etern och den andra rör sig [7] .

A. Poincare (1900) och A. Einstein (1905) [8] gav ett modernt utseende och förståelse för transformationsformlerna . Poincaré var den första som etablerade och studerade i detalj en av de viktigaste egenskaperna hos Lorentz-transformationer - deras gruppstruktur , och visade att "Lorentz-transformationer är inget annat än en rotation i rymden av fyra dimensioner, vars punkter har koordinater " $(x,\;y,\;z,\;it)$ [9] . Poincaré introducerade termerna "Lorentz-transformationer" och " Lorentz-grupp " och visade, baserat på den eteriska modellen, omöjligheten att detektera rörelse i förhållande till den absoluta referensramen (det vill säga den ram i vilken etern är stationär), och på så sätt modifierade Galileos relativitetsprincip [8] .

Einstein utvidgade i sin relativitetsteori (1905) Lorentz-transformationerna till alla fysiska (inte bara elektromagnetiska) processer och påpekade att alla fysiska lagar måste vara oföränderliga under dessa transformationer. Den geometriska fyrdimensionella modellen av relativitetsteorins kinematik, där Lorentz-transformationerna spelar rollen som koordinatrotation, upptäcktes av Hermann Minkowski .

År 1910 var V. S. Ignatovsky den första som försökte erhålla Lorentz-transformationen på grundval av gruppteori och utan att använda postulatet om ljusets hastighets konstanta [10] .

Se även

Sammansatt rörelse (formel för hastighetstransformation överensstämmer med Lorentz-transformationer)
Thomas precession
Lorentz grupp

Anteckningar

↑ 1 2 3 4 5 Shafarevich I. R., Remizov A. O. Linjär algebra och geometri. - kap. VII, § 8. - M .: Fizmatlit, 2009.
↑ Petrovsky I. G. Föreläsningar om partiella differentialekvationer. - kap. II, § 14. - Vilken upplaga som helst.
↑ Frank F., Rote G. Über die Transformation der Raumzeitkoordinaten von ruhenden auf bewegte Systeme Arkiverad 29 augusti 2014 på Wayback Machine // Ann. der Physic, Ser. 4, vol. 34, nr. 5, 1911, sid. 825-855 (rysk översättning) (Artikel där det först noterades att linjär-fraktionella transformationer är de mest allmänna transformationerna som är förenliga med relativitetsprincipen).
↑ Miller (1981), 114-115
↑ Pais (1982), Cap. 6b
↑ J. Larmor. On a Dynamical Theory of the Electric and Luminiferous Medium, Del 3, Relationer till materiella medier . - 1897. - T. 190. - S. 205-300.
↑ Vizgin V. P., Kobzarev I. Yu. , Yavelov V. E. Albert Einsteins vetenskapliga arbete och liv: en recension av boken av A. Pais // Einstein-samlingen, 1984-1985. - M . : Nauka, 1988. - S. 314 . — ISBN 5-02-000006-X .
↑ 1 2 Kudryavtsev P. S. En kurs i fysikens historia i tre volymer. - M . : Utbildning, 1974. - T. 3. - S. 46.
↑ Poincare A. Om elektronens dynamik. // Relativitetsprincipen : lör. verk av relativismens klassiker. - M .: Atomizdat , 1973. - sid. 90-93, 118-160.
↑ "Några allmänna anmärkningar om relativitetsprincipen" Arkiverad kopia av den 2 juli 2017 om Wayback Machine Report vid generalmötet för den matematiska och fysiska avdelningen vid det 82:a mötet för tyska naturforskare och läkare i Königsberg den 21 september 1910;
von W.v. Ignatowsky, "Einige allgemeine Bemerkungen zum Relativitätsprinzip", Verh. d. Deutsch. Phys. Ges. 12, 788-96, 1910 (rysk översättning)

Litteratur

Landau L. D. , Lifshits E. M. Fältteori . - 7:e upplagan, reviderad. — M .: Nauka , 1988. — 512 sid. - (" Teoretisk fysik ", volym II). — ISBN 5-02-014420-7 . .
Physical Encyclopedia, vol. 2 - M .: Great Russian Encyclopedia s. 608 Arkiverad 2 mars 2012 på Wayback Machine och s. 609 Arkiverad 14 april 2004 på Wayback Machine .
Fedorov F.I. Lorentz grupp. — M .: Nauka , 1979. — 384 sid.
Gel'fand I. M., Minlos R. A., Shapiro Z. Ya. Representation av rotationsgruppen och Lorentzgruppen. M., 1958.
Shafarevich I. R. , Remizov A. O. Linjär algebra och geometri. — M.: Fizmatlit, 2009.

Länkar

Lorentz-transformationer Arkiverade 25 augusti 2021 på Wayback Machine i The Relativistic World Arkiverade 23 augusti 2021 på Wayback Machine .

Ordböcker och uppslagsverk	Stor dansk Stor katalanska Stor ryss Britannica (online)
I bibliografiska kataloger	GND : 4653925-6 J9U : 987007536145805171 LCCN : sh85078398