Direkt belopp

Symbolen betyder att ta ett direkt belopp; det är också symbolen för jorden i astronomi och astrologi , och symbolen för det exklusiva eller operationen .

\oplus

En direkt summa är ett härlett matematiskt objekt skapat från grundläggande objekt enligt reglerna definierade nedan. De grundläggande är oftast vektorrum eller abelska grupper . Det finns också en generalisering av denna konstruktion för Banach och Hilbert utrymmen .

Den direkta summan av två objekt och betecknas med , och den direkta summan av en godtycklig uppsättning objekt betecknas med . I det här fallet kallas en godtycklig direkt summand . $A$ $B$ $A\oplus B$ $A_{i}$ $\bigoplus _{i\in I}A_{i}$ $A_{i}$ $\bigoplus _{i\in I}A_{i}$

Direkt summan av ett ändligt antal delrum

Ett linjärt utrymme sägs vara den direkta summan av dess delrum : $X$ $M_1,\dots,M_n$

X = M_1\oplus\dots\oplus M_n,

om varje vektor representeras som en summa $x\i X$

x=m_{1}+\dots +m_{n},\quad m_{i}\in M_{i},\quad (\ast )

och på ett unikt sätt.

Kommentar

Det sista villkoret ("på ett unikt sätt") är mycket viktigt. Utan det får vi bara definitionen av summan av delrymden (betecknad med ). Det följer av definitionen av ett linjärt utrymme att villkoret för expansionens unikhet ( ) för varje vektor är ekvivalent med villkoret för expansionens unikhet ( ) endast för nollvektorn (för alla termer i summan ( ) ). $X = M_1 +\dots+ M_n$ $\ast$ $x\i X$ $\ast$ $x=0$ $\ast$ $m_i=0$

Exempel

Ett tredimensionellt linjärt utrymme är den direkta summan av ett plan (det vill säga ett tvådimensionellt delrum) och varje linje (endimensionellt delrum) som inte ligger i detta plan, såväl som den direkta summan av tre linjer som inte ligger i samma plan. Tredimensionellt linjärt utrymme är summan av två icke-sammanfallande plan, men är inte en direkt summa av dem, eftersom skärningen av planen ger en rät linje (och därför kan nollvektorn representeras på ett oändligt antal sätt: , där och är motsatta vektorer på denna linje). $0=m_1+m_2$ $m_1$ $m_2$

Utrymmet av polynom av grad som mest (i ett fast antal variabler) kan representeras som en direkt summa där är delrummet av homogena polynom av grad . Om vi tar bort homogenitetsvillkoret i definitionen kommer summan inte längre att vara direkt. $n$ $M_0 \oplus M_1 \oplus \cdots \oplus M_n,$ $Mi}$ $i$ $Mi}$

Direkt summa av ett ändligt antal mellanslag

Konceptet med en direkt summa sträcker sig till fallet när de initialt inte är delrum till något enskilt omgivande linjärt utrymme. För att undvika förvirring kallas den direkta summan i denna mening för den yttre direkta summan, medan den direkta summan av delrummen kallas den inre direkta summan. $X = M_1\oplus\dots\oplus M_n$ $M_1,\dots,M_n$

Låt vara vektorrum över fältet . Vi definierar bärarmängden som en kartesisk produkt av mängder och introducerar vektorrymdsoperationer på den med formlerna $M_1,\ldots M_n$ $K$ $X$ $X = M_1\ gånger\prickar\ gånger M_n$

(x_1,\ldots,x_n)+(y_1,\ldots,y_n) = (x_1+y_1,\ldots,x_n+y_n) \quad x_i,y_i \in M_i \quad (*)

\alpha (x_1,\ldots,x_n) = (\alpha x_1,\ldots,\alpha x_n), \quad x_i \in M_i, \alpha\in K \quad (**)

För var och en finns det naturliga inbäddningar som är exakt uppsättningen av de vektorer, vars alla koordinater i den direkta produkten, förutom den -:e koordinaten, är lika med noll. Om vi identifierar utrymmena med motsvarande delrum i , kan varje vektor representeras unikt eftersom det därför är en intern direkt summa . $i$ $f:M_i\till X$ $f(M_i)$ $i$ $Mi}$ $X$ $x\i X$ $x=m_1+\dots+m_n,$ $m_i\in M_i,$ $X$ $Mi}$

Den direkta summan av moduler över en ring (och i synnerhet den direkta summan av abelska grupper som är moduler över ringen av heltal) definieras på liknande sätt . $K$

Direkt summa av en godtycklig uppsättning mellanslag

Endast när man betraktar den direkta summan av ett oändligt antal rum manifesteras dess skillnad från den direkta produkten av dessa rum. Låt vara en indexerad familj av vektorrum över fältet , då är deras direkta summa mängden ändliga formella summor $Mi}$ $K$

\sum\limits_{i\in I} x_i, \; x_i\in M_i

med komponentvis additionsoperationer och med multiplikation med en skalär : $\alfa \i K$

\alpha(\sum_{i\in I} x_i)=\sum_{i\in I} \alpha x_i

Uppenbarligen är summan av två ändliga summor återigen en ändlig summa, så den direkta summan är stängd under vektorrymdsoperationer. För att bestämma den direkta summan av moduler räcker det att ersätta fältet med någon ring. $K$

Direktsumma egenskaper

Om vektorrummet är ändligt dimensionellt, då . Liknande påståenden gäller för rangen av en abelsk grupp och längden på modulen . $X$ $\dim X = \dim M_1+\ldots+\dim M_n$
Unionen av baser av linjära delrum ) är en bas . $M_i\;(i=1,\prickar,n$ $X$
Varje vektorrum över ett fält är isomorft till en direkt summa av någon uppsättning kopior . Detta gäller även för gratismoduler . $K$ $K$
Funktionen av en direkt summa av två rum är kommutativ och associativ upp till en isomorfism .
Gruppen av K -linjära homomorfismer från en direkt summa av utrymmen är isomorf till produkten av homomorfismgrupper från separata utrymmen:

\operatörsnamn{Hom}_K\biggl( \bigoplus_{i \in I} M_i,L\biggr) \cong \prod_{i \in I}\operatörsnamn{Hom}_K\left(M_i,L\right).

I synnerhet är utrymmet dual till den direkta summan av utrymmen isomorft till produkten av utrymmena dubbla till komponenterna i den direkta summan.

Se även

Litteratur

Bourbaki N. Algebra. Volym 1. Algebraiska strukturer. Linjär och multilinjär algebra - M.: GIFML, 1962.
Gelfand I. M. Föreläsningar om linjär algebra, - M .: Nauka, 1971.
Kostrikin A. I. , Manin Yu. I. Linjär algebra och geometri, - M .: Nauka, 1986.
Faddeev D. K. Föreläsningar om algebra, - M .: Nauka, 1984.
Shafarevich I. R. , Remizov A. O. Linjär algebra och geometri, Fizmatlit, Moskva, 2009.