Gratis modul

En fri modul  är en modul F över en ring R (vanligtvis anses vara associativ med ett identitetselement), om den antingen är noll eller har en bas , det vill säga ett icke-tomt system S av element e 1 ,...e i … , som är linjärt oberoende och genererar F . Själva ringen R , betraktad som en vänstermodul över sig själv, har uppenbarligen en bas som består av ett enda element i ringen, och varje modul med en ändlig bas av n element är isomorf till en direkt summa Rn av ringar R betraktade som moduler .

Det är viktigt att notera att i vissa fall kan en fri modul ha två ändliga baser som består av olika antal element. Eftersom modulen M i detta fall kommer att vara isomorf till både Rm och Rn , där m≠n , är detta fall möjligt om och endast om det över ringen R finns matriser A med storleken m ×n och B med storleken n ×m , sådan att AB= Im och BA= In , där Im och In är kvadratiska enhetsmatriser  . Det är tydligt att i fallet när ringen R medger en homomorfism till en divisionsring (detta kommer att vara fallet, till exempel i fallet med kommutativa ringar), är denna situation omöjlig på grund av matrisens rangegenskap. I det här fallet kallas antalet element i basen rangen av ringen R och betecknas med rang R eller rk R . I fallet med ett vektorrum är rummets rangordnade dess dimension.

Om en modul har en oändlig bas är alla sådana baser ekvivalenta.

Eftersom vilken Abelisk grupp som helst är en modul över ringen av heltal Z , gäller allt ovanstående även för fria Abelska grupper.

Generisk egenskap

Egenskapen för en modul att vara fri kan uttryckas i termer av kategoriteori . En linjär funktion mellan fria moduler bestäms unikt av dess värden på basis av , omvänt kan en godtycklig funktion definierad på basen utökas till en linjär funktion. Dessa egenskaper hos basen kan formaliseras med hjälp av den universella egendomen .

Varje modul över en ring R kan associeras med dess stöduppsättning: det finns en glömsk funktion F  : R-Mod → Set . Låt A  vara någon R -modul; i: X → F(A)  är någon funktion mellan mängder. Vi säger att A  är en fri modul med vektorbas i ( X ) om och endast om det för någon mappning finns en unik linjär mappning sådan att .

Generaliseringar

Vissa satser om fria moduler förblir sanna för bredare klasser av ringar. En projektiv modul  är exakt den direkta summan av någon gratis modul, så för att bevisa ett påstående om en projektiv modul kan vi överväga dess inbäddning i en gratis modul och använda en bas. Ännu mer avlägsna generaliseringar är platta moduler , som kan representeras som en direkt gräns för ändligt genererade fria moduler, och torsionsfria moduler .

Litteratur