Krull dimension

Krulldimensionen är ett numeriskt kännetecken för kommutativa ringar , den största längden av en kedja av kapslade främsta ideal för en given ring. Inte nödvändigtvis ändlig även för Noetherian ringar .

Krull-dimensionen tillåter oss att formulera en rent algebraisk definition av dimensionen av en algebraisk varietet : dimensionen av en affin algebraisk variation som ges av ett ideal i en polynomring är Krull-dimensionen av kvotringen . $jag$ $R$ $R/I$

Definition

Längden på en kedja av främsta ideal av formen:

{\mathfrak {p}}_{0}\subsetneq {\mathfrak {p}}_{1}\subsetneq \ldots \subsetneq {\mathfrak {p}}_{n}

tas som , det vill säga antalet strikta inneslutningar beaktas och inte antalet ideal. Krulldimensionen för en ring är den maximala längden över uppsättningen av alla kedjor av främsta ideal . $n$ $R$ $R$

För ett främsta ideal kan man definiera dess kodimension (även kallad höjd eller rang), betecknad som den maximala längden av en kedja av främsta ideal av formen . $\mathfrak{p}$ $\operatörsnamn{kodim}(\mathfrak{p})$ $\mathfrak{p}_0\subsetneq \mathfrak{p}_1\subsetneq \ldots \subsetneq \mathfrak{p}_n\subseteq \mathfrak{p}$

Exempel

Dimensionen på ett godtyckligt fält är lika med noll, mer generellt är dimensionen på ringen av polynom k [ x 1 , …, x n ] lika med n . Dessutom, om R är en Noetherian ring vars dimension är lika med n , då är dimensionen på ringen R [ x ] lika med n + 1. Utan den noeteriska hypotesen kan dimensionen av R [ x ] variera från n +1 till 2 n +1.
Dimensionen på vilken som helst idealisk ring är 1.
En integralring är ett fält om och endast om dess dimension är noll. Dedekind-ringar som inte är fält har dimension 1.
En Noetherian ring är artinisk om och endast om dess dimension är noll.
En heltalsförlängning av en ring har samma dimension som originalringen.
Ringens R Krull-dimension är lika med dimensionen av dess spektrum som ett topologiskt utrymme, det vill säga den maximala längden av en kedja av irreducerbara slutna delmängder.

Moduldimension

Om R är en kommutativ ring och M är en R - modul, så definieras Krull-dimensionen för M som Krull-dimensionen för kvotringen av modulens förintare:

\operatörsnamn{dim}_R M := \operatörsnamn{dim}( R/\operatörsnamn{Ann}_R(M))

där Ann R ( M ) är kärnan i den naturliga mappningen R → End R (M) (associerar till ett element i ringen multiplikationen med detta element).

Idealhöjd

Höjden på ett primärideal för en kommutativ ring är det högsta av längderna av kedjor av primärideal som finns i . Till exempel är höjden på ett primideal som inte innehåller några andra primideal 0. Krulldimensionen för en ring kan definieras som det högsta av höjden över uppsättningen av primideal. $\mathfrak sid$ $R$ $\mathfrak sid$ $R$

I fallet med en Noetherian kommutativ ring, enligt Krulls sats, överstiger inte höjden av ett ideal genererat av n element n .

Definitionen av höjd kan utökas till godtyckliga ideal genom att definiera höjden av ett ideal som minimum av höjderna av de primära idealen som innehåller det givna idealet.

Se även

Litteratur

Atiyah M., McDonald I. Introduktion till kommutativ algebra. - Factorial Press, 2003 - ISBN 5-88688-067-4 .
Irving Kaplansky , Commutative rings (reviderad ed.), University of Chicago Press, 1974, ISBN 0-226-42454-5 . Sida 32.
Eisenbud, David (1995), Kommutativ algebra med sikte på algebraisk geometri , vol. 150, Graduate Texts in Mathematics, Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-94268-1

Dimension av utrymme
Utrymmen efter dimension	Nolldimensionell en-dimensionell 2D 3D fyrdimensionell femdimensionell Sexdimensionell Sjudimensionell oktal Niodimensionell n-dimensionell Negativ dimension
Polytoper och figurer	Simplex hyperkub tesserakt Hyperrektangel (ortotop) Semihyperkub Cross-polytope hypersfär
Typer av utrymmen	ändligt dimensionellt utrymme Euklidiskt utrymme affint utrymme projektivt utrymme Gratis modul Grenrör Dimension av en algebraisk variabel rum-tid
Andra dimensionella koncept	Krull dimension Lebesgue dimension Induktiv dimension Bråkdimension ( Minkowski dimension , Hausdorff dimension ) fraktal dimension Grader av frihet
Matte