Äntligen genererat ideal

Ett ändligt genererat ideal för en associativ ring är ett ideal som genereras av ett ändligt antal av dess element. $jag$ $R$

I fallet när är en ring med en enhet, betyder ändlig generering för ett ensidigt (till exempel höger) ideal för ringen att det finns en ändlig uppsättning element så att alla element från kan representeras som en summa , där är några delar av ringen. Denna definition motsvarar helt definitionen av en ändligt genererad modul över en ring, om vi betraktar det rätta idealet som en högermodul över ringen . Följaktligen kommer ett tvåsidigt ideal att genereras ändligt om det finns en ändlig uppsättning element så att vilket element som helst från kan representeras som en summa , där finns några element i ringen . $R$ $jag$ $R$ $i_{1},\ldots ,i_{n}\in I$ $jag$ ${\displaystyle i_{1}a_{1}+\ldots +i_{n}a_{n))$ $a_{1},\ldots ,a_{n}\in R$ $jag$ $R$ $i_{1},\ldots ,i_{n}\in I$ $jag$ ${\displaystyle a_{1}i_{1}b_{1}+\ldots +a_{n}i_{n}b_{n))$ $a_{1},\ldots ,a_{n},b_{1},\ldots ,b_{n}\in R$ $R$

I det allmänna fallet, när ringen inte nödvändigtvis innehåller en enhet, genereras ett rätt ideal ändligt om det finns en ändlig uppsättning element så att vilket element som helst från kan representeras som en summa , där finns några element i ringen, . Ett dubbelsidigt ideal kallas ändligt genererat om det finns en ändlig uppsättning element så att alla element från kan representeras som en summa , där finns några element i ringen , . $R$ $i_{1},\ldots ,i_{n}\in I$ $jag$ ${\displaystyle i_{1}a_{1}+\ldots +i_{n}a_{n}+m_{1}i_{1}+\ldots +m_{n}i_{n))$ $a_{1},\ldots ,a_{n}\in R$ $m_{1},\ldots ,m_{n}\in \mathbb {Z}$ $i_{1},\ldots ,i_{n}\in I$ $jag$ $a_{1}i_{1}b_{1}+\ldots +a_{n}i_{n}b_{n}+c_{1}i_{1}+\ldots +c_{n}i_{ n}+i_{1}d_{1}+\ldots +i_{n}d_{n}+m_{1}i_{1}+\ldots +m_{n}i_{n}$ $a_{1},\ldots ,a_{n},b_{1},\ldots,b_{n},c_{1},\ldots,c_{n},d_{1},\ldots, d_{n}\in R$ $R$ $m_{1},\ldots ,m_{n}\in \mathbb {Z}$

Se även

Idealisk