Dedekind ring

I allmän algebra är en Dedekind-ring en integrerad ring där varje idealiskt ideal som inte är noll sönderfaller till en produkt av primära ideal . Det kan visas att i detta fall är expansionen unik upp till faktorernas ordning. Nedan finns flera andra beskrivningar av Dedekind-ringar som kan tas som en definition.

Ett fält är en integrerad ring där det inte finns några egentliga ideal som inte är noll, så den tidigare egenskapen, strängt taget, gäller. Vissa författare lägger till villkoret "att inte vara ett fält" till definitionen av en Dedekind-ring; många andra författare följer den underförstådda konventionen att formuleringarna av alla teorem för Dedekind-ringar kan trivialt justeras så att de också gäller för fält.

Det följer omedelbart av definitionen att varje domän av huvudideal är en Dedekind-ring. En Dedekind-ring är faktoriell om och endast om den är en huvudsaklig idealdomän.

Förhistoria av utseendet på konceptet

På 1800-talet blev det en vanlig teknik att använda algebraiska talringar för att lösa diofantiska ekvationer . Till exempel, i ett försök att bestämma vilka heltal som kan representeras som , är det ganska naturligt att faktorisera den kvadratiska formen till faktorer , nedbrytningen sker i ringen av heltal i kvadratfältet . På samma sätt, för ett naturligt polynom (som uppstår när man löser Fermats ekvation ) kan expanderas i annulus , där är den primitiva th roten av enhet . $x^{2}+my^{2}$ $(x+{\sqrt {-m}}y)(x-{\sqrt {-m}}y)$ $\mathbb {Q} ({\sqrt {-m)))$ $n$ $z^{n}-y^{n}$ $x^{n}+y^{n}=z^{n}$ $\mathbb {Z} [\zeta _{n}]$ $\zeta _{n}$ $n$

För små värden av och är dessa ringar av heltal domäner av huvudsakliga ideal; på sätt och vis förklarar detta Fermats ( ) och Eulers ( ) delvis framgång med att lösa dessa två problem. Vid denna tidpunkt visste specialister inom studiet av kvadratiska former proceduren för att kontrollera ringen av heltal i ett kvadratiskt fält för att egenskapen "är en domän av huvudideal." Gauss studerade fallet : han hittade nio värden som tillfredsställde fastigheten och antog att det inte fanns några andra värden (Gauss gissning bevisades mer än hundra år efter det). $m$ $n$ $m=1,n=4$ $m=2,3,n=3$ $\mathbb {Q} ({\sqrt {D)))$ $D<0$ $D$

På 1900-talet började matematiker inse att det huvudsakliga idealtillståndet var för subtilt, medan Dedekinds tillstånd var starkare och mer stabilt. Till exempel föreslog Gauss att det finns oändligt många positiva primtal , så att ringen av hela fält är huvudidealernas domän; dock är det än idag inte ens känt om det finns oändligt många talfält vars ringar av heltal uppfyller detta villkor! Å andra sidan är ringen av heltal i ett talfält alltid Dedekind. $sid$ $\mathbb {Q} ({\sqrt {p}})$

Ett annat bevis på denna "stabilitet" är att Dedekindness är en lokal egenskap : en Noetherian ring är Dedekind om och endast om dess lokalisering av något maximalt ideal är Dedekind. Men en lokal ring är Dedekind om och bara om den är en principiell idealdomän och en diskret värderingsring , så för principiella idealdomäner är Dedekindity en globalisering av den diskreta värderingsegendomen. $R$

Motsvarande definitioner

För en integralring som inte är ett fält är följande påståenden likvärdiga: $R$

Varje icke-noll egentligt ideal sönderfaller till en produkt av primtal;
$R$ är Noetherian och dess lokalisering med avseende på vilket maximalt ideal som helst är en diskret värderingsring;
Varje bråksideal av en ring är inverterbar; $R$
$R$ är integrerat stängd , Noetherian, och dess Krull-dimension är lika med en.

En Krull-ring är en "högre dimensionell" analog av en Dedekind-ring: Dedekind-ringar (som inte är fält) är exakt Krull-ringar av dimension 1. Denna definition av en Dedekind-ring användes av N. Bourbaki i kommutativ algebra.

Exempel

Alla domäner av principiella ideal, och därmed alla diskreta värderingsringar, är Dedekind.

Ringen av algebraiska heltal i ett talfält K är noeterisk, helt sluten och har dimension 1 (för att bevisa det senare räcker det att notera att för alla ideal I som inte är noll är ringarna R , R / I ändliga och ändliga integraler ringar är fält), så R är Dedekind. Detta är ett grundläggande, motiverande exempel för teorin om Dedekind-ringar. $R={\mathcal {O}}_{K}$

Ett annat exempel, som inte är mindre viktigt än det första, tillhandahålls av algebraisk geometri. Låt C vara en affin algebraisk kurva över ett fält k . Då är koordinatringen k [ C ] för reguljära funktioner på C Dedekind. Detta är faktiskt bara en översättning av geometriska termer till algebraiskt språk: koordinatringen för en affin varietet är, per definition, en ändligt genererad k - algebra (därav Noetherian); kurvan antyder dimension 1, och frånvaron av singulariteter antyder normalitet , det vill säga integrerad stängning.

Båda exemplen är specialfall av följande grundläggande teorem:

Sats: Låt R vara en Dedekind-ring med ett fält av kvotienter K , L en ändlig förlängning av K och S en heltalsslutning av R i L . Då är S en Dedekind-ring.

Genom att tillämpa denna konstruktion på R = Z får vi ringen av heltal i talfältet. R = k [ x ] motsvarar fallet med algebraiska kurvor utan singulariteter.

Bråkideal och den ideala klassgruppen

Låt R vara en integralring med ett fält av bråk K . Ett bråksideal av en ring R är en R -submodul K som inte är noll för vilken det finns ett x från K som inte är noll så att $xI\subset R.$

Givet två bråkideal I , J , kan deras produkt IJ definieras som mängden av alla ändliga summor : produkten IJ är också ett bråksideal. Mängden Frac(R) för alla bråksideal är alltså en kommutativ halvgrupp, och till och med en monoid: identitetselementet är bråksidealet R . $\sum _{n}i_{n}j_{n},\ i_{n}\in I,\ j_{n}\in J$

För varje bråksideal I kan man definiera ett bråksideal

I^{*}=(R:I)=\{x\in K\ |\ xI\subset R\}.

Uppenbarligen . Jämlikhet uppnås när I är inverterbar (som en del av monoiden Frac(R)). Med andra ord, om jag har ett inverst element, så är denna invers . $I^{*}I\subset R$ $jag^*$

Ett huvudsakligt bråksideal är ett bråksideal av formen för ett icke-noll x i K . Alla bråksideal är reversibla: det omvända för är helt enkelt . Beteckna undergruppen av huvudsakliga bråkideal Prin(R). $xR$ $xR$ ${\frac {1}{x}}R$

En integralring R är en principiell idealring om och endast om varje bråksideal är principiellt. I detta fall är Frac(R) = Prin(R) = , eftersom och sammanfaller om och endast if är ett inverterbart element av R . $K^{*}/R^{*}$ $xR$ $YR$ $xy^{-1}$

För en godtycklig integralring R är kvoten monoid Frac(R) av submonoiden Prin(R) vettig. I allmänhet är denna faktor bara en monoid. Det är lätt att se att bråkidealklassen I i Frac(R)/Prin(R) är inverterbar om och endast om I själv är inverterbar.

Nu blir innebörden av den tredje definitionen av en Dedekind-ring tydlig: i en Dedekind-ring - och bara i en Dedekind-ring - är varje bråksideal inverterbart. Dedekind-ringar är alltså den klass av ringar för vilka Frac(R)/Prin(R) är en grupp som kallas den ideala klassgruppen Cl(R) i ringen R . Cl(R) är trivial om och endast om R är en principiell idealdomän.

En av de grundläggande satserna för algebraisk talteori säger att den ideala klassgruppen för ringen av heltal i ett talfält är ändlig.

Ändligt genererade moduler över Dedekind-ringar

Med tanke på att det finns en extremt användbar struktursats för ändligt genererade moduler över domäner av huvudideal , är det naturligt att ta reda på om det kan utvidgas till fallet med Dedekind-ringar.

Kom ihåg formuleringen av struktursatsen för en modul över en domän av principiella ideal. Vi definierar en torsionsundermodul som uppsättningen av element i ringen så att för vissa icke-noll av . Sedan: $M$ $T$ $m$ $M$ $rm=0$ $r$ $R$

(1) kan sönderdelas i en direkt summa av cykliska torsionsmoduler, som var och en har formen för något ideal som inte är noll för ringen . Enligt den kinesiska restsatsen kan var och en delas upp i en direkt summa av moduler av formen , där är graden av ett primtal ideal. Den resulterande expansionen av modulen är unik upp till faktorernas ordning. $T$ $R/I$ $jag$ $R$ $R/I$ ${\displaystyle R/P^{i))$ ${\displaystyle P^{i))$ $T$

(2) Det finns en komplementär undermodul till modulen så att . $P$ $M$ $M=T\oplus P$

(3) är isomorft för ett unikt bestämt icke-negativt heltal . I synnerhet är det en ändligt genererad gratis modul. $P$ $R^{n}$ $n$ $P$

Låt nu vara en ändligt genererad modul över en Dedekind-ring. Påståenden (1) och (2) förblir sanna för honom också. Det följer emellertid av (3) att varje ändligt genererad torsionsfri modul är fri . I synnerhet följer av detta att alla fraktionsideal är principiella. Med andra ord motsäger icke-trivialiteten hos den ideala klassgruppen Cl [ R ] (3). Det visar sig att antalet "ytterligare" ändligt genererade torsionsfria moduler kan styras genom att känna till den ideala klassgruppen. För en godtyckligt ändligt genererad modul över en Dedekind-ring, uttalandet $M$

(3') är isomorft till den direkta summan av projektiva moduler av rang 1: . Dessutom, för alla projektiva moduler av rang 1 $P$ ${\displaystyle P\cong I_{1}\oplus \cdots \oplus I_{r))$ ${\displaystyle I_{1},\ldots ,I_{r},J_{1},\ldots ,J_{s))$

{\displaystyle I_{1}\oplus \cdots \oplus I_{r}\cong J_{1}\oplus \cdots \oplus J_{s))

exekveras om och endast om

r=s

och

I_{1}\otimes \cdots \otimes I_{r}\cong J_{1}\otimes \cdots \otimes J_{s}.

Projektiva moduler av rang 1 identifieras med bråksideal, så det sista villkoret kan omformuleras som

[I_{1}\cdots I_{r}]=[J_{1}\cdots J_{s}]\in Cl(R).

Därför kan en ändligt genererad torsionsfri rangmodul skrivas som , där är en projektiv modul av rang 1. Steinitz-klassen för en modul P över R är en idealklass i gruppen Cl(R), den är unikt definierad [ 1] . Därför $n>0$ $R^{n-1}\oplus I$ $jag$ $[I]$ $jag$

Sats. Låt R vara en Dedekind-ring. Sedan , där Ko ( R ) är Grothendieck-gruppen av en kommutativ monoid av ändligt genererade projektiva R -moduler. $K_{0}(R)\cong \mathbb {Z} \oplus Cl(R)$

Dessa resultat fastställdes av Ernst Steinitz 1912.

Anteckningar

↑ Fröhlich & Taylor (1991) s.95

Litteratur

Atiyah M., McDonald I. Introduktion till kommutativ algebra. - M: Mir, 1972
Bourbaki N. Kommutativ algebra. - M: Mir, 1971
Zarissky O., Samuel P. Commutative Algebra vols.1-2. - M: IL, 1963
Claborn, Luther (1965), Dedekinds domäner och ringar av kvoter , Pacific J. Math. T. 15: 59–64 , < http://projecteuclid.org/DPubS?service=UI&version=1.0&verb=Display&handle=euclid.pjm/1102995991 > Arkiverad 7 juni 2011 på Wayback Machine
Claborn, Luther (1966), Every abelian group is a class group , Pacific J. Math. T. 18: 219–222 , < http://projecteuclid.org/DPubS?service=UI&version=1.0&verb=Display&handle=euclid.pjm/1102994263 > Arkiverad 7 juni 2011 på Wayback Machine
Clark, Pete L. (2009), Elliptic Dedekind domains revisited , L'Enseignement Mathematique vol 55: 213–225 , < http://math.uga.edu/~pete/ellipticded.pdf > Arkiverad 16 maj 2018 på Wayback-maskin
Fröhlich, A. & Taylor, MJ (1991), II. Dedekind-domäner, Algebraisk talteori , vol. 27, Cambridge studies in advanced mathematics, Cambridge University Press , sid. 35-101, ISBN 0-521-36664-X
Leedham-Green, C.R. (1972), The class group of Dedekind domains , Trans. amer. Matematik. soc. T. 163: 493–500 , DOI 10.2307/1995734
Rosen, Michael (1976), Elliptic curves and Dedekind domains , Proc. amer. Matematik. soc. T. 57 (2): 197–201 , DOI 10.2307/2041187
Steinitz, E. (1912), Rechteckige Systeme und Moduln in algebraischen Zahlkörpern , Math. Ann. V. 71 (3): 328–354 , DOI 10.1007/BF01456849