Integritetsområde

Integritetsregion (eller integralring , eller integritetsregion , eller helt enkelt region ) är ett begrepp av kommutativ algebra : en associativ kommutativ ring utan nolldelare (produkten av valfritt par av element som inte är noll är inte lika med 0).

Den här artikeln följer konventionen att integritetsregioner har ett multiplikativt neutralt element, vanligtvis betecknat som 1, men vissa författare kräver inte att integritetsregioner har ett multiplikativt neutralt element.

Motsvarande definition: En integritetsdomän är en kommutativ ring där nollidealet { 0} är primtal . Varje integritetsdomän är en subring av dess kvotfält .

Exempel

Det enklaste exemplet på en integritetsdomän är ringen av heltal . $\mathbb {Z}$
Alla fält är ett integritetsområde. Å andra sidan är vilken artinisk integritetsdomän som helst ett fält. I synnerhet är alla finita integritetsdomäner finita fält .
Ringen av polynom med koefficienter från någon integralring är också integral. Till exempel kommer ringen av polynom i en variabel med heltalskoefficienter och ringen av polynom i två variabler med reella koefficienter att vara integral. Ringen i formella effektserier med koefficienter från integralringen är också integral. ${\mathbb {Z}}[x]$ ${\mathbb {R}}[x,y]$
Uppsättningen av reella tal i formuläret är en subring av fältet , och därav integritetsdomänen. Detsamma kan sägas om mängden komplexa tal i formen , där och är heltal (uppsättningen av Gaussiska heltal ). $a+b{\sqrt {2}}$ $\mathbb {R}$ $a+bi$ $a$ $b$
Låta vara en ansluten öppen delmängd av det komplexa planet . Då kommer ringen av alla holomorfa funktioner att vara integral. Detsamma gäller för varje ring av analytiska funktioner som definieras på en ansluten delmängd av ett analytiskt grenrör . $U$ $\mathbb {C}$ $H(U)$ $f:U\rightarrow {\mathbb {C}}$
Om är en kommutativ ring och är ett ideal i , då är kvotringen integral om och endast om är ett primärt ideal för . $K$ $jag$ $K$ $K/I$ $jag$

Delbarhet, primtal och irreducerbara element

Låta och vara element i en integrerad ring . De säger att " dividerar " eller " - divisor " ( och skriver ) om och bara om det finns ett sådant element . $a$ $b$ $K$ $a$ $b$ $a$ $b$ $a\mitt b$ $x\i K$ $ax=b$

Delbarhet är transitiv : om delar och delar , så delar . Om delar och , dividerar också summan och skillnaden . $a$ $b$ $b$ $c$ $a$ $c$ $a$ $b$ $c$ $a$ $b+c$ $före Kristus$

För en enhetsring kallas $K$ enhetsdelare , det vill säga element som delar 1, även (algebraiska) enheter . De och bara de har ett omvänt element, så enhetsdelare kallas också inverterbara element . Inverterbara element delar alla andra element i ringen. $a\i K$ $K$

Element och kallas associerade om delar och delar . och är associerade om och endast om , där är ett inverterbart element. $a$ $b$ $a$ $b$ $b$ $a$ $a$ $b$ $a=vara$ $e$

Ett element som inte är noll och som inte är en enhet kallas irreducibelt om det inte kan brytas ned till en produkt av två element som inte är inverterbara . $q$

Ett irreversibelt element som inte är noll kallas enkelt om det följer av att eller följer . Denna definition generaliserar begreppet ett primtal i en ring , men tar även hänsyn till negativa primtal. Om är ett enkelt element i ringen, då är det huvudsakliga ideal som genereras av det enkelt. Alla enkla element är irreducerbara, men det omvända är inte sant inom alla integritetsdomäner. $sid$ $p\mid ab$ $p\mitten a$ $p\mitt b$ $\mathbb {Z}$ $sid$ $(p)$

Egenskaper

Alla fält, såväl som alla ringar med en enhet, som finns i något fält, är en domän av integritet.
- Omvänt kan vilken integritetsregion som helst vara kapslad inom något fält. En sådan inbäddning ges av konstruktionen av kvotområdet.
Den direkta produkten av ringar är aldrig en hel region, eftersom enheten för den första ringen multiplicerad med enheten för den andra ringen ger 0.
Tensorprodukten av integrerade ringar kommer också att vara en integralring.
Egenskapen för integritetsområdet är antingen noll eller ett primtal .

Variationer och generaliseringar

Ibland krävs inte kommutativitet i definitionen av integritetsdomänen. Exempel på icke-kommutativa integritetsdomäner är fasta ämnen , såväl som underringar av fasta ämnen som innehåller en enhet, såsom heltalskvaternioner . Det är dock inte sant att någon icke -kommutativ integritetsdomän kan vara inbäddad i någon kropp.

Litteratur

Vinberg E.B. Algebrakurs. - 3:e uppl. - M . : Factorial Press, 2002. - 544 sid. - 3000 exemplar. — ISBN 5-88688-060-7 .

Inklusionsdiagram över vissa klasser av ringar
kommutativa ringar ⊃ integralringar ⊃ faktoriella ringar ⊃ huvudsakliga idealdomäner ⊃ Euklidiska ringar ⊃ fält