Algebraiskt nummerfält

Algebraiskt talfält , fältet av algebraiska siffror (eller helt enkelt numeriskt fält ) är en finit (och därför algebraisk ) förlängning av fältet av rationella siffror . Således är ett talfält ett fält som innehåller och är ett ändligt dimensionellt vektorutrymme över det. Samtidigt kallar vissa författare vilket delfält av komplexa tal som helst för ett talfält - till exempel M. M. Postnikov i "The Galois Theory". $\mathbb {Q}$ $\mathbb {Q}$

Talfält, och mer allmänt algebraiska förlängningar av området för rationella tal, är det huvudsakliga studieobjektet i algebraisk talteori .

Exempel

Det minsta och grundläggande talfältet är fältet för rationella tal . $\mathbb {Q}$
Gaussiska rationella tal, betecknade, är det första icke-triviala exemplet på ett talfält. Dess element är uttryck för formen ${\mathbb Q}(i)$

a+bi

där och är rationella tal, är den imaginära enheten . Sådana uttryck kan adderas och multipliceras enligt de vanliga reglerna för operationer med komplexa tal , och varje element som inte är noll har en invers, vilket kan ses från likheten

a

b

i

(a+bi)\left({\frac {a}{a^{2}+b^{2}}}-{\frac {b}{a^{2}+b^{2}}}i \right)={\frac {(a+bi)(a-bi)}{a^{2}+b^{2}}}=1.

Det följer att de rationella gaussiska talen bildar ett fält som är ett tvådimensionellt utrymme över (det vill säga ett kvadratiskt fält ).

\mathbb {Q}

Mer generellt, för varje kvadratfritt heltal, kommer det att vara en kvadratisk fältexpansion . $d$ ${\mathbb Q}({\sqrt d})$ $\mathbb {Q}$
Ett cirkulärt fält erhålls genom att addera till den primitiva n :te roten av enhet. Fältet måste innehålla och alla dess krafter (det vill säga alla n :te rötterna av enhet), dess dimension över är lika med Euler-funktionen . ${\mathbb Q}(\zeta _{n})$ $\mathbb {Q}$ $\mathbb {Q}$ $\varphi (n)$
Reella och komplexa tal har oändlig makt över rationella tal, så de är inte talfält. Detta följer av oräknelighet: vilket numeriskt fält som helst kan räknas .
Fältet för alla algebraiska tal är inte numeriskt. Även om tillägget är algebraiskt, är det inte ändligt. $\mathbb {A}$ $\mathbb {A} \supset \mathbb {Q}$

Ring av heltals numeriskt fält

Eftersom ett talfält är en algebraisk förlängning av ett fält , är varje element av det en rot av något polynom med rationella koefficienter (dvs. är algebraisk ). Dessutom är varje element en rot av ett polynom med heltalskoefficienter, eftersom det är möjligt att multiplicera alla rationella koefficienter med produkten av nämnarna. Om ett givet element är en rot av något enhetligt polynom med heltalskoefficienter, kallas det ett heltalselement (eller ett algebraiskt heltal). Alla element i ett talfält är inte heltal: till exempel är det lätt att visa att de enda heltalselementen är vanliga heltal . $\mathbb {Q}$ $\mathbb {Q}$

Det kan bevisas att summan och produkten av två algebraiska heltal återigen är ett algebraiskt heltal, så heltalselementen bildar en subring av talfältet , som kallas ringen av heltalsfält och betecknas med . Fältet innehåller inte nolldelare och den här egenskapen ärvs när den överförs till en subring, så ringen av heltal är integral ; fältet med partiella ringar är själva fältet . Heltalsringen i valfritt talfält har följande tre egenskaper: den är integralt sluten , Noetherian och endimensionell . En kommutativ ring med dessa egenskaper kallas Dedekind , efter Richard Dedekind . $K$ $K$ ${\mathcal O}_{K}$ ${\mathcal O}_{K}$ $K$

Nedbrytning i primtal och klassgrupper

I en godtycklig Dedekind-ring sker en unik nedbrytning av ideal som inte är noll till en produkt av enkla . Men inte varje ring av heltal uppfyller den faktoriella egenskapen : även för ringen av heltal i ett kvadratiskt fält är nedbrytningen inte unik: ${\mathcal O}_{{{\mathbb Q}({\sqrt {-5}})))={\mathbb Z}[{\sqrt {-5}}]$

6=2\cdot 3=(1+{\sqrt {-5)))(1-{\sqrt {-5)))

Genom att införa en norm på denna ring kan vi visa att dessa expansioner verkligen är olika, det vill säga att den ena inte kan erhållas från den andra genom att multiplicera med ett inverterbart element .

Graden av kränkning av den faktoriella egenskapen mäts med hjälp av den ideala klassgruppen , denna grupp för ringen av heltal är alltid ändlig och dess ordning kallas antalet klasser.

Antal fältbaser

Hela basen

En heltalsbas för ett talfält F av grad n är mängden

B = { b 1 , …, b n }

av n element i ringen av heltal i fältet F så att vilket element som helst i ringen av heltal OF i fältet F kan skrivas på ett unikt sätt som en Z - linjär kombination av element i B ; det vill säga för varje x från OF finns det en unik sönderdelning

x \ u003d m 1 b 1 + ... + m n b n ,

där m i är vanliga heltal. I det här fallet kan vilket element av F som helst skrivas som

m 1 b 1 + … + m n b n ,

där m i är rationella tal. Därefter kännetecknas heltalselement av F av egenskapen att dessa är exakt de element för vilka alla m i är heltal.

Med hjälp av verktyg som lokalisering och Frobenius-endomorfism kan man konstruera en sådan grund för vilket talfält som helst. Dess konstruktion är en inbyggd funktion i många datoralgebrasystem .

Kraftbas

Låt F vara ett talfält av grad n . Bland alla möjliga baser av F (som ett Q -vektorrum) finns det potensbaser, det vill säga baser av formen

B x = {1, x , x 2 , …, x n −1 }

för några x ∈ F . Enligt primitiva elementsatsen finns ett sådant x alltid, det kallas det primitiva elementet i den givna förlängningen.

Normera och spåra

Ett algebraiskt talfält är ett ändligt dimensionellt vektorutrymme över (låt oss beteckna dess dimension som ), och multiplikation med ett godtyckligt element i fältet är en linjär transformation av detta utrymme. Låt vara någon bas F , då motsvarar transformationen matrisen som definieras av villkoret $\mathbb {Q}$ $n$ $e_{1},e_{2},\ldots e_{n}$ $x\mapto \alpha x$ $A=(a_{{ij}})$

\alpha e_{i}=\summa _{{j=1}}^{n}a_{{ij}}e_{j},\quad a_{{ij}}\in {\mathbf {Q}}.

Elementen i denna matris beror på valet av basen, men alla matrisinvarianter , såsom determinant och trace , är inte beroende av den . I samband med algebraiska förlängningar kallas determinanten för en matris multiplicerad med ett element normen för det elementet (betecknad ); spåret av en matris är spåret av ett element (betecknat med ). $N(x)$ ${\text{Tr}}(x)$

Elementspåret är en linjär funktion på F :

{\text{Tr))(x+y)={\text{Tr))(x)+{\text{Tr))(y)

och .

{\text{Tr))(\lambda x)=\lambda {\text{Tr))(x),\lambda \in {\mathbb Q}

Normen är en multiplikativ och homogen funktion:

N(xy)=N(x)\cdot N(y)

och .

N(\lambda x)=\lambda ^{n}N(x),\lambda \in {\mathbb Q}

Som den initiala basen kan du välja en , multiplikation med ett heltalsalgebraiskt tal (det vill säga med ett element i ringen av heltal ) i denna bas kommer att motsvara en matris med heltalselement . Därför är spåret och normen för alla element i ringen av heltal heltal.

Ett exempel på användning av normen

Låta vara ett naturligt tal fritt från rutor , då vara ett kvadratiskt fält (i synnerhet är ett talfält). Vi väljer en heltalsbas i detta fält ( är ett heltalselement, eftersom det är roten till det reducerade polynomet ). I denna bas motsvarar multiplikation med matrisen $d$ ${\mathbb Q}({\sqrt d})$ $(1,{\sqrt d})$ ${\sqrt d}$ $x^{2}-d$ $a+b{\sqrt d}$

{\begin{pmatrix}a&db\\b&a\end{pmatrix}}

Därför, . På elementen i ringen tar denna norm heltalsvärden. Normen är en homomorfism av en multiplikativ grupp till en multiplikativ grupp , så normen för inverterbara element i en ring kan bara vara lika med eller . För att lösa Pells ekvation räcker det att hitta alla reversibla element i ringen av heltal (även kallade ringenheter ) och välja bland dem som har en norm . Enligt Dirichlets enhetssats är alla inverterbara element i en given ring potenser av ett element (upp till multiplikation med ), så för att hitta alla lösningar till Pells ekvation räcker det med att hitta en grundläggande lösning. $N(a+b{\sqrt d})=a^{2}-db^{2}$ ${\mathbb Z}[{\sqrt d}]$ ${\mathbb Z}[{\sqrt d}]$ $\mathbb {Z}$ $ett$ $-ett$ $a^{2}-db^{2}=1$ $ett$ $-ett$

Se även

Kummers teori

Litteratur

H. Koch. Algebraisk talteori . - M .: VINITI , 1990. - T. 62. - 301 sid. - (Resultat av vetenskap och teknik. Serien "Modern problem of mathematics. Fundamental directions".).
Chebotarev N.G. Grunderna i Galois teori. Del 2. - M . : Editorial URSS, 2004.
Weil G. Algebraisk talteori. Per. från engelska. - M . : Editorial URSS, 2011.
Serge Lang , Algebraic Number Theory, andra upplagan, Springer, 2000