Primitiv elementsats

Primitiva elementsatsen är ett resultat i fältteorin som beskriver förhållanden under vilka en finit fältförlängning är enkel . Mer i detalj kännetecknar primitiva elementsatsen förlängningar av finit grad så att det finns ett primitivt element med . $E\supseteq F$ $\alfa \i E$ $E=F[\alpha ]=F(\alpha )$

Terminologi

Låt vara en godtycklig förlängning av området. Ett element sägs vara ett primitivt element för förlängning if $E\supseteq F$ $\alfa \i E$ $E\supseteq F$

E=F(\alfa ).

Tillägg för vilka det finns minst ett primitivt element kallas enkla tillägg . Vilket element som helst i en enkel tillägg kan skrivas som $x\i E$

x={\frac {f_{{n-1}}{\alpha }^{{n-1}}+\cdots +f_{1}{\alpha }+f_{0}}{g_{{k- 1}}{\alpha }^{{k-1}}+\cdots +g_{1}{\alpha }+g_{0}}}

var

f_{i},g_{i}\i F,\alpha \i E

Om den dessutom är separerbar och har grad n , finns det sådan att mängden $E\supseteq F$ $\alfa \i E$

\{1,\alpha ,\cdots ,{\alpha }^{{n-1}}\}

utgör en grund för E som ett vektorrum över F.

Formulering

Följande påstående om satsen beror på Emil Artin :

Sats. Låt vara en finit field extension. Då för vissa om och endast om antalet mellanliggande fält K i formen är ändligt. $E\supseteq F$ $E=F(\alpha )$ $\alfa \i E$ $E\supseteq K\supseteq F$

En mer traditionell formulering av primitiva elementsatsen följer av detta uttalande:

Följd. Låta vara en ändlig separerbar förlängning av . Sen för vissa . $E\supseteq F$ $E=F(\alpha )$ $\alfa \i E$

Denna följd kan omedelbart appliceras på godtyckliga algebraiska talfält , eftersom fältet har karakteristiken 0, varför varje förlängning av den är separerbar. $\mathbb {Q}$

Exempel

Det är långt ifrån uppenbart att om vi lägger till rötterna av polynom och , efter att ha fått ett fält av grad 4 över , så finns det ett element genom vars grader både och uttrycks . Det visar sig dock att detta villkor är uppfyllt $\mathbb {Q}$ $x^{2}-2$ $x^{2}-3$ ${\mathbb {Q}}({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})$ $\mathbb {Q}$ $\gamma \in {\mathbb {Q}}({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})$ ${\sqrt {2}}$ ${\sqrt {3}}$

\gamma ={\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}

Potenserna uttrycks som en summa och med heltalskoefficienter. Efter att ha skrivit motsvarande system med linjära ekvationer, kan vi uttrycka från det och (till exempel ), av vilket det följer att det är ett primitivt element. $\gamma ,\gamma ^{2},\gamma ^{3}$ ${\sqrt 2},{\sqrt 3}$ ${\sqrt 2}\cdot {\sqrt 3}$ ${\sqrt {2}}$ ${\sqrt {3}}$ ${\sqrt {2}}=\scriptstyle {\frac {\gamma ^{3}-9\gamma }2}$ $\gamma$

Anteckningar

Van der Waerden B. L. Algebra - M:, Nauka, 1975
Bevis på satsen på mathreference.com
Bevis för satsen på Ken Browns hemsida