Fältteori

Fältteori  är en gren av matematiken som studerar fältens egenskaper , det vill säga strukturer som generaliserar egenskaperna för addition, subtraktion, multiplikation och division av tal .

Historik

• På 1820- och 1830-talen användes begreppet ett fält implicit av Niels Abel och Évariste Galois i deras arbete om lösbarheten av ekvationer i radikaler.
• År 1871 kallade Richard Dedekind ett "fält" för en delmängd av reella eller komplexa tal som stängs under fyra matematiska operationer.
• År 1881 studerade Leopold Kronecker egenskaperna hos algebraiska talfält och kallade dem "rationalitetens regioner".
• 1893 gav Heinrich Weber den första tydliga definitionen av ett abstrakt fält.
• År 1910 publicerade Ernst Steinitz det berömda verket Algebraische Theorie der Körper ( tyska : Algebraic Field Theory), där han utvecklade axiomatisk fältteori och föreslog många viktiga begrepp som primfältet , det perfekta fältet och graden av transcendens av en fältförlängning .

Fältkommutativitet

De första definitionerna av ett fält inkluderade inte kravet att multiplikation skulle vara kommutativ, men den moderna termen "fält" antyder alltid att den är kommutativ. En struktur som uppfyller alla egenskaper hos ett fält, förutom kommutativiteten av multiplikation, i den ryska traditionen kallas en kropp . Men på tyska heter fältet Körper (därav används bokstaven ofta för att beteckna fältet), och på franska - corps , som också översätts som "kropp".

Tillämpningar av fältteori

Begreppet ett fält används till exempel i definitionen av ett vektorrum , och är därför av stor betydelse i linjär algebra . På liknande sätt  definieras en algebraisk variation  , det huvudsakliga studieobjektet i algebraisk geometri , över ett godtyckligt fält. Algebraisk talteori behandlar studiet av egenskaperna hos algebraiska talfält och deras ringar av heltal; och, naturligtvis, använder resultaten av klassisk fältteori.

Finita fält används i talteori och kodningsteori . Speciellt områden med egenskap 2 är användbara att överväga inom datavetenskap .

Några användbara satser

• Primitiv elementsats
• Wedderburns lilla teorem
• Grundläggande teorem för Galois teori

Se även

• Galois teori

Anteckningar

• Allenby, R. B. J. T. Ringar, fält och grupper  (obestämd) . — Butterworth-Heinemann, 1991.
• Blyth, T.S.; Robertson, E. F. Grupper, ringar och fält : Algebra genom övning, bok 3  . — Cambridge University Press , 1985.
• Blyth, T.S.; Robertson, E. F. Ringar, fält och moduler: Algebra genom praktik, bok  6 . — Cambridge University Press , 1985.