Algebraisk variation

En algebraisk variant är det centrala studieobjektet i algebraisk geometri . Den klassiska definitionen av en algebraisk variant är uppsättningen av lösningar till ett system av algebraiska ekvationer över reella eller komplexa tal. Moderna definitioner generaliserar det på olika sätt, men försök att hålla den geometriska intuitionen förenlig med denna definition [1] .

Definitionen av en algebraisk varietet kan variera något mellan författare: vissa författare [2] inkluderar egenskapen irreducibility i definitionen (detta betyder att en sort inte kan vara föreningen av mindre sorter, se nedan), medan vissa [3] skiljer mellan irreducerbar och "allmän" mångfald. I den här artikeln kommer vi att hålla oss till den första konventionen och kommer att kalla uppsättningarna av lösningar till ekvationssystem som inte är irreducerbara algebraiska mängder .

Begreppet en algebraisk sort har viss likhet med begreppet en jämn sort . Skillnaden är att algebraiska varianter, till skillnad från släta varianter, kan ha singulära punkter . En grannskap med en icke-singular punkt av en verklig algebraisk sort är isomorf till en jämn sort.

Bevisat runt 1800, etablerade den grundläggande algebrasatsen ett samband mellan algebra och geometri , vilket visar att ett reducerat polynom i en variabel (algebraiskt objekt) bestäms unikt av dess komplexa rötter, det vill säga en ändlig uppsättning punkter på det komplexa planet ( geometriska objekt). Hilberts nollsats , som generaliserade detta resultat, etablerade en grundläggande överensstämmelse mellan polynomringsideal och algebraiska varianter. Med hjälp av Hilberts nollsats och relaterade resultat, etablerade matematiker en överensstämmelse mellan frågor om algebraiska varianter och frågor om ringteori ; användningen av sådana överensstämmelser är ett kännetecken för algebraisk geometri.

Definitioner

Det finns olika typer av algebraiska varianter: affina varianter, projektiva varianter, kvasiprojektiva varianter. En algebraisk variant i den mest allmänna meningen erhålls genom att limma ihop flera kvasiprojektiva varianter.

Affina sorter

Låt k vara ett algebraiskt slutet fält (i klassisk algebraisk geometri, fältet för komplexa tal ); är ett n - dimensionellt affint rum över k . Det finns ett teorem från klassisk analys som säger att slutna delmängder är exakt nollmängderna av alla möjliga oändligt differentierbara funktioner . [4] Zariski-topologin utökar på sätt och vis denna egenskap till fallet med polynomfunktioner : vid definitionen av Zariski-topologin är varje uppsättning polynom i n variabler associerad med uppsättningen av punkter i det affina utrymmet där alla dessa polynom försvinner: ${\mathbb A}^{n}$ $\mathbb {R} ^{n}$

Z(S)=\{x\in {\mathbb A}^{n}\mid f(x)=0\;\forall f\in S\}.

Slutna mängder i Zariski-topologin är alla mängder av formen Z ( S ), även dessa slutna mängder kallas algebraiska mängder . En affin algebraisk varietet är en algebraisk mängd som inte kan representeras som föreningen av två mindre algebraiska mängder. ${\mathbb A}^{n}$

En delmängd kan associeras med ett ideal som består av polynom lika med noll på denna delmängd: $V\subseteq \mathbb {A} ^{n}$

I(V)=\{f\in k[x_{1},\ldots ,x_{n}]\mid f(x)=0\;\forall x\in V\}.

I det fall där V är en algebraisk varietet kallas faktorringen i polynomringen med det ideala I ( V ) koordinatringen för den givna varieteten, vanligtvis betecknad med k [ V ]. Observera att en algebraisk mängd V är en variation om och endast om I ( V ) är ett primideal (eller, ekvivalent, koordinatringen är integral ).

Projektiva och kvasiprojektiva varianter

Låt k vara ett algebraiskt slutet fält och vara ett n - dimensionellt projektivt utrymme över k , det vill säga en projektivisering . Inget polynom definierar en funktion på detta utrymme (eftersom en punkt har många olika homogena koordinater), men för ett homogent polynom i n + 1 variabler kan man korrekt bestämma punkterna där polynomet är lika med noll (eftersom proportionella homogena koordinater motsvarar proportionella värden för det homogena polynomet). Således kan uppsättningen av homogena polynom S associeras med uppsättningen av punkter Z ( S ) där alla dessa polynom är lika med noll, detta definierar Zariski-topologin på det projektiva rummet. En projektiv algebraisk variation är en irreducibel sluten (i Zariski-topologin) delmängd av ett projektivt utrymme . Mängden V kan associeras med ett homogent ideal genererat av homogena polynom som försvinner på V . En kvotring av den kallas en homogen koordinatring . ${\mathbb P}^{n}$ ${\mathbb A}^{{n+1}}$ ${\mathbb {P}}^{n}$

En kvasiprojektiv varietet är en öppen delmängd av en projektiv sort. I synnerhet är vilken affin sort som helst isomorf till en kvasiprojektiv [5] .

Abstrakta algebraiska varianter

I klassisk algebraisk geometri övervägdes endast kvasiprojektiva varianter. Nackdelen med denna definition är att man måste fixera en viss inbäddning av en sort i ett projektivt utrymme: man kan till exempel inte kalla en sort för en sort förrän dess inbäddning i ett projektivt utrymme är given (för att specificera en sådan inbäddning har man för att använda Segre-inbäddningen ). Dessutom, om en algebraisk variant kan bäddas in i ett projektivt utrymme, kan den bäddas in i ett oändligt antal andra genom att använda komposition med Veronese-inbäddning . Det är långt ifrån självklart att egenskaper hos grenrör (såsom egenskapen hos en mappning mellan grenrör att vara regelbunden) inte beror på valet av en sådan inbäddning. ${\mathbb P}^{1}\times {\mathbb P}^{1}$

Det första försöket att definiera en algebraisk sort abstrakt (dvs utan att specificera en inbäddning i ett projektivt utrymme) gjordes av Weil , som definierade varianter i termer av värderingar i Foundations of Algebraic Geometry . Claude Chevallet föreslog en schemadefinition som fungerade i fler situationer. Men Alexander Grothendiecks definition av ett schema var ännu mer generell och accepterades av ett stort antal matematiker. I schemateorin definieras en algebraisk varietet vanligtvis som ett helt separerbart schema av finit typ över ett algebraiskt stängt fält [6] , vissa författare avvisar också kravet på algebraisk stängning eller irreducerbarhet.

Exempel

Nedan finns några exempel på algebraiska varianter (desutom är de alla algebraiska kurvor ). Många andra exempel kan hittas i kategorin algebraiska kurvor .

Specialfall av algebraiska sorter

Dimension av ett grenrör→ Polynomgrad↓	0	ett	2	…	k
ett	Punkt	Hetero	Plan	…	hyperplan
2		Konika	Andra ordningens yta	…	Quadric
3		kub	Yta av tredje ordningen	…	3:e ordningens grenrör
fyra		kvarts	Yta av fjärde ordningen	…	Fördelare 4 beställningar
…		…	…	…	…
k		Algebraisk kurva	Algebraisk yta	…	Algebraisk variation

Affin linje

Betrakta ett polynom från ringen ${\mathbb C}[x,y]:$

f(x,y)=ax+by+c.

Mängden nollor för detta polynom är en affin linje i . För att bevisa att en affin linje är en algebraisk variant räcker det att lägga märke till att polynomet är irreducerbart och ringen k [ x , y ] är faktoriell (i en faktorialring är huvudidealet som genereras av ett irreducerbart polynom enkelt ). ${\mathbb C}^{2}$ $yxa+by+c$

Quadrics

Alla ellipser, paraboler och hyperboler (det vill säga alla icke- degenererade kvadriker ) är algebraiska undergrenar av det komplexa planet. En degenererad quadric är inte alltid en algebraisk variant: till exempel kan en quadric representeras som en förening av två linjer, i det här fallet är en sådan representation unik. Detta är ingen tillfällighet: vilken algebraisk mängd som helst kan representeras som en förening av ett ändligt antal algebraiska varianter (av vilka ingen är en undervarietet av en annan), och dessutom på ett unikt sätt [7] . $xy$

Twisted Cube

Uppsättningen av punkter i rymden som har formen är en affin algebraisk variation, och dessutom en algebraisk kurva som inte finns i något plan. [8] Denna uppsättning är den "tvinnade kuben" som visas i illustrationen ovan (mer exakt, dess projektion på ett tredimensionellt verkligt utrymme visas). Det kan definieras som uppsättningen gemensamma nollor i två ekvationer: ${\mathbb C}^{3}$ $(z,z^{2},z^{3})$

{\begin{aligned}yx^{2}&=0\\zx^{3}&=0.\,\end{aligned}}

Det enklaste sättet att bevisa irreducerbarheten av denna uppsättning är att använda projektionen ( x , y , z ) → ( x , y ), som är injektiv på uppsättningen av lösningar och vars bild är en irreducerbar kurva (parabel).

Den vridna kubiken brukar betraktas som en projektiv variant i , vilket är bilden av den Veronese kartläggningen . I många läroböcker ges det som det enklaste exemplet på en kurva i ett projektivt utrymme som inte är linjärt. Bilden av denna sort i ett av de affina diagrammen övervägdes ovan . ${\mathbb P}^{3}$

Relaterade definitioner

Regelbunden visning

En vanlig mappning mellan affina sorter är en mappning som ges av polynom. Mer exakt, om är affina grenrör, är en vanlig mappning en mappning av formen , där , och , det vill säga bilden av vilken punkt som helst från X uppfyller ekvationerna som definierar Y . $X\in {\mathbb A}^{n},Y\in {\mathbb A}^{m}$ $f=(f_{1},\dots ,f_{m})$ $f_{i}\in k[x_{1},\dots ,x_{n}]/I(X)$ $f(X)\subseteq Y$

Mer generellt är en mappning ƒ : X → Y av kvasiprojektiva varianter regelbunden i en punkt x om det finns en grannskap U av x och en grannskap V av f ( x ) så att begränsningen ƒ : U → V är en regelbunden kartläggning av (affina) sorter. Då är en mappning regelbunden om den är regelbunden på alla punkter i definitionsdomänen.

En vanlig mappning till kallas en vanlig funktion . Ringen av reguljära funktioner på en affin sort V kallas koordinatringen k [ V ]. Denna definition sammanfaller med definitionen av en koordinatring som ges ovan , eftersom två reguljära funktioner inte sammanfaller om och endast om deras skillnad tillhör . Denna ring sammanfaller också med ringen av rationella funktioner vars värden är ändliga på alla punkter av V (beviset för detta faktum använder sortens irreducibility [9] ), eller, mer abstrakt, med ringen av globala sektioner av den strukturella kärven på V (se artiklarna Spektrum av en ring , Schema ). Man kan också betrakta funktionsfältet k ( V ) på en algebraisk variant V , bestående av alla rationella funktioner på V. ${\mathbb A}^{1}$ ${\mathbb A}^{n}$ $V\in {\mathbb A}^{n}$ $I(V)$

Regelbundna avbildningar är per definition morfismer i kategorin algebraiska varianter. I synnerhet av det faktum att kategorin affina scheman är dubbel till kategorin kommutativa ringar , följer det att regelbundna mappningar mellan affina sorter är i en-till-en-överensstämmelse med homomorfismer av deras koordinatringar.

En reversibel regelbunden mappning vars invers också är regelbunden kallas biregular mappning . Algebraiska varianter är isomorfa om och bara om det finns en biregelbunden mappning mellan dem.

Regelbundenheten hos en avbildning är ett ganska starkt villkor: till exempel följer det av Liouvilles sats att de enda reguljära funktionerna på en projektiv varietet är konstanter. Av denna anledning används ofta svagare villkor - kartläggningens rationella och birationella ekvivalens av sorter.

Dimension av ett grenrör

Låt k [ V ] vara koordinatringen för V. Då är dimensionen för V graden av transcendens av fältet av bråkdelar av ringen k [ V ] som en förlängning av fältet k [10] .

Det finns många motsvarande definitioner av dimension. Låt till exempel x vara en godtycklig icke-singular punkt av sorten V , då tillåter strukturen på V att definiera en lokal ring R x av "rationella funktioner i punkten x " med ett maximalt idealt m , sedan dimensionen av sorten är dimensionen av faktorringen m / m 2 som ett vektorrum över fältet R x / m . En annan definition: dimensionen av en affin sort A är det högsta av n så att det finns en kedja av affina subvarieteter . $X_{0}\subsetneq X_{1}\subsetneq \ldots \subsetneq X_{n}=A$

Algebraiska varianter av dimension 1 kallas algebraiska kurvor . Oftast betraktas komplexa algebraiska kurvor; i närheten av en icke-singular punkt är de homeomorfa till en tvådimensionell verklig sort . Släktet för en komplex algebraisk kurva är släktet för motsvarande topologiska yta.

Algebraiska varianter av dimension 2 kallas algebraiska ytor .

Se även

Schema (matematik)

Anteckningar

↑ Hartshorne, 1981 , sid. 86-88.
↑ Hartshorne, 1981 , sid. arton.
↑ Harris, 2005 , sid. 17.
↑ Jet Nestruev . Släta grenrör och observerbara. Kapitel 2, proposition 2.4.
↑ Hartshorne, 1981 , övning 2.9, sid. trettio.
↑ Hartshorne, 1981 , sid. 141.
↑ Hartshorne, 1981 , sid. 21.
↑ Harris, sid. 24; irreducerbarheten av denna uppsättning är en övning i Hartshorne, sid. 24.
↑ Hartshorne, 1981 , sid. 35.
↑ Harris, 2005 , sid. 171.

Litteratur

Mumford D. Röd bok om grenrör och scheman. - M. : MTsNMO, 2007. - 296 sid. — ISBN 978-5-94057-195-7 .
Hartshorne R. Algebraisk geometri. — M .: Mir, 1981. — 597 sid.
Shafarevich I. R. Grunderna i algebraisk geometri. - M. : MTSNMO, 2007. - 589 sid. - ISBN 978-5-94057-085-1 .
Harris J. Algebraisk geometri. Inledande kurs. - M. : MTSNMO, 2005. - 400 sid. - ISBN 5-94057-084-4 .

Länkar

Ravi Vakil , MATH 216: Grunderna för algebraisk geometri Arkiverad 5 oktober 2013 på Wayback Machine (Version 6/11/2013) - Anteckningar från en kurs i algebraisk geometri som undervisas vid Stanford University.
SURFER Arkiverad 2 juli 2017 på Wayback Machine är ett gratisprogram för att visualisera algebraiska ytor.