Bilagan

Inbäddning (eller inkludering ) är en speciell typ av kartläggning av en instans av någon matematisk struktur till en andra instans av samma typ. Nämligen, inbäddningen av något objekt i ges av en injektiv mappning som bevarar viss struktur. Vad "bevarande av struktur" betyder beror på vilken typ av matematisk struktur vars objekt är och . I kategoriteoretiska termer kallas en "strukturbevarande" kartläggning en morfism . $X$ $Y$ $X$ $Y$

Att en bildskärm är kapslad indikeras ofta med en "krokad pil" så här: . $f:X\till Y$ $f:X\hookrightarrow Y$

Givet och kan det finnas flera möjliga häckningar. I många fall finns det en standard (eller "kanonisk") inbäddning - till exempel inbäddningar av naturliga tal i heltal, heltal i rational, rational i reella och reella i komplexa . I sådana fall definierar man vanligtvis en domän med ett mönster så att . $X$ $Y$ $X$ $f(X)\subset Y$ $X\subseteq Y$

Geometri och topologi

Allmän topologi

En kartläggning av topologiska utrymmen kallas en inbäddning i if är en homeomorfism [1] (på anses topologin inducerad med ). Varje inbäddning är kontinuerlig och injektiv . $f:X\till Y$ $X$ $Y$ $f:X\to f(X)\subset Y$ $f(X)$ $Y$

För ett utrymme är förekomsten av en inbäddning en topologisk invariant . Vi kan skilja mellan två utrymmen om en av dem kan bäddas in i och den andra inte. $X$ $X\to Y$ $Y$

Differentiell topologi

Låt vara jämna grenrör och vara en smidig kartläggning . Det kallas en nedsänkning om differentialen för mappningen är injektiv överallt . En mjuk inbäddning är en injektiv nedsänkning, vilket också är en inbäddning i ovanstående mening (det vill säga en homeomorfism på sin egen bild ). [2] $M, N$ $f:M\to N$ $df$ $f$

Med andra ord, den omvända bilden av en inbäddning är diffeomorf i förhållande till dess bild, och i synnerhet måste bilden av en inbäddning vara en undergren . Nedsänkningen är i sin tur en lokal inbäddning (det vill säga för varje punkt finns det ett grannskap , sådant som är en inbäddning). $x\i M$ $U\subset M,x\in U$ $f:U\to N$

Ett viktigt specialfall är när N = R n . Den intressanta frågan här är hur litet n kan vara . Whitneys inbäddningssats [3] säger att n=2m är tillräckligt , där m är grenrörets dimension.

Algebra

Ringteori

I ringteorin är en inbäddning en injektiv homomorfism av ringar . Eftersom det är en subring av ringen , etablerar inbäddningen en isomorfism mellan ringarna och . $f\kolon A\till B$ $fa)$ $B$ $f$ $A$ $fa)$

Kategoriteori

Inom kategoriteorin finns det ingen tillfredsställande definition av inbäddning som passar alla kategorier. Typiska krav för att definiera en inbäddning i en godtycklig kategori är följande: alla isomorfismer är inbäddningar, sammansättningen av inbäddningar är en inbäddning, alla inbäddningar är monomorfismer och all extrem monomorfism är en inbäddning.

I en viss kategori är en inbäddning en morfism ƒ : A → B som verkar injektivt på bäraruppsättningarna och är också en initial morfism i följande betydelse: om g är en funktion från bäraruppsättningen av objekt C till bäraruppsättningen A , och dess sammansättning med ƒ är en morfism ƒg : C → B , då är g också en morfism.

Som vanligt inom kategoriteorin finns det ett dubbelbegrepp som kallas en faktor.

Se även

Nedsänkning (topologi)

Anteckningar

↑ Sharpe, RW (1997), Differential Geometry: Cartan's Generalization of Klein's Erlangen Program , Springer-Verlag, New York, ISBN 0-387-94732-9 , sida 16.
↑ Warner, F.W. (1983), Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups , Springer-Verlag, New York, ISBN 0-387-90894-3 , sidan 22.
↑ Whitney H., Differentiable manifolds, Ann. av matte. (2), 37 (1936), 645-680.