Naturligt nummer

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 5 september 2022; verifiering kräver 1 redigering .

Naturliga tal (av lat. naturalis "naturliga") - tal som uppstår naturligt vid räkning (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, och så vidare [1] ). Följden av alla naturliga tal ordnade i stigande ordning kallas den naturliga serien [2] .

Mängden naturliga tal är oändlig, eftersom det för alla naturliga tal finns ett naturligt tal som är större än . Negativa och icke-heltalliga tal klassificeras inte som naturliga tal. $n$ $n$

Egenskaperna hos naturliga tal och operationer med dem studeras med aritmetik och (mer djupgående) talteori .

Historik

Forntida period

Det mest primitiva sättet att representera ett naturligt tal är att sätta en etikett när man räknar varje objekt. Senare kan en uppsättning objekt kontrolleras för likhet, överskott eller brist – genom att ta bort märket och ta bort objektet från uppsättningen. Det första stora framstegen inom abstraktionen var användningen av siffror för att beteckna naturliga tal. Detta möjliggjorde utvecklingen av system för att skriva stora siffror. De forntida egyptierna utvecklade ett omfattande siffersystem med tydliga hieroglyfer för 1, 10 och alla makter från 10 till över 1 miljon. På en stenristning från Karnak , med anor från ca 1500 f.Kr. och nu i Louvren är siffran 276 avbildad som 2 hundra, 7 tiotal och 6 ettor; och på liknande sätt för numret 4622 [3] .

En mycket nyare utveckling var utvecklingen av idén att noll kunde ses som ett tal med en egen siffra. Användningen av siffran 0 för att beteckna en plats (i andra siffror) går tillbaka till 700 f.Kr. av babylonierna, som utelämnade en sådan siffra när det var det sista tecknet i siffran [a] . Noll användes som ett tal i medeltida kalkyl (beräknar datumet för påsk) som började med Dionysius Exiguus år 525 e.Kr., utan att representeras av en siffra (standardromerska siffror har ingen symbol för 0). Istället användes lat för att beteckna nollvärdet. nulla (eller genitiv lat. nullae som betyder "nej") [5] . Användningen av noll i modern tid uppstod med den indiske matematikern Brahmagupta år 628 e.Kr.

Den första systematiska studien av siffror som abstraktioner tillskrivs vanligtvis de grekiska filosoferna Pythagoras och Arkimedes . Vissa grekiska matematiker behandlade siffran 1 annorlunda än stora siffror, och ibland inte alls som siffran [b] . Euklid, till exempel, definierade först essensen av en enhet, och sedan talet som en uppsättning enheter, så enligt hans definition är en enhet inte ett tal, och det finns inga unika tal (till exempel två valfria enheter från en obestämd uppsättning enheter är talet 2) [7] .

Modern period

I 1800-talets Europa fördes det matematiska och filosofiska diskussioner om de naturliga talens exakta natur. Henri Poincaré var en av förespråkarna för ett sådant koncept, liksom Leopold Kronecker , som sammanfattade sin tro som: " Gud skapade hela talen, allt annat är människans verk ." Ett sådant begrepp har definierats som naturalistiskt [c] .

I motsats till naturforskare såg konstruktivister behovet av att förbättra den logiska grunden i matematikens grunder. På 1860 -talet föreslog Hermann Grassmann en rekursiv definition av de naturliga talen och påstod därmed att de inte är helt naturliga utan är en konsekvens av definitionerna. Vidare konstruerades två klasser av sådana formella definitioner; de visade sig senare vara likvärdiga i de flesta praktiska tillämpningar.

Mängdsteoretiska definitioner av naturliga tal initierades av Frege. Inledningsvis definierade han ett naturligt tal som klassen av alla mängder som står i en-till-en-korrespondens med en viss mängd. Men denna definition har lett till paradoxer, inklusive Russells paradox . För att undvika sådana paradoxer ändrades formalismen på ett sådant sätt att ett naturligt tal definieras som en specifik mängd, och varje mängd som kan sättas i en en-till-en överensstämmelse med denna mängd sägs ha detta antal element [9] .

Den andra klassen av definitioner introducerades av Charles Sanders Peirce , förfinad av Richard Dedekind och utforskad av Giuseppe Peano - detta tillvägagångssätt kallas nu för Peanos axiom . Det är baserat på axiomatisering av egenskaperna hos ordningstal: varje naturligt tal har en efterföljare, och varje naturligt tal som inte är noll har en unik föregångare. Peano-aritmetik motsvarar flera svaga system av mängdlära. Ett sådant system är Zermelo-Fraenkel-systemet (ZFC), där oändlighetens axiom ersätts av dess negation. Bland de satser som kan bevisas i ZFC men som inte kan bevisas med hjälp av Peanos axiom är Paris-Harrington- satsen, Goodstein - satsen och andra [10] .

Baserat på denna grund av definitioner är det lämpligt att inkludera noll (motsvarande den tomma mängden) som ett naturligt tal. Införandet av noll är nu vanligt bland mängdteori [11] och logiska konstruktioner [12] .

Placera noll

Det finns två sätt att definiera naturliga tal:

siffror som uppstår när man räknar (numrerar) objekt: första , andra , tredje , fjärde , femte ...;
siffror som visas när antalet artiklar anges: 0 artiklar , 1 artiklar , 2 artiklar , 3 artiklar , 4 artiklar , 5 artiklar ...

I det första fallet börjar serien av naturliga tal från ett , i det andra - från noll . Det finns ingen gemensam åsikt för de flesta matematiker om preferensen för den första eller andra metoden (det vill säga om noll ska betraktas som ett naturligt tal eller inte). I de allra flesta ryska källor används traditionellt det första tillvägagångssättet [13] . Det andra tillvägagångssättet, till exempel, tas i Nicolas Bourbakis skrifter , där naturliga tal definieras som kardinaliteter av ändliga mängder . Närvaron av noll underlättar formuleringen och bevisningen av många teorem i aritmetiken av naturliga tal, så det första tillvägagångssättet introducerar det användbara konceptet med en utökad naturlig serie inklusive noll [13] .

Mängden av alla naturliga tal betecknas vanligtvis med symbolen . Internationella standarder ISO 31-11 (1992) och ISO 80000-2 (2009) fastställer följande beteckningar [14] : $\mathbb {N}$

$\mathbb {N}$ - naturliga tal, inklusive noll: $\{0,1,2,3,4\dots\}.$
$\mathbb {N^{*}}$ - naturliga tal utan noll: $\{1,2,3,4\dots\}.$

Samma som i ISO, notationen för uppsättningen naturliga tal är fixerad i den ryska GOST 2011: R 54521-2011, tabell 6.1 [15] . Ändå, i ryska källor är denna standard ännu inte observerad - i dem betecknar symbolen naturliga tal utan noll, och den utökade naturliga serien betecknas , etc. [13] $\mathbb {N}$ ${\displaystyle \mathbb {N} _{0},\mathbb {Z} _{+},\mathbb {Z} _{\geqslant 0))$

Axiom som gör det möjligt att definiera mängden naturliga tal

Peanos axiom för naturliga tal

En uppsättning kommer att kallas en uppsättning naturliga tal om något element 1 (ett), en funktion med definitionsdomänen , kallad successionsfunktionen ( ), är fixerad, och följande villkor är uppfyllda: $\mathbb {N}$ $S$ $\mathbb {N}$ $S\colon \mathbb {N}$

element ett tillhör denna mängd ( ), det vill säga det är ett naturligt tal; $1\in\mathbb{N}$
talet efter ett naturligt tal är också ett naturligt tal (om , då eller, i en kortare notation, ); $x\in \mathbb {N}$ $S(x)\in \mathbb {N}$ $S\colon \mathbb {N} \to \mathbb {N}$
enheten följer inte något naturligt tal ( ); $\nexists x\i \mathbb {N} \ (S(x)=1)$
om ett naturligt tal direkt följer både ett naturligt tal och ett naturligt tal , då är och samma tal (om och , då ); $a$ $b$ $c$ $b$ $c$ $S(b)=a$ $S(c)=a$ $b=c$
( induktionsaxiom ) om någon proposition (påstående) bevisas för ett naturligt tal ( induktionsbas ) och om från antagandet att det är sant för ett annat naturligt tal följer att det är sant för nästa naturliga tal ( induktivt antagande ) , då är detta påståendet sant för alla naturliga tal (låt vara något unärt (unärt) predikat , vars parameter är ett naturligt tal . Sedan, om och , då ). $P$ $n=1$ $n$ $n$ $P(n)$ $n$ $P(1)$ $\forall n\;(P(n)\Högerpil P(S(n)))$ $\förallt n\;P(n)$

Ovanstående axiom återspeglar vår intuitiva förståelse av den naturliga serien och tallinjen .

Det grundläggande faktumet är att dessa axiom i huvudsak unikt bestämmer de naturliga talen (den kategoriska karaktären hos systemet av Peanos axiom). Man kan nämligen bevisa (se [16] , såväl som ett kort bevis [17] ) att om och är två modeller för systemet av Peano-axiom, så är de nödvändigtvis isomorfa , det vill säga det finns en inverterbar mappning ( bijektion ) sådant och för alla . $(\mathbb N, 1, S)$ $(\tilde {\mathbb N},\tilde 1, \tilde S)$ $f\colon \mathbb {N} \to {\tilde {\mathbb {N} }}$ $f(1)={\tilde {1}}$ $f(S(x))={\tilde {S))(f(x))$ $x\in\mathbb N$

Därför är det tillräckligt att fixa som en specifik modell av uppsättningen naturliga tal. $\mathbb {N}$

Ibland, särskilt i utländsk och översatt litteratur, ersätter Peanos första och tredje axiom ett med noll. I det här fallet anses noll vara ett naturligt tal. När det definieras i termer av klasser av ekvivalenta mängder, är noll ett naturligt tal per definition. Det skulle vara onaturligt att specifikt kassera det. Dessutom skulle detta avsevärt komplicera den vidare konstruktionen och tillämpningen av teorin, eftersom noll i de flesta konstruktioner, som den tomma mängden, inte är något isolerat. En annan fördel med att betrakta noll som ett naturligt tal är att det bildar en monoid när man gör det . Som nämnts ovan , i rysk litteratur är noll traditionellt utesluten från antalet naturliga tal. $\mathbb {N}$

Mängdteoretisk definition av naturliga tal (Frege-Russell definition)

Enligt teorin om mängder är det enda föremålet för att konstruera några matematiska system mängden .

Sålunda introduceras även naturliga tal, baserat på begreppet en mängd, enligt två regler:

$0=\varnothing ;$
$S(n)=n\cup \left\{n\right\}.$

Tal som ges på det här sättet kallas ordningstal .

Låt oss beskriva de första ordningstalen och deras motsvarande naturliga tal:

$0=\varnothing ;$
$1=\varnothing \cup \left\{0\right\}=\left\{\varnothing \right\};$
$2=1\kopp \left\{1\right\}={\big \{}\varnothing ,\;\left\{\varnothing \right\}{\big \));$
$3=2\cup \left\{2\right\}={\Big \{}\varnothing ,\;\left\{\varnothing \right\},\;{\big \{}\varnothing ,\;\left\{\varnothing \right\}{\big \}}{\Big \}}.$

Kardinalitet av uppsättningen naturliga tal

Generaliseringen av antalet element i en ändlig mängd till oändliga mängder kännetecknas av begreppet " styrka av en mängd ". När det gäller kardinalitet är mängden naturliga tal större än någon ändlig mängd, men mindre än något intervall , till exempel . Mängden naturliga tal är ekvivalent med mängden rationella tal . Varje mängd som är ekvivalent med mängden naturliga tal kallas en räknebar mängd . Således är uppsättningen termer för vilken sekvens som helst räknebar. Samtidigt finns det en sekvens där varje naturligt tal förekommer ett oändligt antal gånger, eftersom mängden naturliga tal kan representeras som en räknebar förening av disjunkta räkningsmängder (till exempel [18] , ). $(0,1)$ $\mathbb {N} =\bigcup \limits _{k=0}^{\infty }\left(\bigcup \limits _{n=0}^{\infty }(2n+1)2^{ k}\right)$

Operationer på naturliga tal

Slutna operationer (operationer som inte matar ut ett resultat från uppsättningen naturliga tal) på naturliga tal inkluderar följande aritmetiska operationer:

addition : term + term = summa;
multiplikation : multiplikator × multiplikator = produkt;
exponentiering :, där är gradens bas, är exponenten. Omoch är naturliga tal, så är resultatet också ett naturligt tal. $a^{b}$ $a$ $b$ $a$ $b$

Dessutom övervägs ytterligare två operationer (ur en formell synvinkel är de inte operationer på naturliga tal, eftersom de inte är definierade för alla par av tal (ibland finns de, ibland inte)):

subtraktion : minuend - subtrahend = skillnad. I det här fallet måste minuenden vara större än subtrahenden (eller lika med den, om vi betraktar noll som ett naturligt tal);
division med rest : dividend / divisor = (kvot, rest). Kvotenoch restenav divisionmeddefinieras enligt följande:, och. Observera att när definitionen generaliseras till uppsättningen av icke-negativa heltal, förbjuder det sista villkoret division med noll, eftersom denna uppsättning inte innehåller. $sid$ $r$ $a$ $b$ $a=p\cdot b+r$ $r<b$ $r<0$

Det bör noteras att operationerna addition och multiplikation är grundläggande. I synnerhet definieras ringen av heltal exakt genom de binära operationerna addition och multiplikation.

Grundläggande egenskaper

Kommutativitet för addition:

a+b=b+a.

Kommutativitet av multiplikation:

a\cdot b=b\cdot a.

Associativitet av addition:

(a+b)+c=a+(b+c).

Associativitet av multiplikation:

(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c).

Multiplikationsfördelning med avseende på addition:

{\begin{cases}a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c\\(b+c)\cdot a=b\cdot a+c\cdot a\end{ fall}}.

Algebraisk struktur

Addition förvandlar mängden naturliga tal till en halvgrupp med enhet, enhetens roll spelas av 0 . Multiplikation förvandlar också mängden naturliga tal till en halvgrupp med enhet, där 1 är identitetselementet . Med hjälp av stängningen under operationerna addition-subtraktion och multiplikation-division erhålls grupperna av heltal respektive rationella positiva tal . $\mathbb {Z}$ $\mathbb Q^*_+$

Mängdteoretiska definitioner

Låt oss använda definitionen av naturliga tal som ekvivalensklasser av finita mängder. Om vi anger ekvivalensklassen för mängden A , genererad av bijektioner, med hjälp av hakparenteser: [ A ], definieras de grundläggande aritmetiska operationerna enligt följande:

$[A]+[B]=[A\sqcup B];$
$[A]\cdot [B]=[A\ gånger B];$
${[A]}^{[B]}=[A^{B}],$

var:

$A \sqcup B$ — osammanhängande förening av uppsättningar ;
$A\ gånger B$ - direkt produkt ;
$A^B$ är uppsättningen av mappningar från B till A .

Det kan visas att de resulterande operationerna på klasser introduceras korrekt, det vill säga att de inte beror på valet av klasselement och sammanfaller med de induktiva definitionerna.

Intressanta fakta

Genom att utöka funktionen till en serie kan man visa att summan av alla naturliga tal är lika med −1/12 [19] .

Se även

Kommentarer

↑ Kish-tavlan , som tros vara daterad till omkring 700 f.Kr., använder tre krokar för att indikera ett tomt utrymme i referensbeteckningen. Andra bord från ungefär samma tid använder en enda krok för tomt utrymme. [fyra]
↑ Denna bestämmelse används till exempel i Euclids Elements, se D. Joyces onlineupplaga av bok VII. [6]
↑ Engelsk översättning - från Grey. I en fotnot anger Gray källan till det tyska citatet: " Weber 1891–1892, 19, citat från Kroneckers föreläsning 1886. " [åtta]

Anteckningar

↑ OEIS - sekvens A000027 _
↑ Elementär matematik, 1976 , sid. arton.
↑ Ifrah, Georges. The Universal History of Numbers . - Wiley, 2000. - ISBN 0-471-37568-3 .
↑ Historia av noll . MacTutor Matematikens historia . Datum för åtkomst: 23 januari 2013. Arkiverad från originalet 19 januari 2013. (obestämd)
↑ Deckers, Michael Cyclus Decemnovennalis Dionysii - Nittonårscykel av Dionysius . Hbar.phys.msu.ru (25 augusti 2003). Hämtad 13 februari 2012. Arkiverad från originalet 15 januari 2019. (obestämd)
↑ Euklid . Bok VII, definitionerna 1 och 2 // Elements . — Clark University.
↑ Mueller, Ian. Matematikens filosofi och deduktiv struktur i Euklids element . - Mineola, New York: Dover Publications, 2006. - P. 58. - ISBN 978-0-486-45300-2 .
↑ Grey, Jeremy. Platons spöke: Den modernistiska omvandlingen av matematik . - Princeton University Press, 2008. - S. 153. - ISBN 978-1-4008-2904-0 . Arkiverad 29 mars 2017 på Wayback Machine
↑ Eves, 1990 , kapitel 15
↑ Kirby, Laurie; Paris, Jeff (1982). "Tillgängliga oberoende resultat för Peano Aritmetik." Bulletin från London Mathematical Society . Wiley. 14 (4): 285-293. DOI : 10.1112/blms/14.4.285 . ISSN 0024-6093 .
↑ Bagaria, Joan. Mängdlära . - Vintern 2014. - The Stanford Encyclopedia of Philosophy, 2017. Arkiverad 14 mars 2015 på Wayback Machine
↑ Goldrei, Derek. 3 // Classic Set Theory: En guidad oberoende studie . - 1. uppl., 1. tryck. — Boca Raton, Florida. [ua] : Chapman & Hall/CRC, 1998. — S. 33 . - ISBN 978-0-412-60610-6 .
↑ 1 2 3 Potapov M. K., Alexandrov V. V., Pasichenko P. I. Algebra och analys av elementära funktioner. - M. : Nauka, 1981. - S. 9. - 560 sid.
↑ Internationell standard 80000-2:2009. Del 2 . NCSU COE Människor . Hämtad 12 augusti 2019. Arkiverad från originalet 28 februari 2019. (obestämd)
↑ GOST R 54521-2011 Statistiska metoder. Matematiska symboler och tecken för tillämpning i standarder (återutgivning) av 24 november 2011 - docs.cntd.ru. docs.cntd.ru _ Hämtad 14 januari 2022. Arkiverad från originalet 9 juli 2021. (obestämd)
↑ Feferman S. Numeriska system. Grunderna för algebra och analys. - 1971. - 445 sid.
↑ Bevis på det unika med naturliga tal . Datum för åtkomst: 4 februari 2011. Arkiverad från originalet den 22 augusti 2011. (obestämd)
↑ Vinogradova I. A., Olehnik S. N., Sadovnichiy V. A. Uppgift nr 48 // Problem och övningar i matematisk analys. Bok 1. - 2:a uppl. - M . : Högre skola , 2000. - S. 146 (formulering), 163 (svar).
↑ Fråga till en vetenskapsman: hur lägger man till alla naturliga tal och får -1/12? . mipt.ru. _ Hämtad 30 december 2020. Arkiverad från originalet 10 februari 2021. (obestämd)

Litteratur

Vygodsky M. Ya. Handbok i elementär matematik . — M .: Nauka, 1978.
Zaitsev V. V., Ryzhkov V. V., Skanavi M. I. Elementär matematik. Upprepa kursen. – Tredje upplagan, stereotypt. — M .: Nauka, 1976. — 591 sid.
Eves, Howard (1990), An Introduction to the History of Mathematics (6:e upplagan), Thomson, ISBN 978-0-03-029558-4 , < https://books.google.com/books?id=PXvwAAAAMAAJ >
Halmos, Paul (1960), Naive Set Theory , Springer Science & Business Media, ISBN 978-0-387-90092-6 , < https://books.google.com/books?id=x6cZBQ9qtgoC&lpg=PP1&pg=PP1#v =onepage&q=peano%20axioms&f=false >
Hamilton, A.G. (1988), Logic for Mathematicians (Revised ed.), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-36865-0 , < https://books.google.com/books?id=TO098EjWT38C&q=peano% 27s+postulates#v=snippet&q=peano%27s%20postulates&f=false >
James, Robert C. & James, Glenn (1992), Mathematics Dictionary (femte upplagan), Chapman & Hall, ISBN 978-0-412-99041-0 , < https://books.google.com/books?id =UyIfgBIwLMQC >
Landau, Edmund (1966), Foundations of Analysis (tredje upplagan), Chelsea Pub Co, ISBN 978-0-8218-2693-5 , < https://books.google.com/books?id=DvIJBAAAQBAJ >
Mac Lane, Saunders & Birkhoff, Garrett (1999), Algebra (3:e upplagan), American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-1646-2 , < https://books.google.com/books?id=L6FENd8GHIUC&lpg =PA15&vq=natural%20numbers&pg=PA15#v=onepage&q=%22the%20natural%20numbers%22&f=false >
Mendelson, Elliott (2008), Number Systems and the Foundations of Analysis , Dover Publications, ISBN 978-0-486-45792-5 , < https://books.google.com/books?id=3domViIV7HMC >
Morash, Ronald P. (1991), Bridge to Abstract Mathematics: Mathematical Proof and Structures (andra upplagan), Mcgraw-Hill College, ISBN 978-0-07-043043-3 , < https://books.google.com /books?id=fH9YAAAAYAAJ >
Musser, Gary L.; Peterson, Blake E. & Burger, William F. (2013), Mathematics for Elementary Teachers: A Contemporary Approach (10:e upplagan), Wiley Global Education , ISBN 978-1-118-45744-3 , < https://books .google.com/books?id=b3dbAgAAQBAJ >

Länkar

Hazewinkel, Michiel, red. (2001), Naturligt nummer , Encyclopedia of Mathematics , Springer , ISBN 978-1-55608-010-4
Szczepanski, Amy F. & Kositsky, Andrew P. (2008), The Complete Idiot's Guide to Pre-algebra , Penguin Group, ISBN 978-1-59257-772-9 , < https://books.google.com/books ?id=wLA2tlR_LYYC >
Thomson, Brian S.; Bruckner, Judith B. & Bruckner, Andrew M. (2008), Elementary Real Analysis (andra upplagan), ClassicalRealAnalysis.com, ISBN 978-1-4348-4367-8 , < https://books.google.com/ böcker?id=vA9d57GxCKgC >

Ordböcker och uppslagsverk

I bibliografiska kataloger
BNF : 120988295 GND : 4041357-3 J9U : 987007538748705171 LCCN : sh85093214 LNB : 000112174 NKC : ph124920

Numeriska system
Räknebara set	Naturliga tal ( ) $\scriptstyle \mathbb {N}$ Heltal ( ) $\scriptstyle \mathbb {Z}$ Rationell ( ) $\scriptstyle \mathbb {Q}$ Algebraisk ( ) $\scriptstyle {\overline {\mathbb {Q} }}$ Perioder Beräknarbar Aritmetisk
Reella tal och deras anknytningar	Riktig ( ) $\scriptstyle \mathbb {R}$ Komplex ( ) $\scriptstyle \mathbb {C}$ Kvaternioner ( ) $\scriptstyle \mathbb {H}$ Cayley-tal (oktaver, oktonjoner) ( ) $\scriptstyle \mathbb {O}$ Sedenioner ( ) $\scriptstyle \mathbb {S}$ Ändringar Dubbel Hyperkomplex Superrealistiskt Hypermaterial surrealistiskt
Numeriska förlängningsverktyg	Cayley-Dixon procedur Frobenius teorem Hurwitz teorem
Andra nummersystem	grundtal Ordningstal (transfinita, ordningstal) p-adic Övernaturliga siffror intervallnummer
se även	dubbla siffror Irrationella siffror transcendentala tal nummerstråle Biquaternion

Heltal

Upp till 100
0 ett 2 3 fyra 5 6 7 åtta 9 tio elva 12 13 fjorton femton 16 17 arton 19 tjugo 21 22 23 24 25 26 27 28 29 trettio 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 45 46 47 48 femtio 51 52 53 54 55 56 57 60 61 62 63 64 66 68 69 70 71 72 73 74 76 77 78 79 80 81 82 83 85 87 88 89 90 91 92 95 97 98 99

100 och mer