Gap (matematik)

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 20 december 2021; kontroller kräver 4 redigeringar .

Intervallet [1] , eller, mer exakt, intervallet för tallinjen , är mängden reella tal - så att om några två tal tillhör denna mängd, så tillhör alla tal som ligger mellan dem också denna mängd [2] . Med hjälp av logiska symboler kan denna definition skrivas på följande sätt:

en uppsättning är ett intervall endast om

X\subseteq \mathbb {R}

\forall x\forall y\forall z{\big (}(x\in X)\wedge (z\in X)\wedge (x<y<z)\Högerpil y\in X{\big ) },

var är den universella kvantifieraren . Följande uppsättningar är exempel på luckor: $\för alla$

{\begin{aligned}X_{1}&=\{x\in \mathbb {R} \colon 0\leqslant x\leqslant 1\},&X_{2}&=\{x\in \mathbb {R} \colon 0\leqslant x<1\},&X_{3}&=\{x\in \mathbb {R} \colon 0<x\leqslant 1\},\\X_{4}&=\ {x\in \mathbb {R} \colon 0<x<1\},&X_{5}&=\{x\in \mathbb {R} \colon x>0\},&X_{6}&=\ {x\in \mathbb {R} \colon x<1\},\\X_{7}&=\mathbb {R} ,&X_{8}&=\varnothing .\end{aligned}}

Gaptyper

Slutspan

Det finita intervallet består av en uppsättning siffror inneslutna mellan två tal och - ändarna av intervallet , som själva kan inkluderas i dess sammansättning, eller inte [1] . Om a ≤ b kallas längden på ett sådant intervall ett tal . $a$ $b$ $|ab|=|ba|=ba$

Stängt (stängt) ändligt intervall

Om , då kallas intervallet ett segment [3] eller ett numeriskt segment och betecknas med : $a \leqslant b, a \in \mathbb{R}, b \in \mathbb{R}$ ${\displaystyle \{x\in \mathbb {R} \colon a\leqslant x\leqslant b\))$ $[a,b]$

[a,b]\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ \{x\in \mathbb {R} \colon a\leqslant x\leqslant b\}.

I fallet degenererar segmentet till en uppsättning av en punkt (till en singelton ). $a=b$

Öppna slutgap

Om , då kallas intervallet för ett intervall och betecknas med : $a < b, a \in \mathbb{R}, b \in \mathbb{R}$ $\{x \in \mathbb{R} \colon a < x < b \}$ $(a,b)$

(a,b)\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ \{x\in \mathbb {R} \colon a<x<b\}.

För att beteckna en öppen lucka använder de ofta beteckningen på förslag av N. Bourbaki istället . $(a,b)$ $]a,b[$

Halvsluten (halvöppen) finit span

luckor

[a,b)\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ \{x\in \mathbb {R} \colon a\leqslant x<b\},\quad (a, b]\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ \{x\in \mathbb {R} \colon a<x\leqslant b\}

kallas halvsegment (ej vadderade till ett segment) eller halvintervall .

Infinite Gap

Oändliga luckor

\{x\in \mathbb {R} \colon x\geqslant a\},\quad \{x\in \mathbb {R} \colon x>a\},\quad \{x\in \ mathbb {R} \colon x\leqslant b\},\quad \{x\in \mathbb {R} \colon x<b\}\quad

och

\quad \mathbb {R}

på den positiva eller negativa sidan är inte begränsade till något reellt tal. I det här fallet är det bekvämt att anta att dessa intervall har felaktiga tal och som en av ändarna eller båda ändarna , förutsatt att förhållandet är sant för alla reella tal . Beteckningarna och namnen på oändliga intervall liknar de namn de har för ändliga intervall. Till exempel kan ovanstående uppsättningar skrivas om i enlighet med detta som $-\infty$ $+\infty$ $x \in \mathbb{R}$ $-\infty <x<+\infty$

[a,+\infty ),\quad (a,+\infty ),\quad (-\infty ,b],\quad (-\infty ,b),\quad (-\infty ,+\ infty ),

Dessutom, på grund av det faktum att och per definition inte ingår i dessa uppsättningar, ingår de inte i dessa uppsättningar. $-\infty$ $+\infty$ $\mathbb {R} ,$

Tomt utrymme

Den tomma uppsättningen är också ett intervall, trivialt faller under dess definition: $\varnothing$

[b,a]=(b,a)=[b,a)=(b,a]=(a,a)=[a,a)=(a,a]=\varnothing ,

där a < b .

Intervaller för den affint utökade tallinjen

Uppsättningen av reella tal , kompletterad med element och , kallas förlängd (mer exakt, affinförlängd , för att skilja från projektivt utsträckt rät linje ) reell linje och betecknas , dvs. $\mathbb {R}$ $+\infty$ $-\infty$ $\overline{\mathbb{R}}$

{\overline {\mathbb {R} }}=\mathbb {R} \cup \{-\infty ,+\infty \}=[-\infty ,+\infty ].

Dessutom, för alla reella tal , per definition, ojämlikheterna $x \in \mathbb{R}$

-\infty < x, \quad x < +\infty, \quad -\infty < +\infty

För den utökade tallinjen introduceras även begreppen intervall - segment, intervall, halvintervall [1] . Till skillnad från motsvarande intervall på tallinjen kan de innehålla element . Till exempel . $\pm \infty$ $(a, +\infty] = (a, +\infty) \cup {\{+\infty\))$

Terminologi

På ryska motsvarar orden intervall och intervall ett engelskt ordintervall . I engelsk litteratur [4] och i översättningar av utländska böcker, såväl som i några andra böcker på ryska, används följande terminologi :

{\displaystyle [a,b]=\{x\in \mathbb {R} \colon a\leqslant x\leqslant b\))

- stängt intervall ( engelska stängt intervall ),

{\displaystyle (a,b)=\{x\in \mathbb {R} \colon a<x<b\))

- öppet intervall ( engelska öppet intervall ),

[a,b)=\{x\in \mathbb {R} \colon a\leqslant x<b\}

- halvöppet (eller halvstängt) intervall ( engelska halvöppet intervall / halvstängt intervall ),

{\displaystyle (a,b]=\{x\in \mathbb {R} \colon a<x\leqslant b\))

- halvöppet (eller halvstängt) intervall ( engelska halvöppet intervall / halvstängt intervall ).

Det vill säga, i sådan terminologi kallas de alla intervaller , men bara av en annan typ.

I äldre ryskspråkig litteratur [5] används istället för "intervall" ordet intervall : stängt intervall , öppet intervall , halvöppet (eller halvslutet ) intervall .

Men särskilt i utbildningslitteraturen, där det största antalet satser för funktioner på kompakta mängder, är det att föredra att använda ett separat namn för ett slutet intervall i ett ord - segment [3] (termen "segment" har mer av en geometrisk konnotation, som "ett intervall av en tallinje" ). I detta fall tilldelas termen "intervall" endast det öppna gapet.

Se även öppna och slutna set.

Fakta

Mellanvärdessatsen

Den välkända Bolzano-Cauchy-satsen om mellanvärden för en kontinuerlig funktion säger: bilden av vilket intervall som helst under en kontinuerlig mappning är också ett intervall. Denna sats har en generalisering till fallet med godtyckliga topologiska utrymmen : bilden av en sammankopplad mängd under en kontinuerlig mappning är sammankopplad. Numeriska intervall, och dessutom bara de är bara anslutna delmängder . $\mathbb {R}$

Intervalloperationer

I praktiken kännetecknar intervallet ofta intervallet av möjliga värden ( ungefär ) av det uppmätta värdet. Aritmetiska operationer kan definieras på uppsättningen av sådana intervall. Sedan kan resultatet av beräkningar över kvantiteter associeras med motsvarande beräkningar över deras intervall, som i slutändan bestämmer intervallet för möjliga värden för resultatet.

Mät

Tallinjens intervall, såväl som rektanglar i planet, rektangulära parallellepipeder i rymden, etc., är ett av huvudobjekten som måttteorin bygger på , eftersom de är de enklaste uppsättningarna vars mått ( längd , area , volym , etc.) ) är lätt att fastställa.

Generaliseringar

Anslutna uppsättningar

En generalisering av spännvidden för den verkliga linjen är föreställningen om ett sammankopplat topologiskt utrymme . På den verkliga linjen är varje ansluten uppsättning en lucka, och vice versa, varje lucka är en sammankopplad uppsättning.

Spännvidden av tallinjen ligger också bakom en annan, mer speciell, uppfattning om en linjär koppling . I uppsättningen av reella tal , såväl som i det euklidiska rummet av godtycklig dimension , sammanfaller begreppen anslutning och linjär anslutning. $\mathbb {R}$ $\mathbb {R} ^{n}$ $n$

Konvexa uppsättningar

En annan generalisering av begreppet ett intervall av en tallinje är begreppet en konvex mängd .

Luckor i delvis ordnade uppsättningar

I det mest allmänna fallet kan begreppet intervall införas på vilken uppsättning som helst där ordningsrelationen introduceras . $<$

Se även

Anteckningar

↑ 1 2 3 Kudryavtsev, L. D. Matematisk analyskurs. - 5:e uppl. - M. : "Business Bustard", 2003. - T. 1. - S. 64-65. - 704 sid. - ISBN 5-7107-4119-1 .
↑ I ett antal källor beskrivs det som ett intervall ; se till exempel Intervall // Kazakstan. Nationalencyklopedin . - Almaty: Kazakiska uppslagsverk , 2005. - T. II. — ISBN 9965-9746-3-2 . (ryska) (CC BY SA 3.0)
↑ 1 2 V. A. Ilyin , V. A. Sadovnichiy , Bl. H. Sendov . Kapitel 2. Reella tal // Matematisk analys / Ed. A.N. Tikhonova . - 3:e uppl. , reviderad och ytterligare - M. : Prospekt, 2006. - T. I. - S. 53. - 672 sid. — ISBN 5-482-00445-7 . Arkiverad 23 juni 2015 på Wayback Machine
↑ Gelbaum, B., Olmsted, J. Counterexamples in Analysis = Counterexamples in Analysis. - M. : LKI, 2007. - S. 17-18. — 258 sid. — ISBN 978-5-382-00046-6 .
↑ Fikhtengolts, G. M. Fundamentals of Mathematical Analysis. - 7:e uppl. - M. : "FIZMATLIT", 2002. - T. 1. - S. 35. - 416 sid. — ISBN 5-9221-0196-X .

Ordböcker och uppslagsverk	Stor norsk Stor ryss