Singleton (matematik)

Singelton [1] [2] , eller singleton  är en mängd med ett enda element. Till exempel är uppsättningen {0} en singelton.

Egenskaper

Observera att mängden {{1, 2, 3}} också är en singel: det enda elementet är en mängd (som inte i sig är en singel).

En skarp mängd är en singel om och endast om dess kardinaltal är 1. I den mängdteoretiska konstruktionen av naturliga tal definieras talet 1 som en singel { }, eller i en annan notation {{}}.

I den axiomatiska mängdteorin uppstår förekomsten av singlar på grund av det tomma mängdaxiomet och parningsaxiomet : det första av dem introducerar begreppet en tom mängd {}, och det andra, applicerat på paret {} och {}, introducerar begreppet singel {{}}.

Om A är vilken mängd som helst och S är vilken singelton som helst, så finns det en och bara en funktion från A till S som mappar varje element i A till ett enda element i S.

Applikationer

I topologi är ett mellanslag ett T1-utrymme om och endast om varje singel är stängd .

Strukturer byggda på singletons fungerar ofta som terminalobjekt eller nollobjekt av olika kategorier :

• uttalandet ovan visar att singleton-uppsättningar är terminalobjekt i kategorin Set ;
• vilken singleton som helst kan omvandlas till ett topologiskt utrymme på exakt ett sätt (alla delmängder är öppna). Dessa singleton topologiska utrymmen är terminalobjekt i kategorin topologiska utrymmen och kontinuerliga avbildningar;
• vilken singleton som helst kan omvandlas till en grupp på exakt ett sätt (ett enda element fungerar som ett neutralt element ). Sådana singleton-grupper är nollobjekt i kategorin grupper och grupphomomorfismer.

Se även

• Klass (mängdlära)

Anteckningar

1. ↑ Nazarov D. M., Konysheva L. K. Intelligenta system: grunderna för teorin om fuzzy sets, 2019 , s. 13.
2. ↑ Matsievsky S. V., Tolstel O. V. Fuzzy systems, 2017 , sid. femton.

Litteratur

• Matsievsky S.V., Tolstel O.V. Fuzzy systems: lärobok / Ed. 2:a, rev. och anpassa sig. Kaliningrad: Izd-vo BFU im. I. Kana, 2017. 89 s., ill. ISBN 978-5-9971-0465-8 .
• Nazarov D. M., Konysheva L. K. Intelligenta system: grunderna för teorin om luddiga uppsättningar: lärobok för akademiska studenter / 3:e upplagan, korrigerad. och ytterligare M.: Yurait Publishing House, 2019. 186 s., ill. ISBN 978-5-534-07496-3 .