Neutralt element

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 2 juli 2021; kontroller kräver 3 redigeringar .

Det neutrala elementet i en binär operation är ett element som lämnar alla andra element oförändrade när den binära operationen tillämpas på dessa två element.

Definition

Låt vara en uppsättning med en " " binär operation definierad på den . Ett element kallas neutralt med avseende på (multiplikation) if $(M,\cdot )$ $M$ $\cdot$ $e\in M$ $\cdot$

x\cdot e=e\cdot x=x,\quad \forall x\in M

I fall av icke-kommutativa operationer introducerar man ett vänsterneutralt element för vilket $e_{\mathrm {l} }$

e_{\mathrm {l} }\cdot x=x,\quad \forall x\in M

och det rätt neutrala elementet , för vilket $e_{\mathrm {r} }$

x\cdot e_{\mathrm {r} }=x,\quad \forall x\in M

I allmänhet kan det finnas ett godtyckligt antal element som är neutrala till vänster eller till höger. Om både ett vänsterneutralt element och ett högerneutralt element existerar samtidigt måste de sammanfalla (eftersom ). $e_{{{\mathrm l}}}$ $e_{{{\mathrm r}}}$ $e_{{{\mathrm r}}}=e_{{{\mathrm l}}}\cdot e_{{{\mathrm r}}}=e_{{{\mathrm l}}}$

Exempel

Mycket av	binär operation	neutralt element
Riktiga nummer	$+$ ( tillägg )	nummer 0
Riktiga nummer	$\cdot$ ( multiplicera )	nummer ett
Riktiga nummer	$-$ ( subtraktion )	nummer 0 (neutral höger)
Riktiga nummer	$a^{b}$ ( exponentiering )	nummer 1 (neutral höger)
Förlängd nummerrad	$\div$ ( division )	nummer 1 (neutral höger)
vektor utrymme	$+$ ( vektortillägg )	${\vec 0}$ ( nollvektor )
Dimensionsmatriser _ $m\ gånger n$	$+$ (matristillägg)	nollmatris
Dimensionsmatriser $n\ gånger n$	$\ gånger$ (matrisprodukt)	identitetsmatris
Visa funktioner $f:M\till M$	$\cirkel$ ( funktionssammansättning )	identitetskartläggning
Karaktärssträngar	sammanlänkning	tom rad
Förlängd nummerrad	$\min$ ( minimum ) eller ( infimum ) $\inf$	$+\infty$
Förlängd nummerrad	$\max$ ( max ) eller ( suprem ) $\upp$	$-\infty$
Delmängder av en uppsättning $M$	$\keps$ ( ställ korsning )	$M$
Uppsättningar	$\kopp$ ( ställ fackförening )	$\varnothing$ ( tomt set )
propositionskalkyl	$\kil$ ( konjunktion )	$\topp$ (Sann)
propositionskalkyl	$\lor$ ( disjunktion )	$\bot$ (Falsk)

Terminologi

I algebra

I den multiplikativa notationen som ges i definitionen är det vanligt att kalla ett neutralt element för ett enda element eller helt enkelt en enhet i analogi med numret med samma namn . Se artikeln " enhet (algebra) " för bilaterala neutrala element av multiplikation i ringar , fält och algebror över dem.

Om vi talar om det neutrala elementet i operationen, betecknat (och kallat) addition , då kallas det neutrala elementet noll , återigen i analogi med numret med samma namn . Addition kallas inte bara en operation i ringteori och linjär algebra, utan vanligtvis en gruppoperation i Abeliska grupper i additiv notation.

I gitterteori

I gitterteorin betecknas det neutrala elementet i operationen "∨" med "0", och det neutrala elementet i operationen "∧" betecknas med "1".

Se även

Absorberande element
Omvänd element
Monoid
Grupp

Länkar

Kulikov L.Ya. Algebra och talteori: Proc. handbok för pedagogiska institut. - M .: Högre. skola, 1979. - 559 sid. sida 77 "Neutrala element"
http://www.algebraical.info/doku.php?id=glossary:element:groupoid:identity (ryska)
http://mathforum.org/library/drmath/view/56032.html (ryska)
https://brilliant.org/wiki/identity-element/ _
Weisstein, Eric W. "Identitetselement." Från MathWorld - En Wolfram webbresurs