Funktionssammansättning

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 20 mars 2022; kontroller kräver 2 redigeringar .

Sammansättning ( superposition ) av funktioner är tillämpningen av en funktion på resultatet av en annan.

Funktionssammansättning och betecknas vanligtvis [1] [2] , vilket betyder att man applicerar en funktion på resultatet av en funktion , d.v.s. $F$ $G$ $G\cirkel F$ $G$ $F$ $(G\circ F)(x)=G(F(x))$

Definition

Låt två funktioner ges och var är bilden av mängden. Då är deras sammansättning den funktion som definieras av likheten [3] : $F\colon X\to Y$ ${\textstil G\kolon F[X]\till Z,}$ $F[X]\subseteq Y$ $x.$ $G\circ F\colon X\to Z$

(G\circ F)(x)=G(F(x)),\;x\in X.

Relaterade definitioner

Termen " komplex funktion " kan appliceras på sammansättningen av två funktioner, som var och en har ett argument [4] . Den kan också användas i en situation där flera funktioner från en eller flera initiala variabler matas till inmatningen av en funktion av flera variabler samtidigt [5] . Till exempel kan en komplex funktion av flera variabler kallas en funktion av formen $G$ $G(x,y)=F(u(x,y),v(x,y)),$

eftersom det är en funktion vars indata är resultatet av funktionerna och .

F

u

v

Kompositionsegenskaper [3]

Sammansättningen är associativ : $(H\circ G)\circ F=H\circ (G\circ F).$
Om identitetskartläggningen är på , dvs. $F={\mathrm {id}}_{X}$ $X$ $F(x)=\mathrm {id} _{X}(x)=x,\;\forall x\in X,$

sedan

G\circ F=G.

Om identitetskartläggningen är på, dvs. $G={\mathrm {id}}_{Y}$ $Y$ $G(y)=\mathrm {id} _{Y}(y)=y,\;\forall y\in Y,$

sedan

G\circ F=F.

Sammansättningen av mappningar , , är generellt sett inte kommutativ , det vill säga till exempel givna funktioner , då dock , $F\colon X\to X$ $G\colon X\to X$ $F\circ G\not =G\circ F.$ $F\colon x\mapsto x^{2},~G\colon x\mapsto 2x$ $G\circ F\colon x\mapsto 2x^{2},$ $F\circ G\colon x\mapsto 4x^{2}.$

Ytterligare egenskaper

Låt en funktion ha en gräns vid en punkt och en funktion har en gräns vid en punkt . Sedan, om det finns en punkterad grannskap för punkten , vars skärning med mängden mappas av funktionen till punktens punkterade grannskap , så finns det en sammansättningsgräns vid punkten och följande likhet gäller: $f\kolon X\till Y$ $a$ $\lim_{x \to a}f(x) = b$ $g\colon f[X]\subseteq Y\to Z$ $b$ $\lim _{y\to b}g(y)$ $a$ $X$ $f\kolon X\till Y$ $b$ $a$ $g\circ f\colon X\to Z$ $\lim_{x \to a}g(f(x)) = \lim_{y \to b}g(y).$
Om funktionen har en gräns vid punkten och funktionen är kontinuerlig vid punkten , så finns det en gräns för sammansättningen av funktioner vid punkten och följande likhet gäller: $f\kolon X\till Y$ $a$ $\lim_{x \to a}f(x) = b$ $g\colon f(X)\subseteq Y\to Z$ $b$ $a$ $g\circ f\colon X\to Z$ $\lim _{x\to a}g(f(x))=g(\lim _{x\to a}f(x))=g(b).$
Sammansättningen av kontinuerliga funktioner är kontinuerlig. Låt vara topologiska utrymmen . Låta och vara två funktioner, , och där är mängden av alla funktioner vars första derivata finns vid en given punkt. Sedan . $(X,{\mathcal {T}}_{X}),(Y,{\mathcal {T}}_{Y}),(Z,{\mathcal {T}}_{Z})$ $f\kolon X\till Y$ $g\colon f[X]\subseteq Y\to Z$ $y_{0}=f(x_{0})$ $f\in C(x_{0})$ $g\in C(y_{0}),$ $C$ $g\circ f\in C(x_{0})$

Sammansättningen av differentierbara funktioner är differentierbar. Låt , , och . Sedan , och $f,g:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ $y_{0}=f(x_{0})$ $f\in {\mathcal {D}}(x_{0})$ $g\in {\mathcal {D}}(y_{0})$ $g\circ f\in {\mathcal {D}}(x_{0})$

(g\circ f)'(x_{0})=g'(y_{0})\cdot f'(x_{0})

Anteckningar

↑ Beteckning . Hämtad 10 maj 2021. Arkiverad från originalet 24 februari 2021. (obestämd)
↑ Sammansättning av funktioner . www.mathsisfun.com . Hämtad 10 maj 2021. Arkiverad från originalet 31 december 2020. (obestämd)
↑ 1 2 Kostrikin, 2004 , sid. 37-38.
↑ Derivata av en komplex funktion . www.math24.ru _ Hämtad 10 maj 2021. Arkiverad från originalet 10 maj 2021. (obestämd)
↑ funktioner för flera variabler . Hämtad 10 maj 2021. Arkiverad från originalet 10 maj 2021. (obestämd)

Litteratur

Kostrikin A.I. Introduktion till algebra. Del 1. Grunderna i algebra. - 3:e upplagan - M . : FIZMATLIT, 2004. - 272 sid. - ISBN 5-9221-0487-X.