Ett gitter (tidigare användes termen struktur ) är en delvis ordnad uppsättning där varje delmängd av två element har både en exakt övre (sup) och en exakt lägre (inf) gräns . Detta innebär att dessa ytor finns för alla icke-tomma ändliga delmängder.
Ett gitter kan också definieras som en universell algebra med två binära operationer (de betecknas med och eller + och ∙) som uppfyller följande identiteter
Kopplingen mellan dessa två definitioner upprättas med hjälp av formlerna:
, ,och tillbaka. Dessutom, för alla element och följande påståenden är likvärdiga:
; ; .Begreppen isomorfism av gitter som universella algebror och som delvis ordnade mängder sammanfaller. En godtycklig isotonkarta av ett gitter till ett gitter behöver dock inte vara en homomorfism av dessa gitter som universella algebror.
Ett subgitter är en delmängd av gitterelement som stängs under operationerna och . Exempel på subgitter är vilken enelementsdelmängd som helst av gittret, ideal , filter , interval .
Ett subgitter kallas konvex om det följer av och att . Alla subgitter ovan är konvexa.
Varje delmängd av kedjeelement är dess subgitter (inte nödvändigtvis konvex). Alla subgitter i ett givet gitter, ordnade efter inklusionsrelationen, bildar ett gitter.
Utseendet på begreppet "gitter" hänvisar till mitten av XIX-talet. Den formulerades tydligt av R. Dedekind i verken 1894 och 1897 . Termen "gitter", översatt som "struktur" , introducerades av Birkhoff 1933 . För närvarande, i rysk terminologi (på grund av tvetydigheten i ordet "struktur"), har det ersatts av översättningen "gitter". Historiskt sett förklaras rollen för gitterteorin av det faktum att många fakta om uppsättningen av ideal för ringen och uppsättningen av normala undergrupper i gruppen ser likadana ut och kan bevisas inom ramen för teorin om Dedekind-gitter . Som en oberoende gren av algebra bildades denna teori på 30-talet av XX-talet. De viktigaste klasserna av gitter, förutom Dedekind sådana, är kompletta gitter , distributiva gitter och booleska algebror .
Monografier tillgängliga gratis på Internet:
Elementära texter för dem med liten matematisk kultur:
De vanliga introduktionerna till ämnet, något mer komplexa än ovan:
Avancerade monografier:
Om fria galler: