Gitter (algebra)

Ett gitter (tidigare användes termen struktur ) är en delvis ordnad uppsättning där varje delmängd av två element har både en exakt övre (sup) och en exakt lägre (inf) gräns . Detta innebär att dessa ytor finns för alla icke-tomma ändliga delmängder.

Exempel

uppsättningen av alla delmängder av en given uppsättning, sorterade efter inkludering; till exempel: , ; $\sup\{\{x\},\{x,y\}\}=\{x,y\},\inf\{\{x\},\{x,y\}\} =\{x\}$ $\sup\{\{x\},\{y,z\}\}=\{x,y,z\},\inf\{\{x\},\{y,z\} \}=\emptyset$
någon linjärt ordnad uppsättning ; och om , då ; $a\leqslant b$ $\sup(a,b)=b,\inf(a,b)=a$
mängden av alla delrum i vektorrymden ordnade genom inkludering, där är skärningspunkten och är summan av motsvarande delrum; $\inf$ $\upp$
mängden av alla icke-negativa heltal , ordnade efter delbarhet : om för vissa . Här - den minsta gemensamma multipeln och - den största gemensamma delaren av dessa tal; $a\leqslant b$ $b=ac$ $c$ $\upp$ $\inf$
reella funktioner definierade på segmentet [0, 1] ordnade efter villkoret om för alla . Här $f\leqslant g$ $f(t)\leqslant g(t)$ $t\in [0,1]$

\sup(f,g)=u

, var .

u(t)=\max(f(t),g(t))

Algebraisk definition

Ett gitter kan också definieras som en universell algebra med två binära operationer (de betecknas med och eller + och ∙) som uppfyller följande identiteter $\vee$ $\kil$

$a\vee a=a$
$a\wedge a=a$ ( idempotens )
$a\vee b=b\vee a$
$a\wedge b=b\wedge a$ ( kommutativitet )
$(a\vee b)\vee c=a\vee (b\vee c)$
$(a\wedge b)\wedge c=a\wedge (b\wedge c)$ ( associativitet )
$a\wedge (a\vee b)=a$
$a\vee (a\wedge b)=a$ ( absorption ).

Kopplingen mellan dessa två definitioner upprättas med hjälp av formlerna:

a\vee b=\sup(a,b)

a\wedge b=\inf(a,b)

och tillbaka. Dessutom, för alla element och följande påståenden är likvärdiga: $a$ $b$

a\leqslant b

;

a\wedge b=a

;

a\vee b=b

Begreppen isomorfism av gitter som universella algebror och som delvis ordnade mängder sammanfaller. En godtycklig isotonkarta av ett gitter till ett gitter behöver dock inte vara en homomorfism av dessa gitter som universella algebror. $R$ $R'$

Subgitter

Ett subgitter är en delmängd av gitterelement som stängs under operationerna och . Exempel på subgitter är vilken enelementsdelmängd som helst av gittret, ideal , filter , interval . $+$ $\cdot$

Ett subgitter kallas konvex om det följer av och att . Alla subgitter ovan är konvexa. $A$ $a,b\in A$ $a<c<b$ $c\in A$

Varje delmängd av kedjeelement är dess subgitter (inte nödvändigtvis konvex). Alla subgitter i ett givet gitter, ordnade efter inklusionsrelationen, bildar ett gitter.

Historik

Utseendet på begreppet "gitter" hänvisar till mitten av XIX-talet. Den formulerades tydligt av R. Dedekind i verken 1894 och 1897 . Termen "gitter", översatt som "struktur" , introducerades av Birkhoff 1933 . För närvarande, i rysk terminologi (på grund av tvetydigheten i ordet "struktur"), har det ersatts av översättningen "gitter". Historiskt sett förklaras rollen för gitterteorin av det faktum att många fakta om uppsättningen av ideal för ringen och uppsättningen av normala undergrupper i gruppen ser likadana ut och kan bevisas inom ramen för teorin om Dedekind-gitter . Som en oberoende gren av algebra bildades denna teori på 30-talet av XX-talet. De viktigaste klasserna av gitter, förutom Dedekind sådana, är kompletta gitter , distributiva gitter och booleska algebror .

Exempel på ordnade uppsättningar som inte är gitter

Diskret ordning - vilka två olika element som helst är ojämförbara - kommer att vara ett gitter endast om det bara finns ett element.
Divisorerna för 36 utan 6 är {1, 2, 3, 12, 18, 36}. 2 och 3 har inte en exakt övre yta, och 12 och 18 har inte en exakt undersida.

Se även

Länkar

Monografier tillgängliga gratis på Internet:

Burris, Stanley N., H.P. Sankappanavar . En kurs i universell algebra. — Springer-Verlag, 1981. ISBN 3-540-90578-2 .
Peter Jeepsen, Henry Rose . Varieties of Lattices - Lecture Notes in Mathematics 1533, Springer Verlag, 1992. ISBN 0-387-56314-8 .

Elementära texter för dem med liten matematisk kultur:

Thomas Donnellan . Gitterteori. - Pergamon, 1968.
G. Gratzer . Gitterteori: Första begrepp och distributiva gitter. — W.H. Freeman, 1971.

De vanliga introduktionerna till ämnet, något mer komplexa än ovan:

BA Davey, HA Priestley . Introduktion till galler och ordning. — Cambridge University Press , 2002.

Avancerade monografier:

Garrett Birkhoff . Gitterteori. — 3:e uppl. Vol. 25 av AMS Colloquium Publications. American Mathematical Society, 1967.
Robert P. Dilworth, Peter Crawley . Algebraisk teori om gitter. - Prentice-Hall, 1973. ISBN 978-0-13-022269-5 .

Om fria galler:

R. Freese, J. Jezek, J.B. Nation . Gratis galler. — Mathematical Surveys and Monographs Vol. 42 Mathematical Association of America , 1985.
PT Johnstone . stenutrymmen. - Cambridge Studies in Advanced Mathematics 3. Cambridge University Press, 1982.

Litteratur

Birkhoff G. Strukturteori / Per. från engelska. - M., 1952;
Skornyakov L. A. Element i teorin om strukturer. - M., 1970;
Zhitomirsky G. I. Beställda set och galler. - Saratov, 1981;
Gretzer G. Allmän teori om gitter / Per. från engelska. - M., 1982.