Semigitter

Ett semilattice ( eng. semilattice , termen semistruktur användes också fram till 1960 -talet ) i allmänhet är algebra en semigrupp där den binära operationen är kommutativ och idempotent .

I termer av ordningsteori kan ett semilattic definieras som en partiellt ordnad uppsättning , för varje par av element av vilka en bästa övre gräns ( övre semigittice ) eller infimum ( nedre semigittice ) definieras. En uppsättning som är både ett övre och ett nedre semilatter är ett gitter .

Algebraiska definitioner

Ett semilatter är axiomatiserat som en algebra utrustad med en binär operation med följande identiteter: $\langle V,\star \rangle$

$x\star x=x$ ( idempotens );
$(x\star y)\star z=x\star (y\star z)$ ( associativitet );
$x\star y=y\star x$ ( kommutativitet ).

Om algebrorna och är semilattic, och deras operationer är förbundna med relationer (kallade absorptionslagar ): $\langle V,\vee \rangle$ $\langle V,\wedge \rangle$

$x\vee (x\wedge y)=x$ ,
$x\wedge (x\vee y)=x$ ,

då är algebra ett gitter . I detta sammanhang kallas det det övre halvgittret och det nedre . I de övre semilattices, ett övre element introduceras så att för alla element , i de nedre semilatices, ett nedre element så att , semilatices i vilka sådana element existerar kallas bounded. $\langle V,\vee ,\wedge \rangle$ $\langle V,\vee \rangle$ $\langle V,\wedge \rangle$ $\top \in V$ $\top \vee x=\top$ $x \i V$ $\bot \in V$ $\bot \wedge x=\bot$

Delordning

En partiell ordning i ett algebraiskt definierat semilatter kan införas enligt följande: om och endast om . Eftersom en binär operation i ett semilatter är idempotent , kommutativ och associativ, är ordningen som definieras på detta sätt reflexiv ( ), antisymmetrisk ( och transitiv ( ). $(V,\wedge)$ $x\sqsubseteq y$ $x\wedge y=x$ $x\sqsubseteq x$ $(x\sqsubseteq y)\And (y\sqsubseteq x)\Högerpil (x=y)$ $(x\sqsubseteq y)\And (y\sqsubseteq z)\Högerpil (x\sqsubseteq z)$

Anteckningar

Litteratur

Saliy V. N., Skornyakov L. A. . Kapitel V. Gitter // Allmän algebra / Ed. ed. L. A. Skonyakova . - M . : Science , 1991. - T. 2. - S. 192-294. — 480 s. — (Referens matematiskt bibliotek). — 25 000 exemplar. — ISBN 5-9221-0400-4 .
Davey, B.A.; Priestley, H. A. Introduktion till gitter och ordning . — andra. - Cambridge University Press , 2002. - ISBN 0-521-78451-4 .
Vickers, Steven Topologivia logik . -Cambridge University Press, 1989. -ISBN 0-521-36062-5.

Länkar

Jipsens algebrastrukturer sida: Semilattices.