Kommutativitet

Kommutativitet , kommutativ lag ( sent latin commutativus - förändras) - en egenskap hos den binära operationen " ", som består i möjligheten att ordna om argument: $\cirkel$

x\cirkel y=y\cirkel x

för alla element .

x,\;y

I synnerhet, om gruppoperationen är kommutativ, sägs gruppen vara abelisk . Om operationen av multiplikation i en ring är kommutativ, sägs ringen vara kommutativ.

Termen "kommutativitet" introducerades 1815 av den franske matematikern François Joseph Servois .

Exempel:

summan och produkten av reella tal är kommutativa: $a+b=b+a;\quad a\cdot b=b\cdot a;\quad a,\;b\in \mathbb {R}$ .
konjunktion och disjunktion är kommutativa: $a\land b\equiv b\land a;\quad a\lor b\equiv b\lor a$ .
union , intersection och symmetrisk mängdskillnad är kommutativa: $A \kopp B = B \kopp A; \quad A \cap B = B \cap A; \quad A \bigtriangleup B = B \bigtriangleup A.$

Många binära operationer är associativa , men i allmänhet icke-kommutativa, som till exempel matrismultiplikation :

\tbinom{5\ 4}{8\ 0} ​​​​\tbinom{2\ 9}{6\ 1} = \tbinom{34\ 49}{16\ 72}

, men

\tbinom{2\ 9}{6\ 1} \tbinom{5\ 4}{8\ 0} = \tbinom{82\ \,8\,}{38\ 24}

och strängsammansättning :

"a" + "b" = "ab", men "b" + "a" = "ba".

Dessutom är inte varje kommutativ operation associativ (det finns kommutativa magmas med en icke-associativ operation).

Det finns ett antal generaliseringar av begreppet kommutativitet för operationer med fler än två argument (olika varianter av symmetri).

Kommutativa operationer bildar ett omfattande lager av algebraiska strukturer , som har många "bra" egenskaper som inte är inneboende i icke-kommutativa strukturer (till exempel kommutativa grupper i jämförelse med icke- abelia ), inom många grenar av matematiken, tekniken för reducering av problem till kommutativa strukturer används för mer studerade och mer bekväma egenskaper. Kommutativ algebra är en allmän algebraisk riktning som studerar egenskaperna hos kommutativa ringar och relaterade kommutativa objekt ( moduler , ideal , divisorer , fält ).

Länkar

Kommutativitet // Great Russian Encyclopedia : [i 35 volymer] / kap. ed. Yu. S. Osipov . - M . : Great Russian Encyclopedia, 2004-2017.
Kommutativitet - artikel från Encyclopedia of Mathematics . D. M. Smirnov