Kommutativ ring

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 11 september 2021; verifiering kräver 1 redigering .

En kommutativ ring är en ring där multiplikationsoperationen är kommutativ (vanligtvis antyds också dess associativitet och förekomsten av en enhet ). Kommutativ algebra handlar om studiet av egenskaperna hos kommutativa ringar .

Ideal och spektrum av en ring

Några av följande definitioner finns också för icke-kommutativa ringar, men blir mer komplexa. Till exempel är ett ideal i en kommutativ ring automatiskt dubbelsidigt, vilket avsevärt förenklar situationen.

Ideal och faktorringar

Den interna strukturen för en kommutativ ring bestäms av strukturen av dess ideal, det vill säga icke-tomma delmängder som stängs under addition, såväl som multiplikation med ett godtyckligt element i ringen. Givet en delmängd av en kommutativ ring kan man konstruera det minsta idealet som innehåller denna delmängd. Detta är nämligen utrymmet för ändliga linjära kombinationer av formen ${\displaystyle F=\{f_{j}\}_{j\in J))$ $R$

{\displaystyle r_{1}f_{1}+r_{2}f_{2}+\cdots +r_{n}f_{n))

Ett ideal som genereras av ett element kallas principal . En ring där alla ideal är principiella kallas en principiell idealring , två viktiga exempel på sådana ringar är och en polynomring över ett fält . Varje ring har minst två ideal - nollidealet och själva ringen. Ett ideal som inte finns i ett annat olämpligt (inte sammanfallande med själva ringen) ideal kallas maximal . Av Zorns lemma följer att varje ring har minst ett maximalt ideal. $\mathbb {Z}$ $k$ $k[x]$

Definitionen av ett ideal är konstruerad på ett sådant sätt att den tillåter en att "dela" en ring i den, det vill säga det finns en kvotring : detta är uppsättningen av cosets med avseende på operationer $R/I$ $jag$

(a+I)+(b+I)=(a+b)+I,(a+I)(b+I)=ab+I

Dessa operationer definieras korrekt, till exempel för att de tillhör , etc. Av detta är det tydligt varför definitionen av ett ideal är just detta. $(a+I)(b+I)=ab+aI+Ib+I\cdot I=ab+I$ $a$ $jag$

Lokalisering

Lokaliseringen av en ring är på sätt och vis den motsatta operationen till att ta en faktor: i en faktorring blir elementen i någon delmängd noll, medan i lokalisering blir elementen i någon uppsättning inverterbara . Nämligen, om är en delmängd stängd under multiplikation, så består lokaliseringen med avseende på , betecknad som , av formella symboler av formen $S$ $R$ $S$ $S^{-1}R$

{\frac {r}{s))

, var ,

r\in R

s\i S

med en reduktionsregel för täljare och nämnare som liknar (men inte samma som) den vanliga regeln. Operationerna för addition och multiplikation på sådana "fraktioner" definieras på vanligt sätt.

På det här språket är detta lokalisering över uppsättningen av heltal som inte är noll. Samma operation kan utföras med valfri integralring på plats : lokaliseringen kallas fältet för delringar . Om den består av alla potenser av ett fast element , betecknas lokaliseringen som . $\mathbb {Q}$ $\mathbb {Z}$ $\mathbb {Z}$ $(\mathbb {R} \backslash \{0\})^{-1}R$ $R$ $S$ $f$ ${\displaystyle R_{f))$

Primära ideal och spektrumet

En särskilt viktig typ av ideal är det enkla idealet, ofta betecknat med bokstaven . Per definition är ett primideal ett olämpligt ideal så att om det innehåller produkten av två element, så innehåller det åtminstone ett av dessa element. En motsvarande definition är att en kvotring är integral. En annan ekvivalent definition är att komplementet är stängt under multiplikation. [1] Lokalisering är tillräckligt viktig för att ha en egen beteckning: . Denna ring har bara ett maximalt ideal: . Sådana ringar kallas lokala . $sid$ $R/p$ $R\backslash p$ $(R\backslash p)^{-1}R$ $R_{p}$ $pR_{p}$

Primära ideal är ett nyckelelement i den geometriska beskrivningen av en ring, med hjälp av spektrumet av ringen Spec $\mathbb {R}$ . Som en uppsättning består Spec $\mathbb {R}$ av främsta ideal. Om är ett fält, har det bara ett primideal (noll), så fältets spektrum är en punkt. Ett annat exempel är att Spec innehåller en punkt för nollidealet och en för varje primtal . Spektrumet är utrustat med Zariski-topologin , där öppna uppsättningar är uppsättningar av formen , där är ett godtyckligt element i ringen. Denna topologi skiljer sig från de vanliga exemplen på topologier från analys: till exempel är stängningen av en punkt som motsvarar nollidealet alltid hela spektrumet. $R$ $\mathbb {Z}$ $sid$ ${\displaystyle D(f)=\{p\in SpecR,f\notin p\))$ $f$

Definitionen av spektrum är grundläggande för kommutativ algebra och algebraisk geometri . I algebraisk geometri är spektrumet försett med en kärve . Paret "ett mellanslag och en kärve på det" kallas ett affint schema . Enligt affinschemat kan man återställa den ursprungliga ringen genom att använda den globala sektionsfunktionen . Dessutom är denna korrespondens funktionell : den associeras med varje ringhomomorfism : en kontinuerlig kartläggning i motsatt riktning: $\mathcal O$ $f$ $R\to S$

Spec

S

→ Spec

R

, (förbilden av alla primideal är enkel).

q\mapsto f^{-1}(q)

Således är kategorierna av affina scheman och kommutativa ringar likvärdiga . Följaktligen kommer många av definitionerna som tillämpas på ringar och deras homomorfismer från geometrisk intuition. Affina scheman är lokala data för scheman (ungefär som utrymmen är lokala data för grenrör ), som är huvudobjektet för studier i algebraisk geometri. $\mathbb {R} ^{n}$

Ringhomomorfismer

Som vanligt i algebra är en homomorfism en kartläggning mellan algebraiska objekt som bevarar deras struktur. I synnerhet är en homomorfism av (kommutativa) ringar med identitet en kartläggning : sådan att $f$ $R\to S$

f(a+b)=f(a)+f(b),f(ab)=f(a)f(b),f(1)=1

I den här situationen är det också en -algebra: faktiskt kan element multipliceras med element enligt regeln $S$ $R$ $S$ $R$

r\cdot s:=f(r)\cdot s

Kärnan och bilden av homomorfismen är uppsättningarna och . Kärnan är ett ideal i , och bilden är en underring av . $f$ ${\displaystyle ker(f)=\{r\in R,f(r)=0\))$ ${\displaystyle im(f)=f(R)=\{f(r),r\in R\))$ $R$ $S$

Dimension

Krulldimensionen (eller helt enkelt dimensionen) är ett sätt att mäta "storleken" på en ring. Detta är nämligen den maximala längden av en kedja av främsta ideal av formen $n$

{\mathfrak {p}}_{0}\subsetneq {\mathfrak {p}}_{1}\subsetneq \ldots \subsetneq {\mathfrak {p}}_{n}

Till exempel har ett fält dimension 0 eftersom det bara har ett ideal, noll. Dimensionen av heltal är ett; den enda kedjan av främsta ideal har formen

0={\mathfrak p}_{0}\subsetneq p{\mathbb Z}={\mathfrak p}_{1}

, där är ett primtal .

sid

En lokal ring med ett maximalt id kallas reguljär om dess dimension är lika med den för ett vektorrum över . $m$ $m/m^{2}$ $R/m$

Konstruktion av kommutativa ringar

Anteckningar

↑ Atiyah-MacDonald, Introduktion till kommutativ algebra, 2003.

Litteratur

Atiyah M., McDonald I. Introduktion till kommutativ algebra. - Factorial Press, 2003 - ISBN 5-88688-067-4 .
Eisenbud, David (1995), Kommutativ algebra. Med sikte mot algebraisk geometri. vol. 150, Graduate Texts in Mathematics, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-94268-1
Grothendieck, Alexandre; Dieudonné, Jean (1960). "Éléments de géométrie algébrique (rédigés avec la collaboration de Jean Dieudonné): I. Le langage des schémas". — Publications Mathematics de l'IHES 4
Matsumura, Hideyuki (1989), Commutative Ring Theory (2nd ed.), Cambridge Studies in Advanced Mathematics, Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-36764-6
Pinter-Lucke, James (2007), Kommutativitetsvillkor för ringar: 1950–2005 , Expositiones Mathematicae vol. 25 (2): 165–174, ISSN 0723-0869 , DOI 10.1016/j.exmath.200107.2006.
Zariski, Oscar & Samuel, Pierre (1958-60), Commutative Algebra I, II , University series in Higher Mathematics, Princeton, NJ: D. van Nostrand, Inc.

Inklusionsdiagram över vissa klasser av ringar
kommutativa ringar ⊃ integralringar ⊃ faktoriella ringar ⊃ huvudsakliga idealdomäner ⊃ Euklidiska ringar ⊃ fält