Zariski topologi

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 24 november 2019; verifiering kräver 1 redigering .

Zariski-topologi , eller Zariski-topologi , är en speciell topologi som återspeglar den algebraiska naturen hos algebraiska varianter . Uppkallad efter Oskar Zariski och har sedan 1950-talet varit en viktig figur inom algebraisk geometri .

Klassisk definition

Inom klassisk algebraisk geometri (det vill säga före den så kallade "Grothendieck-revolutionen" som ägde rum i slutet av 1950- och 1960-talen) definierades topologin enligt följande. Eftersom ämnet självt hade två grenar som handlade om affina respektive projektiva grenrör, definierades Zariski-topologin något annorlunda för varje typ av grenrör. Det antas vidare att vi arbetar på ett fast algebraiskt slutet fält K , med vilket komplexa tal nästan alltid menades i klassisk algebraisk geometri .

Affina sorter

Zariski-topologin på ett affint rum över ett fält K är en topologistruktur vars slutna delmängder är exakt de algebraiska uppsättningarna av det givna rummet. Algebraiska mängder är mängder av formen $\mathbb {A} ^{n}$

V(S)=\{x\in \mathbb {A} ^{n}\mid \forall f\in S:\;f(x)=0\},

där S är en godtycklig uppsättning polynom i n variabler över fältet K . Följande identiteter kan enkelt verifieras:

$V(\varnothing )=\mathbb {A} ^{n},V(1)=\varnothing ;$
$V(S)=V((S))$ , där är idealet i polynomringen som genereras av elementen $(S)$ $S;$
För två ideal I och J ,

V(I)\cup V(J)=V(IJ)

;

V(I)\cap V(J)=V(I+J)

Eftersom polynomringen över fältet är Noetherian , kommer skärningspunkten för en oändlig familj av uppsättningar av formen att vara lika med skärningspunkten för dess finita underfamilj och kommer att ha formen . Eftersom ändliga fackföreningar och godtyckliga skärningar av algebraiska mängder, såväl som den tomma mängden, är algebraiska, är algebraiska mängder verkligen slutna mängder av någon topologi (motsvarande deras komplement, betecknad med , är öppna topologimängder). $V(I)$ $V(I)$ $\mathbb {A} ^{n}$ $D(S)$

Om är en affin algebraisk delmängd av ett affint rum , då är Zariski-topologin på den den inducerade topologin . $M$ $\mathbb {A} ^{n}$

Projektiva varianter

Element i ett projektivt utrymme är ekvivalensklasser av element med avseende på proportionalitet med avseende på multiplikation med en skalär från K . Följaktligen är elementen i polynomringen inte funktioner på , eftersom en punkt har många ekvivalenta representationer, som motsvarar olika värden på polynomet. Men för homogena polynom är villkoret för likhet med noll vid en given punkt väldefinierat, eftersom multiplikation med en skalär "sveper igenom" tillämpningen av polynomet. Därför, om S är en uppsättning homogena polynom, är definitionen vettig ${\mathbb P}^{n}$ ${\mathbb A}^{{n+1}}$ $k[x_{0},\dots ,x_{n}]$ ${\mathbb {P}}^{n}$

V(S)=\{x\in \mathbb {P} ^{n}\mid f(x)=0,\forall f\in S\}.

Det verifieras på ett liknande sätt att denna familj av mängder är en familj av slutna mängder av någon topologi, det är bara nödvändigt att ersätta ordet "ideal" med " homogent ideal ". Topologin på en godtycklig projektiv undergren definieras som den inducerade topologin.

Egenskaper

En användbar egenskap hos Zariski-topologin är att det finns en ganska enkel bas för denna topologi. Grunden för topologin är nämligen öppna uppsättningar av formen D ( f ), som är komplementet till nollmängden för polynomet f (respektive projektiva varieteter, det homogena polynomet f ).

Varje affin eller projektiv variant är kompakt ; vilken öppen delmängd som helst av ett grenrör är också kompakt. Dessutom är vilken algebraisk variant som helst ett noeterskt topologiskt utrymme .

Å andra sidan är en algebraisk variant inte ett Hausdorff-utrymme (om K inte är ett ändligt fält ). Eftersom vilken punkt som helst av en algebraisk variant är stängd , uppfyller den separationsaxiomet Ti .

Modern definition

Topologi på spektrumet av en ring

Den moderna definitionen är baserad på begreppet spektrum av en ring . Låt någon kommutativ ring med identitet ges. Spektrumet för en ring är uppsättningen av alla dess främsta ideal , och dessa ideal är själva punkterna i spektrumet. Zariski-topologin introduceras enligt följande: de slutna uppsättningarna av spektrumet är uppsättningarna av alla enkla ideal som innehåller någon uppsättning eller, som är densamma, idealet som genereras av denna uppsättning : $A$ ${\mathrm {Spec}}\,A$ $E$ $jag$

{\displaystyle V(I)=\{P\in \mathrm {Spec} \,(A)\mid I\subseteq P\))

Det är lätt att kontrollera alla axiom. Till exempel, det faktum att föreningen av två slutna uppsättningar följer nära av kedjan av uppenbara inneslutningar:

V(a\cap b)\subseteq V(ab)\subseteq V(a)\cup V(b)\subseteq V(a\cap b)

, därav .

V(a)\cup V(b)=V(a\cap b)

Zariski-topologin på spektrumet är relaterad till den tidigare introducerade topologin på ett affint utrymme på följande sätt. Låt oss definiera en avbildning som associerar en punkt med ett maximalt ideal som består av polynom lika med noll vid denna punkt (den är maximal, eftersom kvotringen av den är ett fält K ). Det är uppenbart att olika ideal motsvarar olika punkter. Dessutom säger Hilberts nollsats att alla maximala ideal för en polynomring har denna form, dvs avbildningen är bijektiv . Dessutom är denna kartläggning en homeomorfism på den delmängd som motsvarar de maximala idealen (uppsättningen av maximala ideal för en ring med den inducerade Zariski-topologin kallas det maximala spektrumet och betecknas vanligtvis med ). Det räcker för att bevisa att denna mappning inducerar en bijektion mellan slutna delmängder och slutna delmängder av , men detta är nästan uppenbart: de maximala idealen som innehåller idealet är exakt de gemensamma nollorna för alla polynom i . $\mathbb {A} ^{n}\to \mathrm {Spec} \,K[x_{1},\ldots ,x_{n}]$ $sid$ ${\mathfrak {m}}_{p}$ $x\mapsto {\mathfrak {m}}_{x}$ $\mathbb {A} ^{n}$ $\mathrm {Spec} \,K[x_{1},\ldots ,x_{n}]$ $A$ $\mathrm {spec} \,A$ $\mathbb {A} ^{n}$ $\mathrm {spec} \,K[x_{1},\ldots ,x_{n}]\bigotimes \mathrm {spec} \,K[x_{n},n\in [1,\left\ vert \infty \right\vert ]]$ $(S)$ $S$

Grothendiecks innovation var alltså att beakta inte bara de maximala idealen för en ring, utan alla främsta ideal. I fallet med en polynomring över ett algebraiskt stängt fält betyder detta att ett antal " gemensamma punkter " läggs till i rymden (en poäng för varje irreducerbar affin subvarietet ). I det allmänna fallet (det vill säga när man överväger alla möjliga kommutativa ringar) ger detta funktionella egenskaper: för varje homomorfism av ringar motsvarar en kontinuerlig karta . För ett enkelt spektrum är konstruktionen av denna homomorfism trivial - den omvända bilden av ett enkelt ideal tas, för det maximala fungerar detta inte, eftersom den omvända bilden av det maximala idealet inte nödvändigtvis är maximal. $\mathbb {A} ^{n}$ $\mathrm {Spec}$ $A till B$ $\mathrm {Spec} \,B\to \mathrm {Spec} \,A$

Precis som konstruktionen av spektrumet ersatte den traditionella Zariski-topologin på affina grenrör, ersätter konstruktionen Proj i modern algebraisk geometri övervägandet av topologi på projektiva grenrör.

Exempel

Spektrum för fältet k är ett topologiskt utrymme med ett element.
Spektrumet innehåller en punkt för varje primtal , samt en "gemensam punkt" (en punkt vars stängning sammanfaller med hela utrymmet) som motsvarar nollidealet. Slutna mängder i Zariski-topologin på detta spektrum är ändliga delmängder av uppsättningen av primtal, såväl som hela spektrumet. $\mathbb {Z}$
Spektrum för en polynomring över ett algebraiskt slutet fält K är en affin linje över fältet K . Faktum är att K [ x ] är en domän av huvudideal , så de primära idealen i den motsvarar irreducible polynoms , och eftersom K är ett algebraiskt stängt fält, har alla irreducible polynom formen ; spektrumet innehåller också en "gemensam punkt" som motsvarar nollidealet. I Zariski-topologin på K [ x ] är slutna mängder finita mängder (som inte innehåller en gemensam punkt), såväl som hela rummet. $\mathbb {A} ^{1}$ $xa$
Om K inte är algebraiskt stängd blir situationen mer komplicerad. Till exempel innehåller spektrumet punkter i formen , punkter sådana att , och en gemensam punkt. Om vi associerar varje polynom av denna typ med dess komplexa rötter, kan spektrumet avbildas som ett övre halvplan (komplexa tal med en icke-negativ imaginär del). ${\mathbb R}[x]$ $(xa)$ $(x^{2}+bx+c)$ $b^{2}-4c<0$ ${\mathbb R}[x]$
En sluten delmängd av spektrumet är spektrumet för en annan ring. Detta bevisas av konstruktionen av kvotringen — prime ideal motsvarar en-till-en med prime ideal genom att innehålla idealet . Till exempel består spektrumet av en ring av punkterna (2) och (5). $A/I$ $A$ $jag$ $\mathbb {Z} /10\mathbb {Z}$

Egenskaper för Zariski-topologin på spektrumet

Den allvarligaste skillnaden mellan topologin på ett spektrum och Zariski-topologin på ett mångfaldigt är att inte alla punkter är stängda i den nya topologin. Så kallade. "allmänna punkter" vars stängning är strikt större än dem själva (det finns dessutom en en-till-en-överensstämmelse mellan de irreducerbara komponenterna i utrymmet och de "allmänna" punkter vars stängningar dessa komponenter är). Punkterna som motsvarar ringens maximala ideal förblir stängda. Sålunda uppfyller inte topologin på spektrumet längre axiomet T 1 , men uppfyller fortfarande axiomet T 0 . Faktum är att av två främsta ideal innehåller åtminstone det ena inte det andra, till exempel . Innehåller sedan , men innehåller naturligtvis inte (recall som är en öppen uppsättning bestående av ideal som inte innehåller idealet ). $\mathfrak sid$ ${\mathfrak {q}}$ ${\mathfrak {p}}\nsubseteq {\mathfrak {q}}$ $D({\mathfrak {p)))$ ${\mathfrak {q}}$ $\mathfrak sid$ $D({\mathfrak {p)))$ $\mathfrak sid$

Liksom i klassisk algebraisk geometri är spektrumet ett kompakt utrymme. Detta faktum stämmer inte väl överens med vår intuition: vi förväntar oss inte att ett helt affint utrymme (som euklidiskt utrymme ) ska vara kompakt. Grothendieck introducerade också begreppet etale-topologi , som är mycket mer abstrakt, men egenskaperna för denna topologi påminner mer om egenskaperna hos standardtopologin i det euklidiska rummet.

Se även

ringens spektrum

Litteratur

Atiyah M., McDonald I. Introduktion till kommutativ algebra. — M .: Mir, 1972.
Mumford , Red Book of Varieties and Schemes - M. : MTsNMO, 2007.
Shafarevich I. R. Grunderna i algebraisk geometri. — M .: Nauka, 1972.
Hartshorne R. Algebraisk geometri. — M .: Mir, 1981.