Huvudidealens rike

Huvudidealens domän  är integritetens domän , där alla ideal är principiella . Ett mer allmänt koncept är ringen av huvudideal , från vilken integritet inte krävs (en del författare, som Bourbaki , hänvisar dock till ringen av huvudideal som en integrerad ring).

Elementen i en principiell idealring är på vissa sätt som siffror : för varje element finns en unik primtalsfaktorisering, för två element finns det en största gemensamma divisor .

Huvudsakliga idealdomäner kan indikeras på följande kedja av inneslutningar:

Dessutom är alla domäner av huvudideal Noetherian och Dedekind ringar.

Exempel

• Ring av heltal
• Ringen av polynom över fältet k  - k[x] , såväl som ringen av formella potensserier
• Z [ i ] är ringen av Gaussiska heltal
• Eisenstein ring av heltal

Exempel på integrerade ringar som inte är idealiska huvudringar:

• Z [ x ] är en polynomring med heltalskoefficienter (idealen (2, x) kan inte genereras av ett enda polynom)
• Polynomring i två variabler k[x, y] (ideal (x, y) är inte principiell)

Moduler

Huvudresultatet här är följande teorem: om R  är en domän av huvudideal och M  är en ändligt genererad modul över R , så bryts M upp till en direkt summa av cykliska moduler, det vill säga moduler som genereras av ett enda element. Eftersom det finns en surjektiv homomorfism från R till en cyklisk modul över den (sänder en enhet till generatorn), har varje cyklisk modul formen för några .

I synnerhet är varje undermodul av en fri modul över en huvudsaklig idealdomän gratis. Detta är inte sant för godtyckliga ringar, som ett motexempel kan man ge -modulinbäddning .

Se även

• Euklids algoritm
• Smith normal form

Litteratur

• Zarissky O., Samuel P. Kommutativ algebra vols.1-2. - M: IL, 1963
• Michiel Hazewinkel, Nadiya Gubareni, VV Kirichenko . Algebror, ringar och moduler . Kluwer Academic Publishers, 2004. ISBN 1-4020-2690-0
• Nathan Jacobson . Basic Algebra I. Dover, 2009. ISBN 978-0-486-47189-1